WBJEE 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) व्यंजक का प्रांत $x > 0$ है।
दी गई असमिका: $\log _{25} x^2 + (\log _5 x)^2 < 2$।
गुणधर्म $\log _{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log _a b$ का उपयोग करने पर,$\log _{25} x^2 = \log _{5^2} x^2 = \frac{2}{2} \log _5 x = \log _5 x$।
इसे असमिका में प्रतिस्थापित करने पर: $\log _5 x + (\log _5 x)^2 < 2$।
माना $y = \log _5 x$ है। तब $y^2 + y - 2 < 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y + 2)(y - 1) < 0$।
इसका अर्थ है $-2 < y < 1$।
$y = \log _5 x$ वापस रखने पर: $-2 < \log _5 x < 1$।
घातांकीय रूप में बदलने पर: $5^{-2} < x < 5^1$।
अतः,$\frac{1}{25} < x < 5$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2ax^2 + (2a + b)x + b = 0$ है।
विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 2a$,$B = (2a + b)$,और $C = b$ है।
$D = (2a + b)^2 - 4(2a)(b) = 4a^2 + 4ab + b^2 - 8ab = 4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$।
चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,$(2a - b)^2$ एक पूर्ण वर्ग है।
यदि परिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण का विविक्तकर एक पूर्ण वर्ग है,तो मूल परिमेय होते हैं।
अतः,मूल परिमेय हैं।

(B) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-(a-2)x-(a+1)=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = a-2$ और $\alpha\beta = -(a+1)$ है।
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha^2+\beta^2 = (a-2)^2 - 2(-(a+1)) = (a-2)^2 + 2(a+1)$।
इसे विस्तारित करने पर,$\alpha^2+\beta^2 = a^2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $a^2 - 2a + 6 = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a-1)^2 + 5$।
चूंकि $(a-1)^2 \geq 0$,इसलिए न्यूनतम मान $5$ है,जो $a-1 = 0$ अर्थात $a = 1$ पर प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $z^{1/3} = p + iq$,अतः $z = (p + iq)^3$.
विस्तार करने पर,$z = p^3 + 3ip^2q - 3pq^2 - iq^3 = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$.
$z = x - iy$ से तुलना करने पर:
$x = p(p^2 - 3q^2)$
$y = -q(3p^2 - q^2)$.
अब,$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3q^2) + (q^2 - 3p^2) = -2(p^2 + q^2)$.
अतः,$\frac{(\frac{x}{p} + \frac{y}{q})}{(p^2 + q^2)} = -2$.

(B) दी गई असमिका $|z - 25i| \leq 15$ सम्मिश्र तल में एक वृत्त को दर्शाती है जिसका केंद्र $(0, 25)$ और त्रिज्या $r = 15$ है।
मूल बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,$\sin \theta = \frac{r}{d} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ लें,जहाँ $d = 25$ मूल बिंदु से केंद्र की दूरी है।
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।
$\arg(z)$ का मान $\frac{\pi}{2} - \theta$ से $\frac{\pi}{2} + \theta$ के बीच होता है।
इसलिए,$\text{Maximum } \arg(z) = \frac{\pi}{2} + \theta$ और $\text{Minimum } \arg(z) = \frac{\pi}{2} - \theta$ है।
अंतर $(\frac{\pi}{2} + \theta) - (\frac{\pi}{2} - \theta) = 2\theta = 2 \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ होगा।
चूंकि $\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$,इसलिए अंतर $2 \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ है।

(A) सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का कोणांक $\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 + 2k\pi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k \in \{0, 1, -1\}$ है।
चूँकि कोणांक का मुख्य मान $(-\pi, \pi]$ अंतराल में स्थित होता है,इसलिए मुख्य कोणांकों का योग इस सीमा से बाहर हो सकता है।
अतः,$\arg(z_1 z_2)$ का मुख्य मान,$\arg z_1$ और $\arg z_2$ के मुख्य मानों के योग के बराबर होना आवश्यक नहीं है।
इसी प्रकार,भागफल के लिए,$\arg(z_1 / z_2) = \arg z_1 - \arg z_2 + 2k\pi$,जो मुख्य मानों के अंतर के बराबर नहीं भी हो सकता है।

(B) मान लीजिए शीर्ष $C$ को सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ द्वारा दर्शाया गया है। $A$ के निर्देशांक $(0, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(2a, 0)$ हैं।
चूंकि कोण $\angle ACB = \alpha$ है,इसलिए सदिशों $\vec{CA}$ और $\vec{CB}$ के अनुपात का कोणांक $\alpha$ है।
$\arg \left( \frac{0 - z}{2a - z} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{-z}{2a - z} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{z}{z - 2a} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{z - z_1}{z - z_2} \right) = \alpha$ के गुण का उपयोग करते हुए,बिंदु पथ $A(0,0)$ और $B(2a,0)$ से गुजरने वाला एक वृत्त है।
वृत्त का समीकरण $(x^2 + y^2) - 2ax - 2ay \cot \alpha = 0$ है।

(D) के प्रत्येक अवयव $x$ के लिए,$P \cap Q = \phi$ होने की स्थिति में $P$ और $Q$ में उसकी सदस्यता के संबंध में तीन परस्पर अपवर्जी संभावनाएं हैं:
$1$. $x \in P$ और $x \notin Q$
$2$. $x \notin P$ और $x \in Q$
$3$. $x \notin P$ और $x \notin Q$
चूंकि $A$ में $n$ अवयव हैं और प्रत्येक अवयव के लिए $3$ स्वतंत्र विकल्प हैं,इसलिए उपसमुच्चय $P$ और $Q$ को चुनने के कुल तरीके $3 \times 3 \times \dots \times 3$ ($n$ बार) = $3^n$ हैं।

(C) $n$ सफेद और $n$ काली गेंदों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि समान रंग की कोई भी दो गेंदें आसन्न न हों,गेंदों का रंग एकांतर (alternate) होना चाहिए।
व्यवस्था के लिए दो संभावित पैटर्न हैं:
$1$. $B, W, B, W, \ldots, B, W$ (काली गेंद से शुरुआत)
$2$. $W, B, W, B, \ldots, W, B$ (सफेद गेंद से शुरुआत)
प्रत्येक पैटर्न के लिए,$n$ काली गेंदों को $n!$ तरीकों से और $n$ सफेद गेंदों को $n!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इस प्रकार,पहले पैटर्न के लिए तरीकों की संख्या $n! \times n! = (n!)^2$ है।
इसी प्रकार,दूसरे पैटर्न के लिए तरीकों की संख्या $n! \times n! = (n!)^2$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $(n!)^2 + (n!)^2 = 2(n!)^2$.

