मान लीजिए [t] महत्तम पूर्णांक leq t को दर्शात | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A = \lim_{x 	o 0} x[\frac{4}{x}]$.गुणधर्म $[y] = y - \{y\}$ का उपयोग करने पर,$A = \lim_{x 	o 0} x(\frac{4}{x} - \{\frac{4}{x}\}) =

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$\sqrt{A+1}$

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(B) दिया गया है $A = \lim_{x 	o 0} x[\frac{4}{x}]$.गुणधर्म $[y] = y - \{y\}$ का उपयोग करने पर,$A = \lim_{x 	o 0} x(\frac{4}{x} - \{\frac{4}{x}\}) = \lim_{x 	o 0} (4 - x\{\frac{4}{x}\})$.चूंकि $0 \leq \{\frac{4}{x}\} अतः,$A = 4$.फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ वहाँ असंतत है जहाँ $[x^2]$ असंतत है,जो तब होता है जब $x^2$ एक पूर्णांक हो,उन बिंदुओं को छोड़कर जहाँ $\sin(\pi x) = 0$ हो।$x^2 = k$ $(k \in \mathbb{Z})$ के लिए,$f(x)$ असंतत है जब तक कि $\sin(\pi \sqrt{k}) = 0$ न हो।$A=4$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर: $\sqrt{A+1} = \sqrt{5}$। चूंकि $x^2 = 5$ एक पूर्णांक है और $\sin(\pi \sqrt{5}) 
eq 0$,इसलिए फलन $x = \sqrt{5}$ पर असंतत है।

मान लीजिए $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है और $\lim_{x \to 0} x[\frac{4}{x}] = A$ है। तब फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ असंतत (discontinuous) है,जब $x$ का मान है

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फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\sin x}{(\pi-2x)^2} & \text{, यदि } x \neq \frac{\pi}{2} \\ k & \text{, यदि } x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$ को परिभाषित करें। यदि $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $k =$

यदि $f(x) = \begin{cases} e^{1/x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 5x \tan kx}{x^2} & , x \neq 0 \\ 1 & , x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है,तो $k$ का मान . . . . . . है। $(\because k \neq 0)$

$f$ के सभी असातत्य (discontinuity) के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$

सतत फलनों के प्रत्येक युग्म $f, g: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,जहाँ $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है,तो सही कथन है (हैं):

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