क्रमित युग्मों (r, k) की संख्या ज्ञात कीजिए ज | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$.सर्वसमिका $^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$ का उपयोग करने पर

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$4$

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(C) दिया गया समीकरण: $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$.सर्वसमिका $^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$ का उपयोग करने पर:$6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$.दोनों पक्षों को $^{35}C_{r}$ से विभाजित करने पर:$6 = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \Rightarrow k^{2} - 3 = \frac{r+1}{6}$.अतः,$k^{2} = \frac{r+19}{6}$.चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k^{2}$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए और $0 \le r \le 35$ है।$r=5$ के लिए,$k^{2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.$r=35$ के लिए,$k^{2} = 9 \Rightarrow k = \pm 3$.इस प्रकार,कुल $4$ क्रमित युग्म प्राप्त होते हैं।

क्रमित युग्मों $(r, k)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$ है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।

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