मान लीजिए f(x) घात 3 का एक बहुपद है,जहाँ f(-1 | vedclass

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Question

(B) चूंकि $f(x)$ घात $3$ का बहुपद है,इसलिए $f^{\prime \prime}(x)$ एक रैखिक फलन है। दिया गया है कि $f^{\prime}(x)$ का $x=1$ पर क्रांतिक बिंदु है,अतः $f

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$3$

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(B) चूंकि $f(x)$ घात $3$ का बहुपद है,इसलिए $f^{\prime \prime}(x)$ एक रैखिक फलन है। दिया गया है कि $f^{\prime}(x)$ का $x=1$ पर क्रांतिक बिंदु है,अतः $f^{\prime \prime}(1)=0$ है। इसलिए,$f^{\prime \prime}(x) = \lambda(x-1)$।$f^{\prime \prime}(x)$ का समाकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x + C$ प्राप्त होता है।चूंकि $f(x)$ का $x=-1$ पर क्रांतिक बिंदु है,इसलिए $f^{\prime}(-1) = 0$ है। $x=-1$ रखने पर $\frac{\lambda}{2} + \lambda + C = 0$ मिलता है,अतः $C = -\frac{3\lambda}{2}$।इस प्रकार,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x - \frac{3\lambda}{2}$।$f^{\prime}(x)$ का समाकलन करने पर,$f(x) = \frac{\lambda x^3}{6} - \frac{\lambda x^2}{2} - \frac{3\lambda x}{2} + d$ प्राप्त होता है।$f(1) = -6$ का उपयोग करने पर: $\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} - \frac{3\lambda}{2} + d = -6 \Rightarrow -\frac{11\lambda}{6} + d = -6 \Rightarrow -11\lambda + 6d = -36 \dots (i)$।$f(-1) = 10$ का उपयोग करने पर: $-\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} + \frac{3\lambda}{2} + d = 10 \Rightarrow \frac{5\lambda}{6} + d = 10 \Rightarrow 5\lambda + 6d = 60 \dots (ii)$।$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $16\lambda = 96 \Rightarrow \lambda = 6$।$\lambda = 6$ को $(ii)$ में रखने पर: $5(6) + 6d = 60 \Rightarrow 30 + 6d = 60 \Rightarrow d = 5$।अतः,$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$।$f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$।$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर क्रांतिक बिंदु $x=3$ और $x=-1$ प्राप्त होते हैं।$f^{\prime \prime}(x) = 6x - 6$। $x=3$ पर,$f^{\prime \prime}(3) = 18 - 6 = 12 > 0$,इसलिए $f(x)$ का स्थानीय न्यूनतम मान $x=3$ पर है।

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