यदि $c$ एक बिंदु है जिस पर, अंतराल $[3,4]$ में, फलन $f( x )=\log _{ e }\left(\frac{ x ^{2}+\alpha}{7 x }\right)$ पर रोले प्रमेय लागू होता है, जहाँ $\alpha$ $\in R$ है, तो $f^{\prime \prime}( c )$ बराबर है

मध्यमान प्रमेय $\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = f'(c)$ में, यदि $a = 0,b = \frac{1}{2}$ तथा $f(x) = x(x - 1)(x - 2)$ हो, तो $ c$  का मान है

माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^{2}-4 x-3,$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।

यदि , अन्तराल $[1,\,2]$ में रौले प्रमेय को संतुष्ट करता है तथा $f(x)$ ,$[1,\,2]$ में सतत् है, तो $\int_1^2 {f'(x)dx} $ का मान है

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ अभिकलनीय फलन $(differentiable\,functon)$ इस प्रकार है कि किन्हीं $a < b$ के लिए $f(a)=0=f(b)$ और $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$ है। अंतराल $(interval$;' $( a , b )$ में $f( x )$ के मूलों $(roots)$ की न्यूनतम संख्या क्या है ?

फलन$f(x) = {x^3} - 6{x^2} + ax + b$ रोले प्रमेय की सभी शर्तो को अंतराल $[1, 3]$  में सन्तुष्ट करता है तब $ a $ और $ b$  के क्रमश: मान हैं