अंतराल x in [0, 1] पर फलन f(x) = x^{3} - 4x^{ | vedclass

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Question

(D) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।यहाँ $f(x) = x^{3} - 4x^{2

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$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$

Vedclass · Answer

(D) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।यहाँ $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 8x + 11$ और अंतराल $[0, 1]$ दिया गया है,इसलिए $a = 0$ और $b = 1$ है।$f(0) = 0^{3} - 4(0)^{2} + 8(0) + 11 = 11$ है।$f(1) = 1^{3} - 4(1)^{2} + 8(1) + 11 = 16$ है।सेकेंट रेखा की ढाल $\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{16 - 11}{1} = 5$ है।अवकलन $f'(x) = 3x^{2} - 8x + 8$ प्राप्त होता है।$f'(c) = 5$ रखने पर,$3c^{2} - 8c + 8 = 5$,अर्थात $3c^{2} - 8c + 3 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$c = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$ प्राप्त होता है।चूँकि $c \in (0, 1)$ है,इसलिए $c = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ सही मान है।

अंतराल $x \in [0, 1]$ पर फलन $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 8x + 11$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय में $c$ का मान क्या है?

Similar Questions

मान लीजिए $f^{\prime}(0)=-3$ और $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है। तो $f(2)$ का संभावित अधिकतम मान क्या हो सकता है?

यदि $f(x) = \log(\sin x)$,$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ है,तो लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है,इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

फलन $f(x)=x^{2}+2x-8, x \in[-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

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