ધારો કે f એ [0, pi / 2] માં વ્યાખ્યાયિત એક અ- | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$. લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન ક

Vedclass · Accepted Answer

$f(4/3) < 4/3$ અને $f(2/3) < 2/3$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$. લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^2} = f(x)$ મળે છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 - (f^{\prime}(x))^2 = f^2(x)$,જેનો અર્થ છે કે $(f^{\prime}(x))^2 = 1 - f^2(x)$. આમ,$f^{\prime}(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$. ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{df}{\sqrt{1-f^2}} = \pm \int dx$,જે $\sin^{-1}(f(x)) = \pm x + C$ આપે છે. કારણ કે $f(0) = 0$,તેથી $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,એટલે કે $C = 0$. આમ,$f(x) = \sin(x)$ અથવા $f(x) = -\sin(x)$. કારણ કે $f$ એ $[0, \pi/2]$ પર અ-ઋણ છે,તેથી $f(x) = \sin(x)$ હોવું જોઈએ. આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે,$\sin(x) તેથી,$f(4/3) = \sin(4/3) < 4/3$ અને $f(2/3) = \sin(2/3) < 2/3$ થાય છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x dy + y dx = 0$ નું સમાધાન કરતા અને બિંદુ $(2, 8)$ માંથી પસાર થતા શંકુનું નાભિલંબ (latus rectum) શોધો:

વક્રોનું કુળ જેના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકના $x$ અને $y$ અંતઃખંડો અનુક્રમે તે બિંદુના $x$ અને $y$ યામ કરતાં બમણા હોય,તે છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module