WBJEE 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{2} \log _{\sqrt{3}}\left(\frac{x+1}{x+5}\right)+\log _{9}(x+5)^{2}=1$ છે.
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\frac{x+1}{x+5} > 0$ અને $x+5 \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$.
$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{\sqrt{3}} y = 2 \log_3 y$ અને $\log_9 y = \frac{1}{2} \log_3 y$ મળે.
સમીકરણ $\frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 \left(\frac{x+1}{x+5}\right) + \frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 |x+5| = 1$ બને છે.
$\log_3 \left(\frac{x+1}{x+5}\right) + \log_3 |x+5| = 1$.
પ્રદેશ માટે $x+5 > 0$ હોવાથી,$|x+5| = x+5$.
$\log_3 (x+1) = 1$.
$x+1 = 3$,તેથી $x = 2$.
$x=2$ એ પ્રદેશની શરતનું પાલન કરે છે,તેથી માત્ર $1$ ઉકેલ શક્ય છે.

(A) આપેલ છે,$x=1+\frac{1}{2 \times 1 !}+\frac{1}{4 \times 2 !}+\frac{1}{8 \times 3 !}+\ldots$
આ $e^{1/2}$ નું વિસ્તરણ છે,તેથી $x = e^{1/2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^{2} = e$ મળે.
હવે,$y=1+\frac{x^{2}}{1 !}+\frac{x^{4}}{2 !}+\frac{x^{6}}{3 !}+\ldots$
આ $e^{x^{2}}$ નું વિસ્તરણ છે,તેથી $y = e^{x^{2}}$.
$x^{2} = e$ મૂકતા,$y = e^{e}$ મળે.
બંને બાજુ $\log_{e}$ લેતા,$\log_{e} y = \log_{e} (e^{e}) = e \log_{e} e = e \times 1 = e$.

