WBJEE 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ અનંત અંતરે (જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે) કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m(\sqrt{3} v_e)^2 - \frac{GMm}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E_i = \frac{1}{2} m(3 v_e^2) - m(\frac{v_e^2}{2}) = \frac{3}{2} m v_e^2 - \frac{1}{2} m v_e^2 = m v_e^2$.
ખૂબ મોટા અંતરે,સ્થિતિ ઉર્જા $0$ હોય છે,તેથી અંતિમ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2} m v^2$ થાય.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા: $m v_e^2 = \frac{1}{2} m v^2$.
$v^2 = 2 v_e^2 \implies v = \sqrt{2} v_e$.

(D) ધારો કે દોરીની વાસ્તવિક લંબાઈ $L$ છે અને બળ અચળાંક $k = \frac{AY}{L_0}$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,વિસ્તરણ એ લાગુ કરેલા બળના પ્રમાણમાં હોય છે: $F = k \Delta L$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $F_1 = k(L_1 - L)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $F_2 = k(L_2 - L)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{L_1 - L}{L_2 - L}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $F_1(L_2 - L) = F_2(L_1 - L)$.
$F_1 L_2 - F_1 L = F_2 L_1 - F_2 L$.
$L$ માટે ગોઠવતા: $F_2 L - F_1 L = F_2 L_1 - F_1 L_2$.
$L(F_2 - F_1) = F_2 L_1 - F_1 L_2$.
તેથી,$L = \frac{F_2 L_1 - F_1 L_2}{F_2 - F_1}$.

(D) દડાને આપવામાં આવેલ આઘાત (impulse) તેના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે।
આઘાત $= \int F \, dt = F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
આપેલ છે કે બળ $0.02 \text{ s}$ સમયમાં $F$ થી ઘટીને $0$ થાય છે, તેથી આલેખનું ક્ષેત્રફળ એ પાયો $0.02 \text{ s}$ અને વેધ $F$ ધરાવતો ત્રિકોણ છે।
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 0.02 \times F = 0.01F$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(v_f - v_i) = \frac{50}{1000} \text{ kg} \times (100 \text{ m/s} - 0) = 0.05 \times 100 = 5 \text{ kg m/s}$.
આઘાત અને વેગમાનમાં થતા ફેરફારને સરખાવતા: $0.01F = 5$.
$F = \frac{5}{0.01} = 500 \text{ N}$.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$V_{big} = 27 \times V_{small}$.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow R^3 = 27r^3 \Rightarrow R = 3r$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_i = 27 \times (S \times 4 \pi r^2) = 108 \pi r^2 S$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_f = S \times 4 \pi R^2 = S \times 4 \pi (3r)^2 = 36 \pi r^2 S$ છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જામાં સાપેક્ષ વધારો $\frac{\Delta U}{U_i} = \frac{U_f - U_i}{U_i} = \frac{36 \pi r^2 S - 108 \pi r^2 S}{108 \pi r^2 S}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{\Delta U}{U_i} = \frac{-72 \pi r^2 S}{108 \pi r^2 S} = -\frac{72}{108} = -\frac{2}{3}$.

(A, D) બંને તાર એક જ દ્રવ્યમાંથી બનેલા હોવાથી,તેમનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ સમાન હોય છે.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A x}$ છે,જ્યાં $F$ એ લોડ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $x$ એ લંબાઈમાં વધારો છે.
લોડ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,$F = (\frac{Y A}{L}) x$ મળે છે.
બંને તાર માટે $Y$ અને $L$ સમાન હોવાથી,$F-x$ આલેખનો ઢાળ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\text{slope} = \frac{Y A}{L} \propto A$).
આલેખ પરથી,રેખા $A$ નો ઢાળ રેખા $B$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે,જે સૂચવે છે કે $A$ નું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $B$ કરતા વધારે છે $(A_A > A_B)$.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે અને વિધાન $D$ સાચું છે.

(C) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,કણનો વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,જે $v_x = u \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x \hat{i} + h_{\max} \hat{j}$ છે,જ્યાં $h_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
વેગમાન $\vec{p} = m v_x \hat{i} = m u \cos \theta \hat{i}$ છે.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = (x \hat{i} + h_{\max} \hat{j}) \times (m u \cos \theta \hat{i}) = -m u \cos \theta h_{\max} \hat{k}$ થાય.
તેનું મૂલ્ય $L = m u \cos \theta \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m u^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{2g}$ છે.
આમ,$L \propto u^3$ થાય.

