मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ और $B = [b_{ij}]$ दो $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह हैं,जहाँ $b_{ij} = (3)^{(i+j-2)} a_{ji}$,जहाँ $i, j = 1, 2, 3$ है। यदि $B$ का सारणिक $81$ है,तो $A$ का सारणिक क्या होगा:

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha + \delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta + \delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma + \delta) \end{array} \right| = 0$

यदि $A=\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|$ और $B=\left|\begin{array}{ccc}c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ है,तो

यदि $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ (a + \lambda)^2 & (b + \lambda)^2 & (c + \lambda)^2 \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right| = k\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|, \lambda \neq 0$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

सारणिकों के गुणों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$

यदि $2^{a_1}, 2^{a_2}, 2^{a_3}, \dots, 2^{a_n}$ एक $G.P.$ में हैं,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_{n+1} & a_{n+2} & a_{n+3} \\ a_{2n+1} & a_{2n+2} & a_{2n+3} \end{array} \right|$ का मान क्या होगा?