(D) ધારો કે $p(x) = ax^2 + bx + c$.
આપેલ છે કે અચળ પદ $c = 1$ છે.
તેથી,$p(x) = ax^2 + bx + 1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$p(1) = 2$ અને $p(-1) = 4$.
$x=1$ મૂકતા: $a(1)^2 + b(1) + 1 = 2 \implies a + b = 1$ (સમીકરણ $I$).
$x=-1$ મૂકતા: $a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 4 \implies a - b = 3$ (સમીકરણ $II$).
સમીકરણ $I$ અને $II$ નો સરવાળો કરતા: $(a+b) + (a-b) = 1 + 3 \implies 2a = 4 \implies a = 2$.
$a=2$ ને સમીકરણ $I$ માં મૂકતા: $2 + b = 1 \implies b = -1$.
આમ,બહુપદી $p(x) = 2x^2 - x + 1$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા મળે છે.
બીજનો સરવાળો $= -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+a x+b=0, (b \neq 0)$ છે.
તેના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = b$ થાય.
ધારો કે નવા બીજ $S = \alpha-\frac{1}{\beta}$ અને $T = \beta-\frac{1}{\alpha}$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $= S+T = (\alpha+\beta) - (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = (\alpha+\beta) - \frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} = -a - \frac{-a}{b} = -a + \frac{a}{b} = \frac{a(1-b)}{b}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $= ST = (\alpha-\frac{1}{\beta})(\beta-\frac{1}{\alpha}) = \alpha \beta - 1 - 1 + \frac{1}{\alpha \beta} = b - 2 + \frac{1}{b} = \frac{b^{2}-2b+1}{b} = \frac{(b-1)^{2}}{b}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^{2} - \frac{a(1-b)}{b}x + \frac{(b-1)^{2}}{b} = 0$.
$b$ વડે ગુણતા,$b x^{2} - a(1-b)x + (b-1)^{2} = 0$ મળે.
કારણ કે $-a(1-b) = a(b-1)$,તેથી સમીકરણ $b x^{2} + a(b-1)x + (b-1)^{2} = 0$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
શરત $3b^{2} = 16ac$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $a^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $3\left(\frac{b}{a}\right)^{2} = 16\left(\frac{c}{a}\right)$ મળે છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા,$3(-\alpha-\beta)^{2} = 16\alpha\beta$.
$3(\alpha^{2}+\beta^{2}+2\alpha\beta) = 16\alpha\beta$.
$3\alpha^{2}+3\beta^{2}+6\alpha\beta = 16\alpha\beta$.
$3\alpha^{2}-10\alpha\beta+3\beta^{2} = 0$.
$\beta^{2}$ વડે ભાગતા,$3\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{2}-10\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+3 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{\alpha}{\beta}$,તો $3x^{2}-10x+3 = 0$.
$3x^{2}-9x-x+3 = 0 \Rightarrow 3x(x-3)-1(x-3) = 0$.
$(3x-1)(x-3) = 0$.
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = \frac{1}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\alpha}{\beta} = 3$ અથવા $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\alpha = 3\beta$ અથવા $\beta = 3\alpha$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-bx+c=0$ છે જેના બીજ $\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\sin \alpha + \cos \alpha = b$ $(i)$
$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = c$ (ii)
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sin \alpha + \cos \alpha)^{2} = \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
કિંમતો મૂકતા: $b^{2} = 1 + 2c$,જેનો અર્થ છે $c = \frac{b^{2}-1}{2}$.
કારણ કે $-1 \leq \sin \alpha \leq 1$ અને $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$,તેથી $-\sqrt{2} \leq \sin \alpha + \cos \alpha \leq \sqrt{2}$,એટલે કે $-\sqrt{2} \leq b \leq \sqrt{2}$.
વળી,$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2c$.
કારણ કે $-1 \leq \sin 2\alpha \leq 1$,તેથી $-1 \leq 2c \leq 1$,જેનો અર્થ છે $c \leq \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે,$z_{1}=2+3i$ અને $z_{2}=3+4i$.
આપણી પાસે સમીકરણ $|z-z_{1}|^{2}+|z-z_{2}|^{2}=|z_{1}-z_{2}|^{2}$ છે.
ધારો કે $z=x+iy$.
તેથી $|(x-2)+i(y-3)|^{2}+|(x-3)+i(y-4)|^{2}=|(2-3)+i(3-4)|^{2}$.
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=|-1-i|^{2}$.
$(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)+(x^{2}-6x+9)+(y^{2}-8y+16)=1+1$.
$2x^{2}+2y^{2}-10x-14y+38=2$.
$2x^{2}+2y^{2}-10x-14y+36=0$.
$x^{2}+y^{2}-5x-7y+18=0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $(\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$ અને ત્રિજ્યા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P, Q$ અને $R$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ખૂણાઓ છે અને $\angle P = \frac{\pi}{2}$.
$P + Q + R = \pi$ હોવાથી,$Q + R = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી અને $\angle P = \frac{\pi}{2}$,તેથી $Q = R = \frac{\pi}{4}$.
નિત્યસમ $\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$E = (e^{-i P/3})^3 + (e^{i Q})(e^{-i R}) + (e^{-i P})(e^{-i Q})(e^{-i R})$
$E = e^{-i P} + e^{i(Q - R)} + e^{-i(P + Q + R)}$
$P = \frac{\pi}{2}, Q = \frac{\pi}{4}, R = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$E = e^{-i \pi/2} + e^{i(0)} + e^{-i(\pi/2 + \pi/4 + \pi/4)}$
$E = -i + 1 + e^{-i \pi}$
$E = -i + 1 - 1 = -i$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-x+1=0$ છે.
આ સમીકરણના બીજ $x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આ બીજ $-\omega$ અને $-\omega^{2}$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = -\omega$ અને $\beta = -\omega^{2}$.
તેથી,$\alpha^{2013} + \beta^{2013} = (-\omega)^{2013} + (-\omega^{2})^{2013}$.
કારણ કે $2013$ એકી સંખ્યા છે,$(-\omega)^{2013} = -\omega^{2013} = -(\omega^{3})^{671} = -(1)^{671} = -1$.
તે જ રીતે,$(-\omega^{2})^{2013} = -(\omega^{2})^{2013} = -\omega^{4026} = -(\omega^{3})^{1342} = -(1)^{1342} = -1$.
તેથી,$\alpha^{2013} + \beta^{2013} = -1 + (-1) = -2$.

(D) આપેલ છે $z=x+iy$.
તેથી $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)}$.
આ પદને વાસ્તવિક બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણીએ:
$\frac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)} \times \frac{x-i(y-1)}{x-i(y-1)} = \frac{x(x-1) - i(x-1)(y-1) + ixy + y(y-1)}{x^2 + (y-1)^2}$.
આ પદનો કાલ્પનિક ભાગ $\frac{xy - (x-1)(y-1)}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{xy - (xy - x - y + 1)}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x+y-1}{x^2 + (y-1)^2}$ છે.
પદ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{x+y-1}{x^2 + (y-1)^2} = 0 \implies x+y-1 = 0$ (જ્યાં $z \neq i$).
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે છોકરીને મળતા સફરજનની સંખ્યા $g$ છે અને છોકરાને મળતા સફરજનની સંખ્યા $b$ છે. આપણી પાસે $g + b = 11$ છે.
પીજનહોલ સિદ્ધાંત મુજબ,જો આપણે $11$ વસ્તુઓને $2$ જૂથોમાં વહેંચીએ,તો ઓછામાં ઓછા એક જૂથમાં ઓછામાં ઓછા $\lceil 11/2 \rceil = 6$ વસ્તુઓ હોવી જોઈએ.
જો $g < 4$ અને $b < 8$ હોય,તો $g \leq 3$ અને $b \leq 7$ થાય. આ બંનેનો સરવાળો $g + b \leq 10$ થાય છે,જે $g + b = 11$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,$g \geq 4$ અથવા $b \geq 8$ હોવું જ જોઈએ.