(D) $100!$ के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $5$ की उच्चतम घात का घातांक ज्ञात करना होगा जो $100!$ को विभाजित करती है,जिसे $E_5(100!)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$.
$n = 100$ और $p = 5$ के लिए:
$E_5(100!) = \left[ \frac{100}{5} \right] + \left[ \frac{100}{25} \right] + \left[ \frac{100}{125} \right]$
$E_5(100!) = 20 + 4 + 0 = 24$.
अतः,$100!$ के अंत में $24$ शून्य हैं।

(B) $a, b, c$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए $b^2 = ac$. माना $r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$,तो $b = ar$ और $c = ar^2$.
चूंकि $\log a - \log 2b, \log 2b - \log 3c, \log 3c - \log a$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2(\log 2b - \log 3c) = (\log a - \log 2b) + (\log 3c - \log a)$.
$2 \log(\frac{2b}{3c}) = \log(\frac{3c}{2b})$.
माना $x = \frac{2b}{3c}$,तो $3 \log x = 0$,जिससे $x = 1$.
अतः,$2b = 3c \Rightarrow r = \frac{2}{3}$.
भुजाएं $a, \frac{2a}{3}, \frac{4a}{9}$ हैं।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{(\frac{2a}{3})^2 + (\frac{4a}{9})^2 - a^2}{2(\frac{2a}{3})(\frac{4a}{9})} = -\frac{29}{48} < 0$.
अतः,यह एक अधिककोण त्रिभुज है।

(B) हमारे पास $a_n = (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})^n$ और $b_n = n^n(n!)$ है।
$n=1$ के लिए,$a_1 = (1^2)^1 = 1$ और $b_1 = 1^1(1!) = 1$,इसलिए $a_1 = b_1$ है।
$n=2$ के लिए,$a_2 = (1^2+2^2)^2 = 5^2 = 25$ और $b_2 = 2^2(2!) = 4 \times 2 = 8$ है। अतः $a_2 > b_2$ है।
$n=3$ के लिए,$a_3 = (1^2+2^2+3^2)^3 = 14^3 = 2744$ और $b_3 = 3^3(3!) = 27 \times 6 = 162$ है। अतः $a_3 > b_3$ है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह सिद्ध किया जा सकता है कि सभी $n \geq 2$ के लिए $a_n > b_n$ होता है।

(A) माना $P = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n$.
अतः $\frac{1}{P^2} = \sec^2 \alpha_1 \sec^2 \alpha_2 \ldots \sec^2 \alpha_n = (1 + \tan^2 \alpha_1)(1 + \tan^2 \alpha_2) \ldots (1 + \tan^2 \alpha_n)$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$1 + \tan^2 \alpha_i \geq 2 \tan \alpha_i$.
इसलिए,$\frac{1}{P^2} \geq 2^n (\tan \alpha_1 \tan \alpha_2 \ldots \tan \alpha_n) = 2^n$.
अतः $P^2 \leq \frac{1}{2^n}$,जिसका अर्थ है $P \leq \frac{1}{2^{n/2}}$.
अधिकतम मान $\frac{1}{2^{n/2}}$ है।

(B) अंतर $g(n) - f(n) = 1 + (n+1)2^n - 2^{n+1}$ पर विचार करें।
चूंकि $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$,हमारे पास है:
$g(n) - f(n) = 1 + (n+1)2^n - 2 \cdot 2^n$
$g(n) - f(n) = 1 + (n+1-2)2^n$
$g(n) - f(n) = 1 + (n-1)2^n$.
सभी $n \in N$ के लिए,$n \geq 1$,जिसका अर्थ है कि $(n-1) \geq 0$.
चूंकि $2^n > 0$,पद $(n-1)2^n \geq 0$ है।
इसलिए,$1 + (n-1)2^n > 0$,जिसका अर्थ है कि $g(n) - f(n) > 0$ या $g(n) > f(n)$.

(B) दिया गया कोण $\theta = \sin^{-1}(\frac{3}{5})$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{4}$। रेखा की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
बिंदु $(-1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{3}{4}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = \frac{3}{4}(x + 1)$ है,जो $4y = 3x + 7$ में सरल होता है।
वक्र $x^2 = 4y - 9$ में $4y = 3x + 7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = (3x + 7) - 9$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$
अतः,$x = 1$ और $x = 2$।
$x = 1$ के लिए,$4y = 10 \Rightarrow y = \frac{5}{2}$। बिंदु $A = (1, \frac{5}{2})$।
$x = 2$ के लिए,$4y = 13 \Rightarrow y = \frac{13}{4}$। बिंदु $B = (2, \frac{13}{4})$।
दूरी $|AB| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (\frac{13}{4} - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ इकाई।

(B) दिया गया समीकरण $y-y_1=m(x-x_1)$ है,जिसे $y=mx+(y_1-mx_1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $m$ और $x_1$ स्थिर हैं,इसलिए रेखाओं की ढाल $(m)$ समान रहती है।
समान ढाल वाली रेखाएं एक-दूसरे के समांतर होती हैं।
अतः,$y_1$ के विभिन्न मानों के लिए,हमें समांतर रेखाओं का एक समूह प्राप्त होता है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) माना चर रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है,जहाँ $a^2 + b^2 = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = ax_1 + by_1 + c$ द्वारा दी जाती है।
बिंदुओं $(2,0)$,$(0,2)$ और $(1,1)$ से दूरियों का बीजगणितीय योग शून्य है:
$(2a + 0b + c) + (0a + 2b + c) + (1a + 1b + c) = 0$
$3a + 3b + 3c = 0$
$a + b + c = 0$
रेखा के समीकरण में $c = -(a + b)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
यह समीकरण सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य है यदि $x - 1 = 0$ और $y - 1 = 0$ हो।
अतः,रेखा हमेशा निश्चित बिंदु $(1,1)$ से होकर गुजरती है।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष,$x=0$ और $y=0$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $P(x, y)$ है।
बिंदु $P$ की रेखा $x=0$ से दूरी $|x|$ है और रेखा $y=0$ से दूरी $|y|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ इकाई है,इसलिए $|x| + |y| = 1$।
यह समीकरण एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ हैं।

(B) माना रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। बिंदु $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
$O(0, 0)$,$A(a, 0)$ और $B(0, b)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा $ax + by = 0$ है।
$A(a, 0)$ से रेखा $ax + by = 0$ की दूरी $m = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$B(0, b)$ से रेखा $ax + by = 0$ की दूरी $n = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
वृत्त का व्यास $AB = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
अतः,$m+n = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
इसलिए,वृत्त का व्यास $m+n$ है।

