sum_{n=1}^{20} left[ sin left( frac{2npi}{21} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right]

Vedclass · Accepted Answer

$i$

Vedclass · Answer

(C) આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} ight) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} ight) ight] = -i \sum_{n=1}^{20} \left[ \cos \left( \frac{2n\pi}{21} ight) + i \sin \left( \frac{2n\pi}{21} ight) ight]$.ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $-i \sum_{n=1}^{20} e^{i(2n\pi/21)}$ બને છે.ધારો કે $\omega = e^{i(2\pi/21)}$. તો સરવાળો $-i \sum_{n=1}^{20} \omega^n$ થાય.આ $20$ પદોની ભૌમિતિક શ્રેણી છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $\omega$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega$ છે.સરવાળો $\omega \frac{1-\omega^{20}}{1-\omega}$ છે.કારણ કે $\omega^{21} = e^{i(2\pi)} = 1$,તેથી $\omega^{20} = \omega^{-1} = \frac{1}{\omega}$ મળે.આમ,સરવાળો $-i \left( \frac{\omega - \omega^{21}}{1-\omega} ight) = -i \left( \frac{\omega - 1}{1-\omega} ight) = -i (-1) = i$ થાય.

$\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right] = $

Similar Questions

જો $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ હોય,તો $\frac{1}{1+2 \omega}+\frac{1}{2+\omega}-\frac{1}{1+\omega}=$

$12^{\text{th}}$ અને $30^{\text{th}}$ એકમના મૂળ (roots of unity) વચ્ચે સામાન્ય મૂળની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $1, \omega$ અને $\omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ છે. $(1-\omega+\omega^{-1})^5-2(1+\omega-\omega^{-1})^4$ ની કિંમત શું છે?

જો $\omega ( \neq 1)$ એ એકમનું ઘનમૂળ હોય અને $(1 + \omega )^7 = A + B\omega$ હોય,તો $A$ અને $B$ અનુક્રમે કઈ સંખ્યાઓ છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module