(A) આપેલ સમીકરણ $x+y+z=10$ છે,જ્યાં $x, y, z \in \mathbb{Z}^+$.
આ પ્રશ્ન સમીકરણ $x_1+x_2+\dots+x_r=n$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવાનો છે.
ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $^{n-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n=10$ અને $r=3$ છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $= ^{10-1}C_{3-1} = ^{9}C_{2}$.
$^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

(A) આપેલ છે કે $a, b$ અને $c$ એ $AP$ માં છે.
તેથી,$2b = a + c$ અથવા $c = 2b - a$.
સુરેખાનું સમીકરણ $ax + 2by + c = 0$ છે.
$c$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $ax + 2by + (2b - a) = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$a(x - 1) + 2b(y + 1) = 0$ મળે છે.
આ રેખા $a$ અને $b$ ની તમામ કિંમતો માટે એક નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે,સહગુણકો સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ અને $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$.
તેથી,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -1)$ છે.

(C) $GP$ ના છ પદો $\frac{a}{r^5}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3, ar^5$ ધારો.
આ પદોનો ગુણાકાર $1000$ આપેલ છે:
$\frac{a}{r^5} \cdot \frac{a}{r^3} \cdot \frac{a}{r} \cdot ar \cdot ar^3 \cdot ar^5 = 1000$
$a^6 = 1000 = 10^3$
$a^2 = (10^3)^{1/3} = 10$.
ચોથું પદ $1$ આપેલ છે:
$ar = 1 \Rightarrow a^2r^2 = 1$.
$a^2 = 10$ મૂકતા:
$10r^2 = 1 \Rightarrow r^2 = \frac{1}{10}$.
છેલ્લું પદ $ar^5 = \sqrt{a^2(r^2)^5} = \sqrt{10 \cdot (\frac{1}{10})^5} = \sqrt{\frac{1}{10^4}} = \frac{1}{100}$.

(A) ધારો કે $AP$ માં પાંચ સંખ્યાઓ $(a-2d), (a-d), a, (a+d), (a+2d)$ છે,જ્યાં $d \neq 0$.
આપેલ છે કે $1^{st}$,$3^{rd}$ અને $4^{th}$ પદો $GP$ માં છે.
તેથી,$(a-d)^2 = (a-2d)(a+d)$.
સમીકરણ ઉકેલતા: $a^2 = a^2 - ad - 2d^2$.
$ad = -2d^2$.
$d \neq 0$ હોવાથી,$a = -2d$.
પદો: $-4d, -3d, -2d, -d, 0$ છે.
આમ,$5^{th}$ પદ હંમેશા $0$ હોય છે.