(C) माना दूसरी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx$ है,जिसे $mx - y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त का केंद्र $C(2, -1)$ है। त्रिज्या $r$,$C$ से स्पर्श रेखा $3x + y = 0$ तक की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(2) + 1(-1)|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$.
चूंकि दूसरी स्पर्श रेखा $mx - y = 0$ भी वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए $C(2, -1)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी भी $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(2) - 1(-1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$
$\frac{|2m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(2m + 1)^2}{m^2 + 1} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
$2(4m^2 + 4m + 1) = 5(m^2 + 1)$
$8m^2 + 8m + 2 = 5m^2 + 5$
$3m^2 + 8m - 3 = 0$
$(3m - 1)(m + 3) = 0$
अतः,$m = \frac{1}{3}$ या $m = -3$.
दी गई स्पर्श रेखा $3x + y = 0$ है,जिसकी ढाल $m = -3$ है।
इसलिए,दूसरी स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{1}{3}$ है।
समीकरण $y = \frac{1}{3}x$ है,जिसे सरल करने पर $x - 3y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,बशर्ते $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान हों।
दिया गया है $S_1 = px^2 + py^2 + 2g'x + 2f'y + d = 0$,इसे $p$ से विभाजित करके सामान्यीकृत करने पर:
$\frac{S_1}{p} = x^2 + y^2 + \frac{2g'}{p}x + \frac{2f'}{p}y + \frac{d}{p} = 0$.
अब,उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $\frac{S_1}{p} - S_2 = 0$ है।
$p$ से गुणा करने पर,हमें $S_1 - pS_2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना बिंदु $B$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ हैं। शीर्ष $A$ बिंदु $(0, 0)$ पर है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{2at - 0}{at^2 - 0} = \frac{2}{t}$ है।
चूंकि $BC \perp AB$,इसलिए $BC$ की ढाल $m_{BC} = -\frac{t}{2}$ है।
बिंदु $B(at^2, 2at)$ से गुजरने वाली और $-\frac{t}{2}$ ढाल वाली रेखा $BC$ का समीकरण:
$y - 2at = -\frac{t}{2}(x - at^2)$
परवलय के अक्ष $(y = 0)$ पर बिंदु $C$ ज्ञात करने के लिए:
$0 - 2at = -\frac{t}{2}(x - at^2)$
$4at = t(x - at^2)$
$4a = x - at^2$
$x = 4a + at^2$
अतः,$C$ के निर्देशांक $(4a + at^2, 0)$ हैं।
अक्ष पर $BC$ का प्रक्षेप दूरी $DC$ है,जहाँ $D$ अक्ष पर $B$ का प्रक्षेप है,अर्थात $D(at^2, 0)$।
$DC = |x_C - x_D| = |(4a + at^2) - at^2| = 4a$ इकाई।

(A) माना बिंदुओं के निर्देशांक $P_i(at_i^2, 2at_i)$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3, 4$ है।
चूँकि $P_1 P_2$ और $P_3 P_4$ नाभिलम्ब जीवाएँ हैं,इसलिए $t_1 t_2 = -1$ और $t_3 t_4 = -1$ है।
$P_i$ और $P_j$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $(t_i + t_j)y = 2x + 2at_i t_j$ है।
$P_1 P_3$ के लिए,समीकरण $(t_1 + t_3)y = 2x + 2at_1 t_3$ ... $(1)$ है।
$P_2 P_4$ के लिए,समीकरण $(t_2 + t_4)y = 2x + 2at_2 t_4$ ... $(2)$ है।
$t_2 = -1/t_1$ और $t_4 = -1/t_3$ प्रतिस्थापित करने पर,यह प्राप्त होता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -a$ रेखा पर स्थित है,जो परवलय की नियता है।

(A, B, C) रेखा $y=x+5$ है,इसलिए $m=1$ और $c=5$ है।
$(A)$ परवलय $y^2=4ax$ के लिए,स्पर्श रेखा की शर्त $c=\frac{a}{m}$ है। यहाँ $4a=20 \Rightarrow a=5$ है। अतः $c=\frac{5}{1}=5$ है। रेखा स्पर्श रेखा है।
$(B)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,स्पर्श रेखा की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है। यहाँ $a^2=16, b^2=9$ है। अतः $c^2=5^2=25$ और $a^2m^2+b^2=16(1)^2+9=25$ है। रेखा स्पर्श रेखा है।
$(C)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,स्पर्श रेखा की शर्त $c^2=a^2m^2-b^2$ है। यहाँ $a^2=29, b^2=4$ है। अतः $c^2=5^2=25$ और $a^2m^2-b^2=29(1)^2-4=25$ है। रेखा स्पर्श रेखा है।
$(D)$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के लिए,स्पर्श रेखा की शर्त $c^2=r^2(1+m^2)$ है। यहाँ $r^2=25, m=1$ है। अतः $c^2=25$ और $r^2(1+m^2)=25(1+1)=50$ है। चूंकि $25 \neq 50$,रेखा स्पर्श रेखा नहीं है।
इसलिए,विकल्प $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सही हैं।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt = x + at^2$ है।
यहाँ,$4a = 9$,इसलिए $a = \frac{9}{4}$।
स्पर्श रेखा $(4, 10)$ से गुजरती है,इसलिए $10t = 4 + \frac{9}{4}t^2$।
$4$ से गुणा करने पर,$40t = 16 + 9t^2$,या $9t^2 - 40t + 16 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(9t - 4)(t - 4) = 0$,जिससे $t = 4$ या $t = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{1}{t} = \tan \theta$ है।
दिया गया है कि $\tan \theta > 2$,इसलिए $\frac{1}{t} > 2$,जिसका अर्थ है $t < \frac{1}{2}$।
अतः,$t = \frac{4}{9}$ सही पैरामीटर है।
स्पर्श बिंदु $(at^2, 2at) = \left(\frac{9}{4} \times \left(\frac{4}{9}\right)^2, 2 \times \frac{9}{4} \times \frac{4}{9}\right) = \left(\frac{4}{9}, 2\right)$ है।

(A) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ हैं।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है। $y=0$ रखने पर,$x = -at^2$ प्राप्त होता है,अतः $T = (-at^2, 0)$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। $y=0$ रखने पर,$x = 2a + at^2$ प्राप्त होता है,अतः $G = (2a + at^2, 0)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा और अभिलंब परस्पर लंबवत होते हैं,$\angle PTG = 90^\circ$,जिसका अर्थ है कि $TG$ उस वृत्त का व्यास है जो $P, T$ और $G$ से होकर गुजरता है।
व्यास $TG$ की लंबाई $= |(2a + at^2) - (-at^2)| = |2a + 2at^2| = 2a(1+t^2)$ है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $\frac{1}{2} TG = a(1+t^2)$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
परवलय $y^2 = 4x$ की नियता (directrix) $x = -a$ अर्थात $x = -1$ है।
दिया गया बिंदु $(-1, -6)$ है।
चूँकि बिंदु का $x$-निर्देशांक $-1$ है,इसलिए यह बिंदु परवलय की नियता पर स्थित है।
परवलय के गुणधर्म के अनुसार,नियता पर स्थित किसी भी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब होती हैं।
अतः,दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\pi / 2$ है।

(D) मान लीजिए परवलय $(y - 6)^2 = 2(x - 4)$ पर बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(4 + \frac{t^2}{2}, 6 + t)$ हैं।
दिया गया है $P = (2, 0)$।
मान लीजिए $PQ$ का मध्य-बिंदु $R(h, k)$ है।
तब $h = \frac{2 + 4 + \frac{t^2}{2}}{2} = 3 + \frac{t^2}{4}$ और $k = \frac{0 + 6 + t}{2} = 3 + \frac{t}{2}$।
दूसरे समीकरण से,$\frac{t}{2} = k - 3$,इसलिए $t = 2(k - 3)$।
$h$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$h = 3 + \frac{(2(k - 3))^2}{4} = 3 + \frac{4(k - 3)^2}{4} = 3 + (k - 3)^2$।
$h - 3 = (k - 3)^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $(y - 3)^2 = x - 3$ प्राप्त होता है।
$y^2 - 6y + 9 = x - 3$।
$y^2 - 6y - x + 12 = 0$।