(A, B) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\vec{r} = b \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j}$.
વેગ સદિશ: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -b \omega \sin \omega t \hat{i} + b \omega \cos \omega t \hat{j}$.
વેગનું મૂલ્ય: $v = |\vec{v}| = \sqrt{(-b \omega \sin \omega t)^2 + (b \omega \cos \omega t)^2} = b \omega$.
કારણ કે $v$ અચળ છે,ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mb^2\omega^2$ અચળ છે. તેથી,$\frac{E}{\omega} = \frac{1}{2}mb^2\omega$ અચળ છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ગતિપથ: $x = b \cos \omega t$ અને $y = b \sin \omega t$. વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $x^2 + y^2 = b^2(\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) = b^2$. આ એક વર્તુળ છે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
પ્રવેગ: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -b \omega^2 \cos \omega t \hat{i} - b \omega^2 \sin \omega t \hat{j} = -\omega^2 \vec{r}$.
ઘટકો: $a_x = -b \omega^2 \cos \omega t$ અને $a_y = -b \omega^2 \sin \omega t$. તેથી,$a_x^2 + a_y^2 = (b \omega^2)^2$,જે $a_x-a_y$ સમતલમાં એક વર્તુળ છે. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
કારણ કે $\vec{a} = -\omega^2 \vec{r}$ અને $\vec{v} \perp \vec{r}$,$\vec{a}$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર નથી. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.

(B) બે સરળ આવર્ત ગતિઓ કે જેમના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\delta$ છે,તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{\text{res}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $A_{\text{res}}^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \delta$.
અહીં આપેલ છે કે $A_1 = A_2 = A$ અને પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{\text{res}} = A$,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$A^2 = A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \delta$.
$A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \delta$.
$A^2 - 2A^2 = 2A^2 \cos \delta$.
$-A^2 = 2A^2 \cos \delta$.
$\cos \delta = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\cos \delta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,કળા તફાવત $\delta = 120^{\circ}$ અથવા $\delta = \frac{2\pi}{3}$ રેડિયન થાય.

(A) કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ને $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કણ $xy$-સમતલમાં ગતિ કરતો હોવાથી,$\vec{L}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં (ગતિના સમતલને લંબ) હોય છે.
બિંદુ $A$ પર,કણ $y$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે (લંબગોળના સૌથી જમણા બિંદુએ સ્પર્શક),તેથી રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ એ $+y$ દિશામાં છે.
આપણે $\vec{\alpha} = \vec{p} \times \vec{L}$ ની દિશા શોધવાની છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{p}$ એ $+y$ દિશામાં $(\hat{j})$ છે.
$\vec{L}$ એ $+z$ દિશામાં $(\hat{k})$ છે.
તેથી,$\vec{\alpha} = \vec{p} \times \vec{L} = (p\hat{j}) \times (L\hat{k}) = pL(\hat{j} \times \hat{k}) = pL\hat{i}$.
આ $+x$ અક્ષની દિશા દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે પરિભ્રમણની ધરી $AX$ રેખા છે,જે શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે.
તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ ધરી $AX$ ની આસપાસ વ્યક્તિગત કણોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$I = \sum m_i r_i^2$,જ્યાં $r_i$ એ ધરી $AX$ થી $i$-માં કણનું લંબ અંતર છે.
$1$. શિરોબિંદુ $A$ પરના કણ માટે: અંતર $r_A = 0$,તેથી $I_A = m(0)^2 = 0$.
$2$. શિરોબિંદુ $B$ પરના કણ માટે: અંતર $r_B = a$,તેથી $I_B = m(a)^2 = ma^2$.
$3$. શિરોબિંદુ $C$ પરના કણ માટે: $AX$ થી લંબ અંતર $r_C = a \cos 60^{\circ} = a \times \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$ છે.
તેથી,$I_C = m(\frac{a}{2})^2 = \frac{ma^2}{4}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_A + I_B + I_C = 0 + ma^2 + \frac{ma^2}{4} = \frac{5ma^2}{4} \text{ } g-cm^2$.

(B) આપેલ આંતરિક ઉર્જા $U = A P^2 V$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ $dQ = dU + dW = 0$ જણાવે છે, જેનો અર્થ છે $dU = -dW = -P dV$.
આમ, $dU = -P dV$.
$U$ નું $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $dU = A P^2 dV + 2 A P V dP$.
$dU$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $-P dV = A P^2 dV + 2 A P V dP$.
$P$ વડે ભાગતા (ધારો કે $P \neq 0$): $-dV = A P dV + 2 A V dP$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $-dV - A P dV = 2 A V dP \Rightarrow -(1 + A P) dV = 2 A V dP$.
ચલને અલગ કરતા: $-\frac{dV}{V} = \frac{2 A dP}{1 + A P}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\int \frac{dV}{V} = \int \frac{2 A dP}{1 + A P}$.
$-\ln V = 2 \ln(1 + A P) + C$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\ln V + \ln(1 + A P)^2 = \text{અચળ}$ મળે છે.
તેથી, $V(1 + A P)^2 = \text{અચળ}$.

(A) વાયુના અણુઓની સૌથી સંભવિત ઝડપ $v_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v_p \propto \sqrt{T}$.
સમતાપી વક્રો અચળ તાપમાનની રેખાઓ દર્શાવે છે. $P-V$ આલેખમાં,ઉગમબિંદુથી દૂર આવેલા સમતાપી વક્રો ઊંચા તાપમાન દર્શાવે છે.
આકૃતિ પરથી,સમતાપી વક્ર $EF$ ઉગમબિંદુથી સૌથી દૂર છે,ત્યારબાદ $CD$ આવે છે,અને $AB$ સૌથી નજીક છે.
બિંદુઓ $3$ અને $4$ એ સમતાપી વક્ર $EF$ પર આવેલા છે,તેથી $T_3 = T_4$. આમ,$3$ પર $v_p = 4$ પર $v_p$.
બિંદુ $2$ એ સમતાપી વક્ર $CD$ પર આવેલું છે,તેથી $T_2$ એ $CD$ નું તાપમાન છે.
બિંદુ $1$ એ સમતાપી વક્ર $AB$ પર આવેલું છે,તેથી $T_1$ એ $AB$ નું તાપમાન છે.
તાપમાનનો ક્રમ $T_3 = T_4 > T_2 > T_1$ હોવાથી,સૌથી સંભવિત ઝડપનો ક્રમ $3$ પર $v_p = 4$ પર $v_p > 2$ પર $v_p > 1$ પર $v_p$ થશે.

(B) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,આપેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{total} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC}$ છે.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ (સમકદ પ્રક્રિયા) માટે:
$\Delta Q_{AB} = n C_V \Delta T = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{\gamma - 1}$
અહીં $n = 1$ મોલ,દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે $\gamma = 1.4 = 7/5$ છે.
$\Delta Q_{AB} = \frac{2 P_0 V_0 - P_0 V_0}{7/5 - 1} = \frac{P_0 V_0}{2/5} = 2.5 P_0 V_0$.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ (સમતાપી પ્રક્રિયા) માટે:
$\Delta Q_{BC} = W_{BC} = n R T \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right) = P_B V_B \ln \left( \frac{V_C}{V_B} \right)$
કારણ કે $P_B V_B = 2 P_0 V_0$ અને $V_C = 2 V_0, V_B = V_0$ છે:
$\Delta Q_{BC} = 2 P_0 V_0 \ln \left( \frac{2 V_0}{V_0} \right) = 2 P_0 V_0 \ln 2 = 2 P_0 V_0 (0.7) = 1.4 P_0 V_0$.
કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{total} = 2.5 P_0 V_0 + 1.4 P_0 V_0 = 3.9 P_0 V_0$.

(B) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = \text{constant}$ માટે, મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_V + \frac{R}{1-n}$ છે.
આપેલ છે કે $n = 3$ અને એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે $C_V = \frac{3R}{2}$.
તેથી, $C = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-3} = \frac{3R}{2} - \frac{R}{2} = R$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ ($1$ મોલ માટે) પરથી, $T = \frac{PV}{R}$ મળે.
પ્રારંભિક અવસ્થા: $T_1 = \frac{P_1 V_1}{R}$.
અંતિમ અવસ્થા: $P_1 V_1^3 = P_2 V_2^3$ હોવાથી, $P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^3$.
$T_2 = \frac{P_2 V_2}{R} = \frac{P_1 V_1^3}{R V_2^2}$.
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C \Delta T = 1 \cdot R \cdot (T_2 - T_1)$ છે.
$Q = R \left( \frac{P_1 V_1^3}{R V_2^2} - \frac{P_1 V_1}{R} \right) = P_1 V_1 \left( \frac{V_1^2}{V_2^2} - 1 \right)$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પરિણામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta E_k$।
અતિ સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર $dx$ માટે,કરવામાં આવેલ કાર્ય $dW = F \cdot dx$ છે.
તેથી,$F = \frac{dE_k}{dx}$.
આનો અર્થ એ છે કે કણ પર લાગતું બળ એ $E_k$ વિરુદ્ધ $X$ ના આલેખના ઢાળ (slope) જેટલું હોય છે.
આપણે $X = 10 \ m$ પર બળ શોધવાનું છે. આ બિંદુ $X = 8 \ m$ અને $X = 12 \ m$ વચ્ચેના રેખાખંડ પર આવેલું છે.
આ રેખાખંડના અંતિમ બિંદુઓના યામ $(8, 40)$ અને $(12, 20)$ છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{20 - 40}{12 - 8} = \frac{-20}{4} = -5 \ N$ છે.
$X = 8 \ m$ અને $X = 12 \ m$ ની વચ્ચે ઢાળ અચળ હોવાથી,$X = 10 \ m$ પર લાગતું બળ $-5 \hat{i} \ N$ થશે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ (Emf) $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથનો અવરોધ $R$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\epsilon}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ $i = \frac{dq}{dt}$,જ્યાં $dq$ એ $dt$ સમયમાં વહેતો નાનો વિદ્યુતભાર છે.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{dq}{dt} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,કુલ વહેતો વિદ્યુતભાર $q$ મળે છે:
$q = \int dq = -\frac{1}{R} \int d\phi = \frac{\Delta\phi}{R}$.
અહીં $\Delta\phi = 5 \text{ Wb}$ અને $R = 100 \Omega$ આપેલ છે,તેથી વિદ્યુતભાર $q = \frac{5}{100} = 0.05 \text{ C}$ થાય.

(D) આકૃતિ પરથી,પ્રવાહ $I$ એ emf $E$ કરતા $\phi = \frac{\pi}{4}$ જેટલો કળામાં આગળ છે. આ સૂચવે છે કે પરિપથ કેપેસિટિવ ($RC$ શ્રેણી પરિપથ) છે.
$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં,કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,એટલે કે $X_C = R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
અહીં $\omega = 100 \text{ rad/s}$ અને $R = 1 \text{ k}\Omega = 1000 \text{ }\Omega$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $1000 = \frac{1}{100 \times C}$.
$C = \frac{1}{100 \times 1000} = \frac{1}{10^5} = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10 \mu\text{F}$.
આમ,$R = 1 \text{ k}\Omega$ અને $C = 10 \mu\text{F}$ મળે છે.

(D) આપેલ કાલ્પનિક દુનિયામાં,કોણીય વેગમાન $L = 2n' \frac{h}{2\pi} = n' \frac{h}{\pi}$ છે,જ્યાં $n' = 1, 2, 3, \dots$ છે.
આને પ્રમાણિત બોહર ક્વોન્ટાઈઝેશન $L = n \frac{h}{2\pi}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે માન્ય કક્ષાઓ $n = 2n'$ ને અનુરૂપ છે.
કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ છે. $n = 2n'$ મૂકતા,આપણને $E_{n'} = -\frac{13.6}{(2n')^2} = -\frac{13.6}{4n'^2} = -\frac{3.4}{n'^2} \text{ eV}$ મળે છે.
દ્રશ્યમાન વિસ્તાર માટે,સંક્રમણ આ સિસ્ટમની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા પર સમાપ્ત થવું જોઈએ. ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n'=1$ $(n=2)$ છે અને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n'=2$ $(n=4)$ છે.
દ્રશ્યમાન વિસ્તારમાં સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ (સૌથી ઓછી ઉર્જા) માટેનું સંક્રમણ $n'=2$ થી $n'=1$ સુધીનું છે.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{3.4}{2^2} - (-\frac{3.4}{1^2}) = -0.85 + 3.4 = 2.55 \text{ eV}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1242 \text{ eV-nm}}{2.55 \text{ eV}} \approx 487 \text{ nm}$ છે.

