જો $f: R-\{0\} \rightarrow R$ એ $f(x)=x+\frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને જો $k \geq 1$ માટે $f^k(x)=[f(x)]^k$ હોય,તો $f^4(x)-f(x^4)-4f^2(x)$ ની કિંમત શોધો.

$f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. વિધાન $(A):$ અમુક $c \in R$ માટે $f(c) = \frac{1}{3}$. કારણ $(R):$ તમામ $x \in R$ માટે $0 < f(x) \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$. તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

ધારો કે $A = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$. તો $f : A \rightarrow A$ એવા શક્ય વિધેયોની સંખ્યા શોધો કે જેથી દરેક $m, n \in A$ માટે $m \cdot n \in A$ હોય ત્યારે $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ થાય.

ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ અને $X$ એ $S$ થી $S$ પરના તમામ સંબંધો $R$ નો ગણ છે જે નીચેની બંને શરતોનું પાલન કરે છે:
$i$. $R$ માં બરાબર $6$ ઘટકો છે.
$ii$. દરેક $(a, b) \in R$ માટે,$|a-b| \geq 2$ છે.
ધારો કે $Y = \{R \in X : R \text{ નો વિસ્તાર બરાબર એક ઘટક ધરાવે છે}\}$ અને $Z = \{R \in X : R \text{ એ } S \text{ થી } S \text{ પરનું વિધેય છે}\}$.
ધારો કે $n(A)$ એ ગણ $A$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$(1)$ જો $n(X) = {}^{m}C_{6}$ હોય,તો $m$ ની કિંમત . . . . છે.
$(2)$ જો $n(Y) + n(Z)$ ની કિંમત $k^{2}$ હોય,તો $|k|$ ની કિંમત . . . . છે.

ધારો કે $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f: N \rightarrow N$ એવું છે કે $1990 < f(1990) < 2100$ અને તે સમીકરણ $x-f(x)=19[\frac{x}{19}]-90[\frac{f(x)}{90}]$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $[y]$ એ $y$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. તો $f(1990)$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f : R \to R$ એ $f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. $f(\frac{1}{4}) + 2 f(\frac{1}{2}) + f(\frac{3}{4})$ ની કિંમત શું છે?