(A) माना जीवा $AB$ का समीकरण $lx + my = 1$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के समीकरण को जीवा के समीकरण $lx + my = 1$ की सहायता से समघात बनाने पर:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = (lx + my)^2$
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = l^2x^2 + m^2y^2 + 2lmxy$
$x^2(\frac{1}{a^2} - l^2) + y^2(\frac{1}{b^2} - m^2) - 2lmxy = 0$
चूंकि $AB$ मूलबिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
$(\frac{1}{a^2} - l^2) + (\frac{1}{b^2} - m^2) = 0$
$l^2 + m^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$
अतः,$\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ का मान $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। लघु अक्ष का धनात्मक सिरा $P(0, b)$ है।
माना $(h, k)$ एक जीवा का मध्यबिंदु है जो $(0, b)$ और दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से होकर गुजरती है।
अतः,$h = \frac{x_1 + 0}{2} \Rightarrow x_1 = 2h$ और $k = \frac{y_1 + b}{2} \Rightarrow y_1 = 2k - b$.
चूँकि $(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ है।
$x_1$ और $y_1$ के मान रखने पर,हमें $\frac{(2h)^2}{a^2} + \frac{(2k - b)^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{4h^2}{a^2} + \frac{4(k - b/2)^2}{b^2} = 1$ में सरल हो जाता है,जिसे $\frac{h^2}{(a/2)^2} + \frac{(k - b/2)^2}{(b/2)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{(a/2)^2} + \frac{(y - b/2)^2}{(b/2)^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ हैं। चूँकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है,$Q$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ होंगे।
दिया गया है कि $\triangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $\angle POD = 30^{\circ}$,जहाँ $D$ बिंदु $(a \sec \theta, 0)$ है।
$\triangle OPD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{PD}{OD} = \frac{b \tan \theta}{a \sec \theta}$ है।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{a} \sin \theta \implies \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3} \sin \theta}$।
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 \theta}$ होता है।
चूँकि $0 < \sin^2 \theta < 1$,इसलिए $\sin^2 \theta < 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\sin^2 \theta} > 1$ है।
अतः,$e^2 = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 \theta} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।
इस प्रकार,$e > \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ होता है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है,इसलिए $a = 3$ और $b = 2$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण: $3x \cos \theta + 2y \cot \theta = 13$ ... $(1)$.
$Q$ पर अभिलंब का समीकरण: $3x \cos \phi + 2y \cot \phi = 13$.
चूँकि $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ होगा।
अतः,$Q$ पर अभिलंब का समीकरण: $3x \sin \theta + 2y \tan \theta = 13$ ... $(2)$.
दोनों समीकरणों को हल करने पर,हमें $y = -\frac{13}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right) = 0$.
उभयनिष्ठ हर लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1} = 0$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-ax^2-ax-bx-b}{x+1} = 0$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(1-a)x^2 - (a+b)x + (1-b)}{x+1} = 0$
सीमा का मान $0$ होने के लिए,अंश में $x$ की उच्चतम घात का गुणांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$1-a = 0 \implies a = 1$.
$a=1$ रखने पर: $-(a+b) = 0 \implies -(1+b) = 0 \implies b = -1$.
अतः,$a=1$ और $b=-1$.

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
गुणधर्म $\ln(a^b) = b \ln(a)$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.
$L = \frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x) - \ln(1-x)}{x}$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} = a$ का उपयोग करके,हमें प्राप्त होता है:
$L = \frac{1}{2} \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1-x)}{x} \right)$.
$L = \frac{1}{2} (1 - (-1)) = \frac{1}{2} (2) = 1$.

(B) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. स्वतुल्यता: चूंकि $R$ और $S$ तुल्यता संबंध हैं,इसलिए सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ और $(a, a) \in S$ है। अतः,$(a, a) \in R \cap S$ है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R \cap S$,तो $(a, b) \in R$ और $(a, b) \in S$ है। चूंकि $R$ और $S$ सममित हैं,इसलिए $(b, a) \in R$ और $(b, a) \in S$,अतः $(b, a) \in R \cap S$ है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R \cap S$ और $(b, c) \in R \cap S$,तो $(a, b), (b, c) \in R$ और $(a, b), (b, c) \in S$ है। चूंकि $R$ और $S$ संक्रामक हैं,इसलिए $(a, c) \in R$ और $(a, c) \in S$,अतः $(a, c) \in R \cap S$ है।
अतः,$R \cap S$ एक तुल्यता संबंध है।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^4 = A^2 \times A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i-1-i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूंकि $A^4 = I$,इसलिए $A^{2018} = A^{2016} \times A^2 = (A^4)^{504} \times A^2 = I^{504} \times A^2 = A^2$.
अतः,$A^{2018} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
तुलना करने पर,$a=1$ और $d=-1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a+d = 1 + (-1) = 0$.

(B) हम जानते हैं कि $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए,इसके सहखंडज आव्यूह का सारणिक $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $\det(P) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
दिया गया है कि $\det(A) = 4$,इसलिए $\det(P) = 4^2 = 16$.
अब,आव्यूह $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2) = 2\alpha - 6$.
दोनों मानों की तुलना करने पर: $2\alpha - 6 = 16$.
$2\alpha = 22 \Rightarrow \alpha = 11$.

(D) अभिलक्षणिक समीकरण $\operatorname{det}(A-\lambda I_2)=0$ द्वारा दिया जाता है।
$\left|\begin{array}{cc} 2-\lambda & 3 \\ x & y-\lambda \end{array}\right|=0$
$(2-\lambda)(y-\lambda)-3x=0$
$\lambda^2 - (y+2)\lambda + 2y - 3x = 0$
चूँकि मूल $4$ और $8$ हैं,मूलों का योग $4+8=12$ और मूलों का गुणनफल $4 \times 8 = 32$ है।
$\lambda^2 - (y+2)\lambda + (2y-3x) = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$y+2 = 12 \Rightarrow y=10$.
$2y-3x = 32 \Rightarrow 2(10)-3x=32 \Rightarrow 20-3x=32 \Rightarrow -3x=12 \Rightarrow x=-4$.
अतः,$x=-4$ और $y=10$ है।

(B) $\Delta(x)$ में $x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि यह $\Delta'(0)$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\Delta(x) = \begin{vmatrix} x-2 & (x-1)^2 & x^3 \\ x-1 & x^2 & (x+1)^3 \\ x & (x+1)^2 & (x+2)^3 \end{vmatrix}$ है।
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\Delta'(x) = \Delta_1(x) + \Delta_2(x) + \Delta_3(x)$,जहाँ $\Delta_i$ वह सारणिक है जिसमें $i$-वीं पंक्ति का अवकलन किया गया है।
$\Delta'(0)$ की गणना करने के लिए,प्रत्येक पंक्ति का $x=0$ पर अवकलन किया जाता है।
अवकलन करने के बाद और $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta'(0) = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का गुणांक $-2$ है।