(A, B) $He^{+}$ માં સંક્રમણ માટે જરૂરી ઊર્જા $E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $He^{+}$ માટે,$Z=2$,તેથી $E = 13.6 \times 4 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 54.4 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) eV$.
$n=2$ થી $n=4$ ના સંક્રમણ માટે,$E = 54.4 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 54.4 \left( \frac{3}{16} \right) = 10.2 eV$.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $10.2 eV$ હોવાથી,$He^{+}$ ઇલેક્ટ્રોન $n=2$ થી $n=4$ માં ઉત્તેજિત થઈ શકે છે.
એકવાર $n=4$ અવસ્થામાં પહોંચ્યા પછી,ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{4(4-1)}{2} = 6$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને $B$ સાચા છે.

(B) પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્રણેય કેપેસિટર $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસીટન્સના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
તમામ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$C_{eq} = C + C + C = 3C$
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $3C$ છે.

(A) બાહ્ય અવરોધ $R$ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_R = \frac{E}{(R + r)} \times R$
અંશ અને છેદને $R$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$V_R = \frac{E}{(1 + r/R)}$
બેટરી અચળ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે તે માટે,બાહ્ય લોડ $R$ માં થતા ફેરફારોને ધ્યાનમાં લીધા વિના,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_R$ એ emf $E$ ની લગભગ સમાન હોવો જોઈએ.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $r/R$ ખૂબ નાનું હોય,જેનો અર્થ છે કે $r << R$.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ કણનું દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
ત્રણેય કણો માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન હોવાથી,$\sqrt{2mK} = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $mK = \text{અચળ}$ અથવા $K \propto \frac{1}{m}$.
કણોના દળ $m_e$ (ઇલેક્ટ્રોન),$m_p$ (પ્રોટોન) અને $m_{\alpha}$ (આલ્ફા કણ) છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $m_e < m_p < m_{\alpha}$.
ગતિઊર્જા $K$ એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને $\varepsilon_1 > \varepsilon_3 > \varepsilon_2$ મળે છે (જ્યાં $\varepsilon_1$ ઇલેક્ટ્રોન માટે,$\varepsilon_3$ પ્રોટોન માટે અને $\varepsilon_2$ આલ્ફા કણ માટે છે).

(B) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q$ ને $y$-અક્ષ પર $y$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. વિદ્યુતભારનું સ્થાન $(0, y)$ બને છે.
$(-a, 0)$ અને $(a, 0)$ પર રહેલા દરેક $-q$ વિદ્યુતભારથી આ વિદ્યુતભારનું અંતર $r = \sqrt{a^2 + y^2}$ છે.
દરેક $-q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F' = \frac{kq^2}{r^2} = \frac{kq^2}{a^2 + y^2}$ છે.
સંમિતિને કારણે $x$-અક્ષ પરના આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
$y$-અક્ષ પરના ઘટકો બંને ઉગમબિંદુ તરફ (ઋણ $y$-દિશામાં) લાગે છે.
પરિણામી બળ $F = -2 F' \sin \theta$ છે,જ્યાં $\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}}$.
$F = -2 \left( \frac{kq^2}{a^2 + y^2} \right) \left( \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}} \right) = -\frac{2kq^2 y}{(a^2 + y^2)^{3/2}}$.
સ્થાનાંતર $y$ ખૂબ નાનું હોવાથી $(y \ll a)$,આપણે $(a^2 + y^2)^{3/2} \approx (a^2)^{3/2} = a^3$ લઈ શકીએ.
આમ,$F \approx -\frac{2kq^2}{a^3} y$.
તેથી,$F \propto -y$.

