यदि समतलों $2x - 7y + 4z - 3 = 0$ और $3x - 5y + 4z + 11 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और बिंदु $(-2, 1, 3)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $ax + by + cz - 7 = 0$ है,तो $2a + b + c - 7$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L_1$ समीकरणों $2x+3y+z=4$ और $x+2y+z=5$ द्वारा दिए गए समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा है। मान लीजिए $L_2$ बिंदु $P(2,-1,3)$ से गुजरने वाली और $L_1$ के समानांतर रेखा है। मान लीजिए $M$ समीकरण $2x+y-2z=6$ द्वारा दिया गया समतल है। मान लीजिए कि रेखा $L_2$ समतल $M$ से बिंदु $Q$ पर मिलती है। मान लीजिए $R$,$P$ से समतल $M$ पर खींचे गए लंब का पाद है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $9\sqrt{3}$ है
$(B)$ रेखाखंड $QR$ की लंबाई $15$ है
$(C)$ $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{3}{2}\sqrt{234}$ है
$(D)$ रेखाखंड $PQ$ और $PR$ के बीच का न्यून कोण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ है

समतल $x - y + z = 1$ बिंदुओं $(0, 0, 0)$ और $(1, -2, -5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं। यदि रेखा $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c})$ और समतल $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ है,तो $x y z=$

समतलों $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=1$ और $\overline{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j})+4=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और समतल $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+8=0$ के लंबवत समतल का समीकरण $\overline{r} \cdot(-5 \hat{i}+2 \hat{j}+12 \hat{k})=\mu$ है। तो $\mu$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखाओं $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ और $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है और मूल बिंदु से अधिकतम दूरी पर है।