(B, D) सारणिक $\Delta$ का तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \cos \theta \begin{vmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi \end{vmatrix} - (- \sin \theta) \begin{vmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi \end{vmatrix} + 0$
$\Delta = \cos \theta [(\cos \theta \cos \phi)(\sin \theta \cos \phi) - (\cos \theta \sin \phi)(-\sin \theta \sin \phi)] + \sin \theta [(\sin \theta \cos \phi)(\sin \theta \cos \phi) - (\sin \theta \sin \phi)(-\sin \theta \sin \phi)]$
$\Delta = \cos \theta [\sin \theta \cos \theta \cos^2 \phi + \sin \theta \cos \theta \sin^2 \phi] + \sin \theta [\sin^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^2 \theta \sin^2 \phi]$
$\Delta = \cos \theta [\sin \theta \cos \theta (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)] + \sin \theta [\sin^2 \theta (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)]$
$\Delta = \cos \theta (\sin \theta \cos \theta) + \sin \theta (\sin^2 \theta) = \sin \theta \cos^2 \theta + \sin^3 \theta = \sin \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \sin \theta$
चूँकि $\Delta = \sin \theta$,यह $\phi$ से स्वतंत्र है।
साथ ही,$\frac{d \Delta}{d \theta} = \cos \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$\frac{d \Delta}{d \theta} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
अतः,विकल्प $B$ और $D$ दोनों सही हैं।

(D) रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX = B$ का एक अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \neq 0$.
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a-4 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1((1)(a-4) - (2)(2)) - 2((2)(a-4) - (2)(1)) + 4((2)(2) - (1)(1))$
$|A| = 1(a-4-4) - 2(2a-8-2) + 4(4-1)$
$|A| = (a-8) - 2(2a-10) + 4(3)$
$|A| = a - 8 - 4a + 20 + 12$
$|A| = -3a + 24$
अद्वितीय हल के लिए,$|A| \neq 0$.
$-3a + 24 \neq 0 \Rightarrow -3a \neq -24 \Rightarrow a \neq 8$.

(C) फलन $y = \sqrt{\log _{10} \frac{3x - x^2}{2}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान अऋणात्मक होना चाहिए:
$\log _{10} \left( \frac{3x - x^2}{2} \right) \geq 0$
चूँकि $\log _{10} 1 = 0$,इसलिए:
$\frac{3x - x^2}{2} \geq 1$
$3x - x^2 \geq 2$
$x^2 - 3x + 2 \leq 0$
$(x - 1)(x - 2) \leq 0$
यह असमिका $x \in [1, 2]$ के लिए सत्य है।
इसके अतिरिक्त,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए:
$\frac{3x - x^2}{2} > 0$
$x(3 - x) > 0$
$x(x - 3) < 0$
यह $x \in (0, 3)$ के लिए सत्य है।
$x \in [1, 2]$ और $x \in (0, 3)$ का सर्वनिष्ठ $x \in [1, 2]$ है।

(C) मान लीजिए $x_1, x_2 \in S$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$ है।
दोनों पक्षों पर $g$ लागू करने पर,हमें $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ प्राप्त होता है।
यह $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ के बराबर है।
चूंकि $g \circ f$ एक एकैकी प्रतिचित्रण दिया गया है,इसलिए $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ का अर्थ है $x_1 = x_2$ है।
चूंकि $f(x_1) = f(x_2)$ से $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है,इसलिए फलन $f$ अनिवार्य रूप से एकैकी होना चाहिए।
अतः,$f$ अनिवार्य रूप से एकैकी है।

(D) एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{2x_1}{x_1-1} = \frac{2x_2}{x_2-1}$
$x_1(x_2-1) = x_2(x_1-1)$
$x_1x_2 - x_1 = x_1x_2 - x_2$
$-x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: मान लीजिए $y = \frac{2x}{x-1}$.
$y(x-1) = 2x \Rightarrow yx - y = 2x \Rightarrow x(y-2) = y \Rightarrow x = \frac{y}{y-2}$.
चूंकि $y \in R-\{2\}$,$x$ हमेशा परिभाषित है और $x \neq 1$ है। अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक $y$ के लिए,प्रांत में एक $x$ मौजूद है।
इसलिए,$f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(C) माना $t = 2x-1$. चूँकि $0 < x < 1$,इसलिए $-1 < 2x-1 < 1$,अर्थात $-1 < t < 1$.
फलन $f(t) = \frac{t}{1-|t|}$ हो जाता है,जहाँ $t \in (-1, 1)$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(t) = \begin{cases} \frac{t}{1+t}, & -1 < t \leq 0 \\ \frac{t}{1-t}, & 0 < t < 1 \end{cases}$
चूँकि $f$ संतत है और $\lim_{t \to -1^+} f(t) = -\infty$ तथा $\lim_{t \to 1^-} f(t) = +\infty$,इसलिए $f$ का परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है। अतः,$f$ आच्छादक है।
अब,अवकलज ज्ञात करके एकैकी होने की जाँच करते हैं:
$f'(t) = \begin{cases} \frac{1}{(1+t)^2}, & -1 < t < 0 \\ \frac{1}{(1-t)^2}, & 0 < t < 1 \end{cases}$
सभी $t \in (-1, 1)$ के लिए $f'(t) > 0$ है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।
अतः,$f$ एकैकी है।
चूँकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह बाइजेक्टिव (bijective) है।

(D) फलन के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(a+1)x + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(a+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+1) + 1 = a+2$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+bx^2} - \sqrt{x}}{bx^{1/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx} - 1)}{bx^{1/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+bx} - 1}{b}$.
द्विपद प्रसार $(1+bx)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}bx$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + \frac{1}{2}bx - 1}{b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}bx}{b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{2} = 0$.
चूंकि $f(0) = c$,निरंतरता के लिए $a+2 = 0$ और $c = 0$ आवश्यक है।
अतः,$a = -2$ और $c = 0$। $RHL$ में हर में $b$ होने के कारण,$x > 0$ के लिए फलन को परिभाषित होने के लिए $b \neq 0$ होना चाहिए।
इसलिए,$a = -2, b \in \mathbb{R} - \{0\}, c = 0$।

(C) दिया गया है $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_2|x|^2 + a_3|x|^3$.
चूंकि $|x|^2 = x^2$ और $|x|^3 = |x| \cdot x^2$,हम लिख सकते हैं $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_2x^2 + a_3|x|x^2$.
$f(x)$ के $x=0$ पर अवकलनीय होने के लिए,बायां अवकलज और दायां अवकलज समान होने चाहिए।
$x=0$ पर दायां अवकलज: $f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{a_0 + a_1h + a_2h^2 + a_3h^3 - a_0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (a_1 + a_2h + a_3h^2) = a_1$.
$x=0$ पर बायां अवकलज: $f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{a_0 + a_1(-h) + a_2h^2 + a_3(-h^3) - a_0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-a_1 + a_2h - a_3h^2) = -a_1$.
अवकलनीयता के लिए,$f'(0^+) = f'(0^-) \implies a_1 = -a_1 \implies 2a_1 = 0 \implies a_1 = 0$.
अतः,$f(x)$,$x=0$ पर केवल तभी अवकलनीय है यदि $a_1=0$ हो।