(C) જ્યારે $q_a$ વિદ્યુતભારને વાહક ગોળાની પોલાણમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે પોલાણની અંદરની સપાટી પર $-q_a$ અને વાહક ગોળાની બહારની સપાટી પર $+q_a$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે.
તે જ રીતે,બીજા પોલાણમાં $q_b$ મૂકવાથી તેની અંદરની સપાટી પર $-q_b$ અને વાહક ગોળાની બહારની સપાટી પર $+q_b$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
વાહક ગોળાની બહારની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q_a + q_b$ થાય છે. વાહક હોવાથી,વાહકના અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
$q_a$ વિદ્યુતભાર બીજા પોલાણની અંદરની સપાટી પર પ્રેરિત $-q_b$ વિદ્યુતભાર અને ગોળાની બહારની સપાટી પરના વિદ્યુતભાર વિતરણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રને કારણે બળ અનુભવે છે.
જોકે,વાહકના ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક શીલ્ડિંગ ગુણધર્મને કારણે,પોલાણની બહારના વિદ્યુતભારો (બહારની સપાટીનો વિદ્યુતભાર અને બીજા પોલાણનો પ્રેરિત વિદ્યુતભાર સહિત) દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $q_a$ ધરાવતા પોલાણની અંદર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,$q_a$ વિદ્યુતભાર ફક્ત તેના પોતાના પોલાણની અંદરની સપાટી પર પ્રેરિત $-q_b$ વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રને અનુભવે છે,જે સંમિતિને કારણે તેના કેન્દ્ર પર શૂન્ય હોય છે.
આમ,$q_b$ અને પ્રેરિત વિદ્યુતભારોને કારણે $q_a$ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે.

(A, C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}}$ શૂન્ય હોય છે જો અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય,એટલે કે $\phi_{\text{total}} = 0$ થાય.
અર્ધગોળા માટે,$\phi_{\text{total}} = \phi_{\text{curved}} + \phi_{\text{flat}} = 0$.
સપાટ વર્તુળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{flat}} = -E \cdot A = -E(\pi R^2)$ છે (કારણ કે ક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીમાં પ્રવેશે છે).
તેથી,$\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{flat}} = E \pi R^2$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(C)$ સાચું છે.
કાર્ય વિશે વાત કરીએ તો,સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = -\vec{E} \cdot \Delta \vec{r}$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ને લંબ એક જ સમસ્થિતિમાન સમતલ પર આવેલા હોવાથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 0$ છે.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = q \Delta V = 0$ છે,જે પથ અને ત્રિજ્યા $R$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) ધારો કે $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બહારની કવચ પર અર્થિંગ કર્યા પછી $q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
બહારની કવચ અર્થિંગ કરેલી હોવાથી,તેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બહારની કવચ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ અંદરના વિદ્યુતભાર $Q$ અને બહારના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_{\text{outer}} = \frac{KQ}{2R} + \frac{Kq}{2R} = 0$
$q$ માટે ઉકેલતા,આપણને $q = -Q$ મળે છે.
હવે,કેન્દ્રથી $r = \frac{3R}{2}$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાનની ગણતરી કરીએ.
અહીં $R < r < 2R$ હોવાથી,આ બિંદુ અંદરના ગોળાની બહાર અને બહારના ગોળાની અંદર આવેલું છે.
આ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ અંદરના ગોળાને કારણે (બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે) અને બહારના ગોળાને કારણે (અંદરના ભાગમાં અચળ) ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V(r) = \frac{KQ}{r} + \frac{Kq}{2R}$
$r = \frac{3R}{2}$ અને $q = -Q$ મૂકતા:
$V = \frac{KQ}{3R/2} + \frac{K(-Q)}{2R} = \frac{2KQ}{3R} - \frac{KQ}{2R} = \frac{4KQ - 3KQ}{6R} = \frac{KQ}{6R} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{6R}$

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $V-X$ આલેખના ઢાળનું ઋણ મૂલ્ય છે.
$1$. અંતરાલ $X \in [-4, -2]$ માટે: ઢાળ $\frac{10 - 0}{-2 - (-4)} = \frac{10}{2} = 5$ છે. તેથી,$E = -5$.
$2$. અંતરાલ $X \in [-2, 2]$ માટે: સ્થિતિમાન અચળ $(V = 10)$ છે,તેથી ઢાળ $0$ છે. તેથી,$E = 0$.
$3$. અંતરાલ $X \in [2, 7]$ માટે: ઢાળ $\frac{0 - 10}{7 - 2} = \frac{-10}{5} = -2$ છે. તેથી,$E = -(-2) = 2$.
આ મૂલ્યોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ એ $X \in [-4, -2]$ માટે $E = -5$,$X \in [-2, 2]$ માટે $E = 0$ અને $X \in [2, 7]$ માટે $E = 2$ દર્શાવે છે.

(D) કવચ $B$ ની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ ત્રણેય કવચો $A, B$ અને $C$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_B = V_{A,B} + V_{B,B} + V_{C,B}$
કવચની અંદરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તેની સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે,તેથી:
$V_{A,B} = \frac{k Q_A}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\sigma(4\pi a^2)}{b} = \frac{\sigma a^2}{\varepsilon_0 b}$
$V_{B,B} = \frac{k Q_B}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} = -\frac{\sigma b}{\varepsilon_0}$
$V_{C,B} = \frac{k Q_C}{c} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} = \frac{\sigma c}{\varepsilon_0}$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$V_B = \frac{\sigma a^2}{\varepsilon_0 b} - \frac{\sigma b}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma c}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{a^2}{b} - b + c \right)$

(C) નાના પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{l}$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $d\vec{F} = I (d\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ ખંડ $d\vec{l} = dx \hat{i}$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) \hat{k}$ છે.
તેથી,$d\vec{F} = I (dx \hat{i}) \times B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) \hat{k} = I B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx (\hat{i} \times \hat{k}) = I B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx (-\hat{j})$.
કુલ બળ શોધવા માટે,આપણે $x = a$ થી $x = 2a$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\vec{F} = \int_{a}^{2a} I B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx (-\hat{j})$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \int_{a}^{2a} \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \left[ 2x - \frac{x^2}{2a} \right]_{a}^{2a}$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \left[ \left( 2(2a) - \frac{(2a)^2}{2a} \right) - \left( 2(a) - \frac{a^2}{2a} \right) \right]$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \left[ (4a - 2a) - (2a - 0.5a) \right]$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} [ 2a - 1.5a ] = -I B_0 \left( \frac{a}{2} \right) \hat{j}$.
આને આપેલા બળ $\vec{F} = I B_0 \left( \frac{ka}{2} \right) \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = -1$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_B = I \vec{L}_{eff} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર તાર માટે,અસરકારક લંબાઈ $\vec{L}_{eff}$ એ બે છેડાઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે વ્યાસ $2r$ જેટલું થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $F_B = I(2r)B = 2IrB$ થાય છે.
આ કુલ ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ તારના છેડાઓ સાથે જોડાયેલી બે સમાન સ્પ્રિંગ $X$ અને $Y$ દ્વારા સમાન રીતે વહેંચાય છે.
ધારો કે દરેક સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ $F$ છે. તો,$2F = F_B$ થાય.
$F_B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2F = 2IrB$ મળે છે.
આમ,દરેક સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ $F = I r B$ છે.

(A, B, D) લૂપમાં પ્રેરિત ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = B \times b \times v$ છે,જે ફક્ત $PS$ ભાગમાં જ કાર્યરત છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થઈ રહ્યો છે.
લૂપનો કુલ અવરોધ $R_{\text{total}} = \lambda(2b + 2a)$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{total}}} = \frac{Bbv}{\lambda(2b + 2a)}$ છે.
લેન્ઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જેમ લૂપ બહાર નીકળે છે તેમ પેજની અંદર તરફનું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે,તેથી આ ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે.
ભાગ $SR$ માટે,લંબાઈ સદિશ $\vec{\ell}$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને સમાંતર છે,તેથી પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \vec{v} \times \vec{B} \cdot \vec{\ell} = 0$ થાય છે. આમ,ભાગ $SR$ માં કોઈ પ્રેરણ થતું નથી.
તેથી,વિધાનો $A$,$B$ અને $D$ સાચા છે.

