ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ માં સતત છે,$(a, b)$ માં વિકલનીય છે અને $f(a)=0=f(b)$ છે. તો

જો $f$ અને $g$ એ $[0, 1]$ માં વિકલનીય વિધેયો હોય જે $f(0) = 2$,$g(1) = 2$,$g(0) = 0$,અને $f(1) = 6$ નું સમાધાન કરે છે,તો કોઈ $c \in (0, 1)$ માટે:

ધારો કે $f$ એ $[0,2]$ પર સતત અને $(0,2)$ પર બે વાર વિકલનીય વિધેય છે. જો $f(0)=0, f(1)=1$ અને $f(2)=2$ હોય,તો

ધારો કે $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ એ સતત વિધેયો છે જે અંતરાલ $(-1,2)$ પર બે વાર વિકલનીય છે. $f$ અને $g$ ના બિંદુઓ $-1, 0$ અને $2$ પરના મૂલ્યો નીચેના કોષ્ટકમાં આપ્યા મુજબ છે:

$x$	$x=-1, 0, 2$
$f(x)$	$3, 6, 0$
$g(x)$	$0, 1, -1$

દરેક અંતરાલ $(-1,0)$ અને $(0,2)$ માં વિધેય $(f-3g)^{\prime \prime}$ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી. તો સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0) \cup (0,2)$ માં બરાબર ત્રણ ઉકેલો છે
$(B)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0)$ માં બરાબર એક ઉકેલ છે
$(C)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(0,2)$ માં બરાબર એક ઉકેલ છે
$(D)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0)$ માં બરાબર બે ઉકેલો અને $(0,2)$ માં બરાબર બે ઉકેલો છે

મધ્યક માન પ્રમેય (Mean Value Theorem) માં,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$. જો $a = 4$,$b = 9$ અને $f(x) = \sqrt{x}$ હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો:

જો રોલના પ્રમેયનું પાલન વિધેય $f(x)=x^{3}-ax^{2}+bx-4$ માટે અંતરાલ $x \in [1, 2]$ પર થતું હોય અને $f^{\prime}\left(\frac{4}{3}\right)=0$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ બરાબર શું થાય?