(A) दिया गया है $y=e^{\tan ^{-1} x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{\tan ^{-1} x} \times \frac{d}{dx}(\tan ^{-1} x) = e^{\tan ^{-1} x} \times \frac{1}{1+x^2}$।
चूंकि $y = e^{\tan ^{-1} x}$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1+x^2}$।
दोनों पक्षों को $(1+x^2)$ से गुणा करने पर:
$(1+x^2) y_1 = y$।
बाएं पक्ष पर गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[(1+x^2) y_1] = \frac{d}{dx}(y)$।
$(1+x^2) y_2 + y_1(2x) = y_1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1+x^2) y_2 + (2x - 1) y_1 = 0$।

(B) दिया गया रूपांतरण $z = \log \tan \frac{x}{2}$ है।
सबसे पहले,$\frac{d z}{d x}$ ज्ञात करें:
$\frac{d z}{d x} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
अब,$\frac{d y}{d z}$ को $x$ के पदों में व्यक्त करें:
$\frac{d y}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \sin x$.
आगे,$\frac{d^2 y}{d z^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2 y}{d z^2} = \frac{d}{d z} \left( \sin x \frac{d y}{d x} \right) = \frac{d}{d x} \left( \sin x \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d x}{d z} = \left( \cos x \frac{d y}{d x} + \sin x \frac{d^2 y}{d x^2} \right) \cdot \sin x = \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + \sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2}$.
इसे लक्ष्य समीकरण $\frac{d^2 y}{d z^2} + k y = 0$ में प्रतिस्थापित करें:
$\sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2} + \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + k y = 0$.
$\sin^2 x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + k \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$.
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + 4 \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$ से करने पर,हमें $k = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जहाँ $m = \frac{dy}{dx}$ है।
चूँकि निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्श रेखा का खंड $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होता है,इसलिए स्पर्श रेखा अक्षों को $(2x_1, 0)$ और $(0, 2y_1)$ पर मिलती है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2y_1 - 0}{0 - 2x_1} = -\frac{y_1}{x_1}$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln y = -\ln x + C_0$,जिसका अर्थ है $\ln(xy) = C_0$,या $xy = C$ है।
चूँकि वक्र $(3, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $3 \times 2 = C$,जिससे $C = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र का समीकरण $xy = 6$ है।

(A) दिया गया त्वरण $v'(t) = a - kt^2$ है। चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $v(0) = 0$ है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $v(t) = \int (a - kt^2) dt = at - \frac{k}{3}t^3 + C$ प्राप्त होता है।
$v(0) = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $C = 0$ मिलता है,इसलिए $v(t) = at - \frac{k}{3}t^3$।
अधिकतम वेग ज्ञात करने के लिए,हम त्वरण को शून्य के बराबर रखते हैं: $a - kt^2 = 0$,जिससे $t^2 = \frac{a}{k}$ प्राप्त होता है,या $t = \sqrt{\frac{a}{k}}$ ($t > 0$ होने के कारण)।
$t$ के इस मान को वेग समीकरण में रखने पर:
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{k}{3} \left(\sqrt{\frac{a}{k}}\right)^3$
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{k}{3} \cdot \frac{a}{k} \sqrt{\frac{a}{k}}$
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{a}{3} \sqrt{\frac{a}{k}} = \frac{2a}{3} \sqrt{\frac{a}{k}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{a^3}{k}}$।

(C) मान लीजिए कि जब पत्थर गिराया जाता है तब गुब्बारे की ऊँचाई $h$ है और उसका ऊपर की ओर वेग $v$ है।
जब पत्थर गिराया जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग $u = v$ (ऊपर की ओर) होता है।
पत्थर के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
यहाँ,$s = -h$ (विस्थापन नीचे की ओर है),$u = v$,$a = -g = -32 \ ft/sec^2$,और $t = 4 \ sec$.
$-h = v(4) + \frac{1}{2}(-32)(4)^2$.
$-h = 4v - 16(16)$.
$-h = 4v - 256$.
$h = 256 - 4v$.
$4 \ sec$ में,गुब्बारा अतिरिक्त $d = v \times t = v \times 4 = 4v$ दूरी तय करता है।
जब पत्थर जमीन पर पहुँचता है तब गुब्बारे की कुल ऊँचाई $H = h + d$ होगी।
$H = (256 - 4v) + 4v = 256 \ ft$.

(A) दिया गया है $f(x) = x^2 + x \sin x - \cos x$।
हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2x + (\sin x + x \cos x) + \sin x = 2x + 2 \sin x + x \cos x = x(2 + \cos x) + 2 \sin x$।
$x > 0$ के लिए,$f(0) = -1$ है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$। चूँकि $f(0) = -1 < 0$ है और $f(x)$ सतत है,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(0, \infty)$ में कम से कम एक मूल मौजूद है।
इसी प्रकार,जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$। चूँकि $f(0) = -1 < 0$ है,$(-\infty, 0)$ में भी कम से कम एक मूल मौजूद है।
अतः,$f(x) = 0$ के कम से कम दो वास्तविक मूल हैं,जिसका अर्थ है कि इसका कम से कम एक वास्तविक मूल है।

(C) दिया गया है $f(x)=(x-2)^{17}(x+5)^{24}$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 17(x-2)^{16}(x+5)^{24} + 24(x-2)^{17}(x+5)^{23}$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} [17(x+5) + 24(x-2)]$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} [17x + 85 + 24x - 48]$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} (41x + 37)$
क्रांतिक बिंदु $x=2, x=-5, x=-\frac{37}{41}$ हैं।
अब,$x=2$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
चूंकि $(x-2)^{16}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है,$f'(x)$ का चिह्न $(x+5)^{23}(41x+37)$ पर निर्भर करता है।
जब $x$ का मान $2$ से थोड़ा कम होता है,तो $(x+5)^{23} > 0$ और $(41x+37) > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$।
जब $x$ का मान $2$ से थोड़ा अधिक होता है,तो $(x+5)^{23} > 0$ और $(41x+37) > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$।
चूंकि $x$ के $2$ से गुजरने पर $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए $x=2$ पर $f(x)$ का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम मान है।

(C) दिया गया है $f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका या अवकलन का उपयोग कर सकते हैं।
मान लीजिए $u = \sin x$ और $v = \cos x$ है। हम जानते हैं कि $u^2 + v^2 = 1$ होता है।
$f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$ के लिए,फलन अपना अधिकतम मान तब प्राप्त करता है जब $\sin x = \cos x$ हो।
$\sin x = \cos x$ रखने पर,हमें $\tan x = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$।
$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{1/\sqrt{2}} + e^{1/\sqrt{2}} = 2e^{1/\sqrt{2}}$।
अतः,अधिकतम मान $2e^{1/\sqrt{2}}$ है।

