यदि रैखिक समीकरण निकाय $2x + 2ay + az = 0$,$2x + 3by + bz = 0$,और $2x + 4cy + cz = 0$,जहाँ $a, b, c \in R$ शून्येतर और भिन्न हैं,का एक शून्येतर हल है,तो:

मान लीजिए कि $S$ समीकरणों की प्रणाली $(x, y, z)$ के सभी पूर्णांक हलों का समुच्चय है:
$x-2y+5z=0$
$-2x+4y+z=0$
$-7x+14y+9z=0$
इस प्रकार कि $15 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 150$. तो,समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या बराबर है

$4 \, kg$ प्याज,$3 \, kg$ गेहूं और $2 \, kg$ चावल की कीमत $Rs \, 60$ है। $2 \, kg$ प्याज,$4 \, kg$ गेहूं और $6 \, kg$ चावल की कीमत $Rs \, 90$ है। $6 \, kg$ प्याज,$2 \, kg$ गेहूं और $3 \, kg$ चावल की कीमत $Rs \, 70$ है। आव्यूह विधि का उपयोग करके प्रत्येक वस्तु की प्रति $kg$ कीमत ज्ञात कीजिए।

समीकरण निकाय ${x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = a$,$2{x_1} + 3{x_2} + {x_3} = b$,और $3{x_1} + {x_2} + 2{x_3} = c$ का:

$\alpha$ के कितने वास्तविक मानों के लिए समीकरण निकाय
$x+3y+5z=\alpha x$
$5x+y+3z=\alpha y$
$3x+5y+z=\alpha z$
के अनंत हल हैं?

रैखिक समीकरण निकाय $\begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 7 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 y + 11 \\ 6 z - 1 \\ 5 y + 11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ x \\ 4 z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} z \\ 3 x \\ 4 y \end{bmatrix}$ का हल है: