$1$ से $1000$ तक के पूर्णांकों को लिखते समय अंक $3$ कितनी बार लिखा जाएगा?

फलन $f(x) = ^{16 - x}C_{2x - 1} + ^{20 - 3x}P_{4x - 5}$ का प्रांत,जहाँ प्रतीकों के अपने सामान्य अर्थ हैं,वह समुच्चय है

मान लीजिए $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $n$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,जिनमें से $p$ धनात्मक हैं और शेष ऋणात्मक हैं। $j < k$ के साथ उन क्रमित युग्मों $(j, k)$ की संख्या,जिनके लिए $a_j a_k$ धनात्मक है,$55$ है। इसी प्रकार,$j < k$ के साथ उन क्रमित युग्मों $(j, k)$ की संख्या,जिनके लिए $a_j a_k$ ऋणात्मक है,$50$ है। तो,$p^2 + (n-p)^2$ का मान है

$n$ वस्तुओं को $n$ व्यक्तियों के बीच यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है। ऐसा करने के तरीकों की संख्या क्या है ताकि उनमें से कम से कम एक को कोई वस्तु न मिले?

$APPLICATION$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं ताकि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं?

संख्या $(49^{2}-4)(49^{3}-49)$ किससे विभाज्य है ($!$ में)?