(C) माना वृत्ताकार सेक्टर की त्रिज्या $r$ है और चाप की लंबाई $\ell$ है।
यह दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $20 \ m$ है,इसलिए सेक्टर का परिमाप $2r + \ell = 20$ है।
अतः,$\ell = 20 - 2r$.
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r \ell$ द्वारा दिया जाता है।
$\ell$ का मान रखने पर,हमें $A = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0$.
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $2r = 10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $r = 5 \ m$.
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$,जो $0$ से कम है,यह पुष्टि करता है कि $r = 5 \ m$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
हमें प्राप्त होता है $g(a) = e^{-a} f(a) = e^{-a} \cdot 0 = 0$ और $g(b) = e^{-b} f(b) = e^{-b} \cdot 0 = 0$.
चूंकि $g(a) = g(b) = 0$,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g^{\prime}(c) = 0$ है।
अवकलन करने पर: $g^{\prime}(x) = -e^{-x} f(x) + e^{-x} f^{\prime}(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$.
किसी भी वास्तविक $c$ के लिए $e^{-c} \neq 0$ होता है,इसलिए $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि कम से कम एक $c \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(c) = f(c)$ है।

(C) यह दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $p^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए बहुपद $p(x)$ पूरी वास्तविक रेखा पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि $p(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए इसका अधिकतम एक वास्तविक मूल हो सकता है।
हमें $p(0) = 1$ दिया गया है।
चूंकि $p(x)$ निरंतर वर्धमान है और $p(0) = 1 > 0$ है,किसी भी $x > 0$ के लिए,$p(x) > p(0) = 1$ होगा,इसलिए $p(x)$ का कोई धनात्मक वास्तविक मूल नहीं हो सकता।
जैसे $x \to -\infty$,$p(x) \to -\infty$ (यदि घात विषम है)।
चूंकि $p(0) = 1$ है और फलन सतत और निरंतर वर्धमान है,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,कोई $x_0 < 0$ मौजूद होना चाहिए जिसके लिए $p(x_0) = 0$ हो।
अतः,$p(x)$ का ठीक एक ऋणात्मक वास्तविक मूल है।

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{x^{1/2}}{\sqrt{1-x^3}} dx$ दिया गया है।
मान लीजिए $t = x^{3/2}$।
तब $dt = \frac{3}{2} x^{1/2} dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{1/2} dx = \frac{2}{3} dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{2}{3} \sin^{-1}(t) + c$।
$t = x^{3/2}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(x^{3/2}) + c$।
इसे दिए गए रूप $\frac{2}{3} g(f(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर,हम $f(x) = x^{3/2}$ और $g(x) = \sin^{-1}(x)$ प्राप्त करते हैं।

(A) माना $I = \int \cos(\ln x) \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\ln x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I = x \cos(\ln x) - \int x \cdot (-\sin(\ln x)) \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I = x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) \, dx$.
अब,$\int \sin(\ln x) \, dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर,$u = \sin(\ln x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$\int \sin(\ln x) \, dx = x \sin(\ln x) - \int x \cdot \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \sin(\ln x) - I$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x \cos(\ln x) + x \sin(\ln x) - I$
$2I = x \{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\}$
$I = \frac{x}{2} \{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\} + c$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}} dx$ --- $(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos(\pi/2 - x))^{\sin(\pi/2 - x)}}{(\cos(\pi/2 - x))^{\sin(\pi/2 - x)} + (\sin(\pi/2 - x))^{\cos(\pi/2 - x)}} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\sin x)^{\cos x}}{(\sin x)^{\cos x} + (\cos x)^{\sin x}} dx$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}}{(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}} dx$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\pi / 2} = \pi / 2$
$I = \pi / 4$

(A) एक फलन $g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) dt$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f$ अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय है,यह $[0, 1]$ पर सतत है,और इसलिए समाकल $\int_0^x f(t) dt$ अवकलनीय है।
हम देखते हैं कि $g(0) = (1-0) \int_0^0 f(t) dt = 1 \times 0 = 0$ है।
साथ ही,$g(1) = (1-1) \int_0^1 f(t) dt = 0 \times \int_0^1 f(t) dt = 0$ है।
चूंकि $g(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है तथा $g(0) = g(1) = 0$ है,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g'(c) = 0$ है।
अवकलन करने पर: $g'(x) = -1 \int_0^x f(t) dt + (1-x) f(x)$ प्राप्त होता है।
$g'(c) = 0$ रखने पर,हमें $-(1-c) f(c) + \int_0^c f(t) dt = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\int_0^c f(t) dt = (1-c) f(c)$ है।

(B) मान लीजिए $g(x) = \lim _{c \rightarrow 0} \int_c^x \frac{b t \cos 4 t - a \sin 4 t}{t^2} d t = \frac{a \sin 4 x}{x} - 1$.
जब $x \rightarrow 0$ हो,तो सीमा लेने पर हमें $g(0) = \lim _{x \rightarrow 0} (\frac{a \sin 4 x}{x} - 1) = 4a - 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ से $c$ तक का समाकलन $0$ होता है,इसलिए $g(0) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $4a - 1 = 0$,जिससे $a = 1/4$ प्राप्त होता है।
अब,कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g'(x) = \frac{b x \cos 4 x - a \sin 4 x}{x^2}$.
दाहिनी ओर का अवकलन करने पर:
$g'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{a \sin 4 x}{x} - 1) = \frac{4ax \cos 4 x - a \sin 4 x}{x^2}$.
$g'(x)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $b = 4a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a = 1/4$ है,इसलिए $b = 4(1/4) = 1$ है।
अतः,$a = 1/4$ और $b = 1$ है।

(B) लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,$f(x) = \int_{g(x)}^{h(x)} F(t) dt$ का अवकलन $f^{\prime}(x) = F(h(x)) \cdot h^{\prime}(x) - F(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$F(t) = e^{-t^2}$,$h(x) = \cos x$,और $g(x) = \sin x$ है।
अतः,$f^{\prime}(x) = e^{-(\cos x)^2} \cdot (-\sin x) - e^{-(\sin x)^2} \cdot (\cos x)$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -e^{-1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - e^{-1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{e}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} = -\sqrt{\frac{2}{e}}$।

(C) दिया गया है कि $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$।
लेबनिज नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^2} = f(x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 - (f^{\prime}(x))^2 = f^2(x)$,जिसका अर्थ है कि $(f^{\prime}(x))^2 = 1 - f^2(x)$।
अतः,$f^{\prime}(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{df}{\sqrt{1-f^2}} = \pm \int dx$,जो $\sin^{-1}(f(x)) = \pm x + C$ देता है।
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$।
अतः,$f(x) = \sin(x)$ या $f(x) = -\sin(x)$।
चूंकि $f$ अंतराल $[0, \pi/2]$ पर गैर-ऋणात्मक है,इसलिए $f(x) = \sin(x)$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$\sin(x) < x$ होता है।
इसलिए,$f(4/3) = \sin(4/3) < 4/3$ और $f(2/3) = \sin(2/3) < 2/3$ है।

(D) $0 < x < 1$ के लिए,हमारे पास $x^2 < x$ और $0 \le \cos^2 x \le 1$ है।
समाकल्यों की तुलना करने पर:
$e^{-x} \cos^2 x < e^{-x^2} \cos^2 x < e^{-x^2} < e^{-x^2/2}$.
चूंकि $I_4$ का समाकल्य सभी $x \in (0, 1)$ के लिए सबसे बड़ा है,इसलिए समाकलन $I_4$ सबसे बड़ा होगा।
अतः,$I = I_4$.

