मान लीजिए z और w दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रक | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\left| \frac{z+i}{z-3i} \right| = 1$, इसलिए $|z+i| = |z-3i|$.यह सम्मिश्र तल पर $-i$ और $3i$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक

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$4$

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(C) दिया गया है $\left| \frac{z+i}{z-3i} ight| = 1$, इसलिए $|z+i| = |z-3i|$.यह सम्मिश्र तल पर $-i$ और $3i$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है, जो रेखा $\operatorname{Im}(z) = 1$ है।मान लीजिए $z = x + i$, जहाँ $x \in \mathbb{R}$.दिया गया है $w = z \bar{z} - 2z + 2$, $z = x + i$ प्रतिस्थापित करने पर:$w = (x+i)(x-i) - 2(x+i) + 2$$w = (x^2 + 1) - 2x - 2i + 2$$w = (x^2 - 2x + 3) - 2i$.अतः, $\operatorname{Re}(w) = x^2 - 2x + 3$.$\operatorname{Re}(w)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, $x = 1$ लेते हैं।$x = 1$ पर, $\operatorname{Re}(w) = 1 - 2 + 3 = 2$.तब $w = 2 - 2i = 2(1 - i) = 2\sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.$w^n$ के वास्तविक होने के लिए, $w^n$ का कोणांक $\pi$ का गुणज होना चाहिए।$\operatorname{arg}(w^n) = n 	imes (-\pi/4) = -n\pi/4$.इसके $k\pi$ होने के लिए, $n/4$ को एक पूर्णांक होना चाहिए।अतः $n \in N$ का न्यूनतम मान $4$ है।

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$\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \times \left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \times \left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right) \times \ldots \infty =$

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