(C) બંને રેખીય વિદ્યુતભારો પર $\ell$ લંબાઈનો ખંડ ધ્યાનમાં લો,જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે.
બે રેખીય વિદ્યુતભારો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું વિદ્યુત બળ $F_E$ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F_E = \frac{2 k \lambda_1 \lambda_2 \ell}{d} = \frac{2 \lambda_1 \lambda_2 \ell}{4 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 d}$.
ગતિશીલ વિદ્યુતભારો $I_1 = \lambda_1 v$ અને $I_2 = \lambda_2 v$ જેટલો પ્રવાહ રચે છે.
બે સમાંતર પ્રવાહધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું ચુંબકીય બળ $F_B$ છે: $F_B = \frac{\mu_0 I_1 I_2 \ell}{2 \pi d} = \frac{\mu_0 (\lambda_1 v) (\lambda_2 v) \ell}{2 \pi d} = \frac{\mu_0 \lambda_1 \lambda_2 v^2 \ell}{2 \pi d}$.
ચુંબકીય આકર્ષણ બળ વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે તે માટે,$F_E = F_B$ લેતા:
$\frac{\lambda_1 \lambda_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{\mu_0 \lambda_1 \lambda_2 v^2 \ell}{2 \pi d}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{\varepsilon_0} = \mu_0 v^2$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ હોવાથી,$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = c^2$ અથવા $v = c$.

(C) ગતિશીલ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કક્ષાના સમતલને લંબ હોવાથી,બળ $\vec{F}$ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે (કેન્દ્રગામી બળ).
ન્યુક્લિયસની આસપાસ ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $\vec{F}$ કેન્દ્ર તરફ હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ એક જ રેખા પર (પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.
તેથી,$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$.
ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,ટોર્ક સદિશનો કોઈપણ સદિશ સાથેનો ડોટ ગુણાકાર,જેમાં કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ પણ સામેલ છે,તે શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{\tau} \cdot \vec{L} = 0$.

(C) કોણીય વિભેદન $\theta$ એ બે ટપકાં વચ્ચેના અંતર $x$ અને આંખથી અંતર $d$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે, એટલે કે $\theta = \frac{x}{d}$.
આપેલ છે કે પ્રિન્ટર $300 \text{ dots per inch}$ પ્રિન્ટ કરે છે, તેથી બે નજીકના ટપકાં વચ્ચેનું અંતર $x = \frac{1 \text{ inch}}{300} = \frac{2.54 \text{ cm}}{300}$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $5.8 \times 10^{-4} = \frac{2.54 \text{ cm} / 300}{d}$.
$d$ માટે ગોઠવતા: $d = \frac{2.54}{300 \times 5.8 \times 10^{-4}} \text{ cm}$.
$d = \frac{2.54}{0.174} \text{ cm} \approx 14.597 \text{ cm}$.
આમ, લઘુત્તમ અંતર આશરે $14.59 \text{ cm}$ છે.

(B) શ્રેણી અવરોધ $R_s$ પરનો વોલ્ટેજ $V_{R_s} = V_{in} - V_z = 10 \, V - 6 \, V = 4 \, V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઝેનર ડાયોડ વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે કાર્ય કરે તે માટે, જ્યારે લોડ પ્રવાહ $I_L$ શૂન્ય હોય ત્યારે પણ તે લઘુત્તમ પ્રવાહ $I_{z,min} = 10 \, mA$ જાળવી રાખવો જોઈએ.
$R_s$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_z + I_L$ છે.
$R_s$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે એવી સ્થિતિ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં લોડ પ્રવાહ $I_L$ લઘુત્તમ હોય (એટલે કે $I_L = 0$).
આમ, $I = I_{z,min} = 10 \, mA$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $R_s = \frac{V_{R_s}}{I} = \frac{4 \, V}{10 \, mA} = \frac{4 \, V}{10 \times 10^{-3} \, A} = 400 \, \Omega$.
તેથી, $R_s$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $400 \, \Omega$ છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{res} = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક વ્યક્તિગત તરંગની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
$\Delta x = \lambda$ પથ તફાવત માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ થાય.
તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ છે.
હવે,$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ પથ તફાવત માટે,કળા તફાવત $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
નવી તીવ્રતા $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I' = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$ મળે.
કારણ કે $I = 4I_0$,તેથી $I_0 = \frac{I}{4}$ થાય.
આ કિંમત $I'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $I' = 2(\frac{I}{4}) = 0.5I$ મળે છે.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
આપેલ છે કે $I_{max} = 4 I_{min}$,તેથી $(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = 4(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 2(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})$.
પદોને ગોઠવતા: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 2\sqrt{I_1} - 2\sqrt{I_2}$.
આનું સાદું રૂપ $3\sqrt{I_2} = \sqrt{I_1}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા $9I_2 = I_1$ મળે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = 9/1$ થાય.
આમ,બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_2/I_1 = 1/9$ છે.