(B) दिए गए परवलयों के समीकरण हैं:
$y^2 = -8(x-2) \quad \dots(1)$
$y^2 = 24(x+2) \quad \dots(2)$
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2$ के व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-8(x-2) = 24(x+2)$
$-8x + 16 = 24x + 48$
$-32x = 32 \implies x = -1$
$x = -1$ पर,$y^2 = 24(-1+2) = 24$,अतः $y = \pm 2\sqrt{6}$.
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के भाग के क्षेत्रफल का दोगुना होगा:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \left[ \int_{-2}^{-1} \sqrt{24(x+2)} \, dx + \int_{-1}^{2} \sqrt{-8(x-2)} \, dx \right]$
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \left[ 2\sqrt{6} \int_{-2}^{-1} \sqrt{x+2} \, dx + 2\sqrt{2} \int_{-1}^{2} \sqrt{2-x} \, dx \right]$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \left[ \sqrt{6} \left( \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} \right)_{-2}^{-1} + \sqrt{2} \left( -\frac{2}{3}(2-x)^{3/2} \right)_{-1}^{2} \right]$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \left[ \sqrt{6} \left( \frac{2}{3}(1) - 0 \right) + \sqrt{2} \left( 0 - (-\frac{2}{3}(3)^{3/2}) \right) \right]$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \left[ \frac{2\sqrt{6}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 3\sqrt{3} \right] = 4 \left[ \frac{2\sqrt{6}}{3} + 2\sqrt{6} \right] = 4 \left[ \frac{8\sqrt{6}}{3} \right] = \frac{32}{3} \sqrt{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos y \frac{dy}{dx} = e^x e^{\sin y} + x^2 e^{\sin y}$.
दोनों पक्षों को $e^{\sin y}$ से विभाजित करने पर: $e^{-\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = e^x + x^2$.
माना $u = \sin y$,तो $\frac{du}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx}$.
समीकरण $e^{-u} \frac{du}{dx} = e^x + x^2$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int e^{-u} du = \int (e^x + x^2) dx$.
$-e^{-u} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$u = \sin y$ वापस रखने पर: $-e^{-\sin y} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$f(x) + e^{-\sin y} = C$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $e^x + \frac{x^3}{3} + e^{-\sin y} = C$.
इसे $f(x) + e^{-\sin y} = C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = e^x + \frac{x^3}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d(xy)}{dx} = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
परिणाम प्राप्त होता है: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + k$,जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + k} = e^k \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$.
मान लीजिए $C = e^k$,अतः: $|f(xy)| = Ce^{\frac{x^2}{2}}$.

(B) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है और $\vec{a}$ के लंबवत है,$\vec{c}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं।
सदिश $\vec{d}$,$\vec{a}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है। चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में है,इसलिए $\vec{d}$ को $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{d}$,$\vec{a} \times \vec{b}$ के समानांतर है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 1) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(-1 - 1) = -2\hat{j} - 2\hat{k} = -2(\hat{j} + \hat{k})$.
इकाई सदिश $\vec{d} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-2(\hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{8}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} + \hat{k})$.

(D) अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) को $[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}] = \vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणन $\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$ की गणना करें:
$\vec{\beta} \times \vec{\gamma} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
अतः,$[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}] = \vec{\alpha} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
चूंकि $\vec{\alpha}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए अदिश गुणन $\vec{\alpha} \cdot \vec{v}$ का मान तब अधिकतम होता है जब $\vec{\alpha}$,$\vec{v}$ की दिशा में हो,और अधिकतम मान $|\vec{v}|$ के बराबर होता है।
यहाँ,$\vec{v} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
इसलिए,अधिकतम मान $\sqrt{6}$ है।

(C) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$.
चूंकि समतल $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$,$x$-अक्ष के सदिश $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा: $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$.
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ को समीकरण में रखने पर:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{2}(2x+3y-z+4) = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $2x+2y+2z-2 - 2x-3y+z-4 = 0$.
$-y + 3z - 6 = 0$,जिसे सरल करने पर $y-3z+6=0$ प्राप्त होता है।

(D) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:
$x - 2y + 4z = -4$ $(1)$
$x + y + z = 8$ $(2)$
$x - y + 2z = -1$ $(3)$
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(2 - (-1)) - (-2)(2 - 1) + 4(-1 - 1) = 3 + 2 - 8 = -3$
अब,$D_1, D_2, D_3$ की गणना करें:
$D_1 = \begin{vmatrix} -4 & -2 & 4 \\ 8 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -4(3) + 2(17) + 4(-7) = -12 + 34 - 28 = -6$
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 1 & 8 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(17) + 4(1) + 4(-9) = 17 + 4 - 36 = -15$
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 1 & 1 & 8 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1(7) + 2(-9) - 4(-2) = 7 - 18 + 8 = -3$
निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{D_1}{D} = \frac{-6}{-3} = 2$
$y = \frac{D_2}{D} = \frac{-15}{-3} = 5$
$z = \frac{D_3}{D} = \frac{-3}{-3} = 1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 5, 1)$ है।

(B) माना सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ है।
चूंकि प्रत्येक अवयव $0$ या $1$ हो सकता है,इसलिए कुल $2^4 = 16$ संभावित सारणिक हैं।
यदि $ad = bc$ हो तो सारणिक शून्य होता है।
स्थिति $1$: $ad = 0$ और $bc = 0$।
$ad=0$ के लिए,$(a,d)$ के जोड़े $(0,0), (0,1), (1,0)$ हो सकते हैं,जो $3$ संभावनाएं हैं।
इसी प्रकार,$bc=0$ के लिए $3$ संभावनाएं हैं।
$ad=bc=0$ के लिए कुल स्थितियां $3 \times 3 = 9$ हैं।
स्थिति $2$: $ad = 1$ और $bc = 1$।
यह केवल तभी होता है जब $a=1, d=1$ और $b=1, c=1$ हो,जो $1$ संभावना है।
कुल स्थितियां जहाँ $\Delta = 0$ है,$9 + 1 = 10$ हैं।
कुल स्थितियां जहाँ $\Delta \neq 0$ है,$16 - 10 = 6$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

(B) परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,प्रायिकताओं का योग $0 \leq P(A) + P(B) + P(C) \leq 1$ और प्रत्येक व्यक्तिगत प्रायिकता $0 \leq P(E) \leq 1$ होनी चाहिए।
$1$. $P(A) \geq 0 \Rightarrow x \geq -1/3$.
$2$. $P(B) \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$.
$3$. $P(C) \geq 0 \Rightarrow x \leq 1/2$.
$4$. $P(A) + P(B) + P(C) \leq 1 \Rightarrow \frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} + \frac{1-2x}{2} \leq 1$.
$12$ से गुणा करने पर: $4(3x+1) + 3(1-x) + 6(1-2x) \leq 12$.
$-3x + 13 \leq 12 \Rightarrow x \geq 1/3$.
सभी शर्तों को मिलाने पर: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.