मान लीजिए (1+x+2x^2)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $(1+x+2x^2)^{20} = \sum_{k=0}^{40} a_k x^k$.$f(x) = (1+x+2x^2)^{20}$ लें।$f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{40} = (1+1+2)^{20} = 4^

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$2^{19}(2^{20}-21)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $(1+x+2x^2)^{20} = \sum_{k=0}^{40} a_k x^k$.$f(x) = (1+x+2x^2)^{20}$ लें।$f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{40} = (1+1+2)^{20} = 4^{20} = 2^{40}$.$f(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - \ldots + a_{40} = (1-1+2)^{20} = 2^{20}$.दोनों समीकरणों को घटाने पर: $f(1) - f(-1) = 2(a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) = 2^{40} - 2^{20}$.अतः,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{39} = \frac{2^{40} - 2^{20}}{2} = 2^{39} - 2^{19}$.हमें $a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = (a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) - a_{39}$ चाहिए।$a_{39}$ ज्ञात करने के लिए,$(1+x+2x^2)^{20}$ में $x^{39}$ का गुणांक देखें।बहुपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$a_{39} = \frac{20!}{0! 1! 19!} (1)^0 (1)^1 (2)^{19} = 20 	imes 2^{19}$.इस प्रकार,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = 2^{39} - 2^{19} - 20 	imes 2^{19} = 2^{39} - 21 	imes 2^{19} = 2^{19}(2^{20} - 21)$.

मान लीजिए $(1+x+2x^2)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_{40}x^{40}$,तो $a_1 + a_3 + a_5 + \ldots + a_{37}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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