क्रमित युग्मों $(r, k)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$ है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।

यदि $2 \times {}^nC_5 = 9 \times {}^{n-2}C_5$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक उम्मीदवार को $12$ प्रश्नों में से $6$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जो दो भागों $A$ और $B$ में विभाजित हैं,प्रत्येक में $6$ प्रश्न हैं। उम्मीदवार को किसी भी भाग से $4$ से अधिक प्रश्नों का प्रयास करने की अनुमति नहीं है। वह कितने अलग-अलग तरीकों से $6$ प्रश्नों का चयन कर सकता है?

नगर निगम के $12$ सदस्यों में से एक या अधिक सदस्यों वाली समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

यदि समुच्चय $A=\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}$,$n \geq 8$ से $8$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या,$a_4$ को समाहित करने वाले ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या से पाँच गुना है,तो $n=$

एक व्यक्ति के $10$ मित्र हैं। वह उनमें से एक या अधिक को पार्टी में कितने तरीकों से आमंत्रित कर सकता है?