यदि $c$ एक ऐसा बिंदु है जिस पर अंतराल $[3, 4]$ में फलन $f(x) = \log_{e}\left(\frac{x^{2}+\alpha}{7x}\right)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है,जहाँ $\alpha \in R$,तो $f''(c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक बहुपद समीकरण $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,के दो भिन्न मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो समीकरण $na_nx^{n-1} + (n - 1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ के अंतराल $(\alpha, \beta)$ में कितने मूल होंगे?

अंतराल $(0, \pi/2)$ पर फलन $f(x) = e^{-2x} \sin 2x$ पर विचार करें। रोले के प्रमेय के अनुसार,एक वास्तविक संख्या $c \in (0, \pi/2)$ ऐसी है कि $f'(c) = 0$,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$[1, 3]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ है और $g(x) = a \frac{x^3}{3} + b \frac{x^2}{2} + cx$ लें।
कथन-$1$: द्विघात समीकरण का $(0, 1)$ अंतराल में कम से कम एक मूल है।
कथन-$2$: $[0, 1]$ अंतराल में फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है।

यदि $f(x)$ एक दो बार अवकलनीय बहुपद फलन है,जैसे कि $f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$,तो: