यदि गुणनफल (1+x+x^{2}+ldots+x^{2n})(1-x+x^{2} | vedclass

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Question

(A) माना $P(x) = (1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n}) = \sum_{k=0}^{4n} a_k x^k$. सम घातों के गुणांकों का योग $\frac{P(1) + P(-1)}

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$30$

Vedclass · Answer

(A) माना $P(x) = (1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n}) = \sum_{k=0}^{4n} a_k x^k$. सम घातों के गुणांकों का योग $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है। पहले,$P(1)$ की गणना करें: $P(1) = (1+1+1^{2}+\ldots+1^{2n})(1-1+1^{2}-1^{3}+\ldots+1^{2n}) = (2n+1)(1) = 2n+1$. इसके बाद,$P(-1)$ की गणना करें: $P(-1) = (1-1+1-1+\ldots+1)(1-(-1)+(-1)^{2}-(-1)^{3}+\ldots+(-1)^{2n}) = (1)(2n+1) = 2n+1$. सम घातों के गुणांकों का योग $= \frac{(2n+1) + (2n+1)}{2} = 2n+1$. दिया गया है कि $2n+1 = 61$,इसलिए $2n = 60$,अर्थात $n = 30$.

यदि गुणनफल $(1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n})$ में $x$ की सभी सम घातों के गुणांकों का योग $61$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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