मान लीजिए alpha, beta, gamma समीकरण x^{3} + a | vedclass

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Question

(B) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \beta &

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$3$

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(B) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \beta & \gamma & \alpha \ \gamma & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$सारणिक का विस्तार करने पर:$\alpha(\gamma\beta - \alpha^{2}) - \beta(\beta^{2} - \alpha\gamma) + \gamma(\beta\alpha - \gamma^{2}) = 0$$\alpha\beta\gamma - \alpha^{3} - \beta^{3} + \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\gamma - \gamma^{3} = 0$$3\alpha\beta\gamma - (\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3}) = 0$सर्वसमिका $\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha))$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$-(\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)) = 0$विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha + \beta + \gamma = -a$ और $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$ है। साथ ही,$\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = a^{2} - 2b$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$-(-a)(a^{2} - 2b - b) = 0$$a(a^{2} - 3b) = 0$चूंकि $a 
eq 0$,इसलिए $a^{2} - 3b = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a^{2} = 3b$ है।अतः,$\frac{a^{2}}{b} = 3$।

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