ધારો કે $f(x)=a_0+a_1|x|+a_2|x|^2+a_3|x|^3$,જ્યાં $a_0, a_1, a_2, a_3$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે. તો $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે જો અને માત્ર જો:

ધારો કે $K$ એ $x$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ છે,જ્યાં વિધેય $f(x) = \sin |x| - |x| + 2(x - \pi) \cos |x|$ વિકલનીય નથી. તો સમૂહ $K$ એ

વિધેય $y = |\sin x|$ એ કોઈપણ $x$ માટે સતત છે,પરંતુ તે કયા બિંદુએ વિકલનીય નથી?

વિધાન $(A)$: જો $f(x)$ એ $x=a$ આગળ સતત ન હોય,તો તે $x=a$ આગળ વિકલનીય નથી.
કારણ $(R)$: જો $f(x)$ કોઈ બિંદુએ વિકલનીય હોય,તો તે તે બિંદુએ સતત હોય છે.

ધારો કે વિધેયો $f, g$ અને $h$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = \begin{cases} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{માટે } -1 \le x \le 1, x \ne 0 \\ 0 & \text{માટે } x = 0 \end{cases}$
$g(x) = \begin{cases} x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{માટે } -1 \le x \le 1, x \ne 0 \\ 0 & \text{માટે } x = 0 \end{cases}$
$h(x) = |x|^3$ જ્યાં $-1 \le x \le 1$.
આમાંથી કયા વિધેયો $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે?

જો $f$ એ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિકલનીય વિધેય હોય જે તમામ $x, y \in R$ માટે $|f(x) - f(y)| \le (x - y)^2$ નું પાલન કરે છે અને $f(0) = 0$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો: