मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण sqrt{1-x^{2}} fr | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-y^{2}} = 0$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} =

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$\frac{1}{\sqrt{2}}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-y^{2}} = 0$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + C$,या $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = C$.
दिया गया है $y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = C$.
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,समीकरण $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ है।
सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^{-1} y = \cos^{-1} x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = \sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$.
अब,$y\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ज्ञात करने के लिए,$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

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