फलन $g(\alpha)=\int \limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{\alpha} x}{\cos ^{\alpha} x+\sin ^{\alpha} x} d x, \alpha \in R$ के लिए निम्न में से कौन सा कथन असत्य है?

मान लीजिए कि $[0,1]$ अंतराल में $f$ एक सतत फलन इस प्रकार है कि $\int \limits_0^1 f^2(x) d x=\left(\int \limits_0^1 f(x) d x\right)^2$. तब $f$ का परास $(range)$

यदि $b _{ n }=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^2 nx }{\sin x } dx , n \in N$ है तब

यदि $I$ निम्न में से सबसे बड़ा समाकल है

${I_1} = \int_0^1 {{e^{ - x}}{{\cos }^2}x\,dx} , \,\, {I_2} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}}}} {\cos ^2}x\,dx$

${I_3} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} ,\,\,{I_4} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}/2}}dx} $ तो

मान लीजिये की फलन $f:[0, \pi] \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है : $f(x)=\sin x$ यदि $[0, \pi]$ में $x$ अपरिमेय संख्या है, $f(x)=\tan ^2 x$ यदि $[0, \pi]$ में $x$ परिमेय संख्या है। अंतराल $[0, \pi]$ में ऐसे कितने मान हैं जिनपर $f$ सतत है ।

यदि फलन $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ निम्न प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है: $f(0) = - 1,$ $f'(\log 2) = 31$ तथा $\int_0^{\log 4} {(f(x) - Rx)\,dx = \frac{{39}}{2}} $ तो $P, Q, R$ के मान हैं