જો રૂપાંતરણ $z = \log \tan \frac{x}{2}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + 4 y \operatorname{cosec}^2 x = 0$ ને $\frac{d^2 y}{d z^2} + k y = 0$ સ્વરૂપમાં ઘટાડે છે,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્ર,$\frac{dy}{dx} + \frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x} = 0$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્રને $\theta$ ખૂણે છેદે છે. તો,$4\theta - \frac{\pi}{2} =$

ધારો કે $y$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ નો ઉકેલ છે જે $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરે છે. તો,$y$ નીચેનામાંથી કોનું સમાધાન કરે છે?

ધારો કે $b$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=1$. જો $f$ નું વિકલિત $f^{\prime}$ એ સમીકરણ $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ નું પાલન કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ જો $b>0$ હોય,તો $f$ એ વધતું વિધેય છે
$(B)$ જો $b < 0$ હોય,તો $f$ એ ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ દરેક $x \in R$ માટે
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ દરેક $x \in R$ માટે

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=1+xe^{y-x}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ અને $y(0)=0$ છે. તો,$x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ માટે $y(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

$(1+xy)y \, dx + (1-xy)x \, dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.