(A) ધારો કે $HP$ માં પાંચ પદો $\frac{1}{a-2d}, \frac{1}{a-d}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+2d}$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યમ પદ $1$ છે,તેથી $\frac{1}{a} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
બીજા પદ અને ચોથા પદનો ગુણોત્તર $\frac{2}{1}$ છે,તેથી $\frac{\frac{1}{a-d}}{\frac{1}{a+d}} = 2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{a+d}{a-d} = 2$,તેથી $a+d = 2a - 2d$,જે $3d = a$ આપે છે.
$a = 1$ હોવાથી,$d = \frac{1}{3}$ મળે.
પ્રથમ ત્રણ પદો $\frac{1}{1-2(\frac{1}{3})}, \frac{1}{1-(\frac{1}{3})}, \frac{1}{1}$ છે.
આ પદો $3, \frac{3}{2}, 1$ છે.
પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $3 + \frac{3}{2} + 1 = 4 + 1.5 = \frac{11}{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે,$P = 1 + \frac{1}{2 \times 2} + \frac{1}{3 \times 2^{2}} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^{n-1}}{n}$.
$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$P = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n} = 2 [-\ln(1 - 1/2)] = 2 \ln 2$.
આપેલ છે,$Q = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(2n-1)(2n)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}$.
આમ,$Q = (1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(1+1) = \ln 2$.
$P = 2 \ln 2$ અને $Q = \ln 2$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $P = 2Q$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $1000 \left[ \sum_{n=1}^{999} \frac{1}{n(n+1)} \right]$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા,આપણને મળે છે $1000 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \ldots + (\frac{1}{999} - \frac{1}{1000}) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જ્યાં તમામ વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,અને બાકી રહે છે $1000 \left[ 1 - \frac{1}{1000} \right]$.
$= 1000 \left[ \frac{999}{1000} \right] = 999$.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $t_n = \frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^2}{(n+2)!}$ છે.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t_n = \frac{(n+1)(2n+3)}{6(n+2)!}$ મળે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો કરતા,$S = \frac{5e}{6} - \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $n$ એ ધન બેકી પૂર્ણાંક છે,તેથી $n = 2m$ લો.
$(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં,સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદ છે,જે $^nC_{n/2} = ^{2m}C_m$ છે.
બીજા ક્રમનો સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદની બાજુના પદો છે,જે $^nC_{m-1}$ અને $^nC_{m+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{^nC_m}{^nC_{m-1}} = \frac{11}{10}$ છે.
સૂત્ર $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2m-m+1}{m} = \frac{11}{10}$
$\frac{m+1}{m} = \frac{11}{10}$
$10(m+1) = 11m$
$10m + 10 = 11m$
$m = 10$.
આમ,$n = 2m = 2(10) = 20$.
$(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $n+1 = 20+1 = 21$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,$0 \leq P, Q \leq \frac{\pi}{2}$ અને $\sin P + \cos Q = 2.$
$\sin P$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે અને $\cos Q$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,સમીકરણ $\sin P + \cos Q = 2$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin P = 1$ અને $\cos Q = 1$ હોય.
$0 \leq P \leq \frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin P = 1$ એટલે કે $P = \frac{\pi}{2}.$
$0 \leq Q \leq \frac{\pi}{2}$ માટે,$\cos Q = 1$ એટલે કે $Q = 0.$
તેથી,$\tan \left(\frac{P + Q}{2}\right) = \tan \left(\frac{\frac{\pi}{2} + 0}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1.$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ અને $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\cos^2 75^{\circ} + \cos^2 15^{\circ} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{8} + \frac{3+1+2\sqrt{3}}{8} = 1$.
વળી,$\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\cos^2 30^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $f(\theta) = \sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta$.
નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)(\sin^{4} \theta - \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta + \cos^{4} \theta)$.
$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ હોવાથી,આ સાદું રૂપ આપે છે:
$f(\theta) = (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)^{2} - 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$.
$f(\theta) = 1 - 3(\sin \theta \cos \theta)^{2}$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ હોવાથી,$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ મળે.
$f(\theta) = 1 - 3 \left(\frac{1}{2} \sin 2\theta\right)^{2} = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2\theta$.
$0 \leq \sin^{2} 2\theta \leq 1$ હોવાથી,$f(\theta)$ નો વિસ્તાર:
$\sin^{2} 2\theta = 0$ માટે,$f(\theta) = 1 - 0 = 1$ (મહત્તમ).
$\sin^{2} 2\theta = 1$ માટે,$f(\theta) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ (ન્યૂનતમ).
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $1$ અને $\frac{1}{4}$ છે.

(D) ધારો કે $x = \sin^2 \theta$. કારણ કે $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,તેથી $0 \leq x \leq 1$.
$f(\theta) = (1 + x)(2 - x) = 2 - x + 2x - x^2 = -x^2 + x + 2$.
વિસ્તાર શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરો:
$f(\theta) = -(x^2 - x) + 2 = -(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$.
કારણ કે $0 \leq x \leq 1$,પદ $(x - \frac{1}{2})^2$ ની કિંમત $0$ (જ્યારે $x = \frac{1}{2}$) થી $\frac{1}{4}$ (જ્યારે $x = 0$ અથવા $x = 1$) સુધી બદલાય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2$ છે.
આમ,$2 \leq f(\theta) \leq \frac{9}{4}$.

(D) આપેલ છે,$\sin ^{2} \theta+3 \cos \theta=2$
$\Rightarrow 1-\cos ^{2} \theta+3 \cos \theta=2$
$\Rightarrow \cos ^{2} \theta-3 \cos \theta+1=0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
કારણ કે $-1 \leq \cos \theta \leq 1$ અને $\frac{3+\sqrt{5}}{2} > 1$,તેથી $\cos \theta = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ લેવું પડે.
ત્યારબાદ $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
હવે,$\cos \theta + \sec \theta = \frac{3-\sqrt{5}}{2} + \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
વળી,$\cos \theta \cdot \sec \theta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{3} \theta+\sec ^{3} \theta = (\cos \theta+\sec \theta)^{3} - 3 \cos \theta \sec \theta (\cos \theta+\sec \theta)$.
કિંમતો મૂકતા: $(3)^{3} - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^{2}+5xy-12y^{2}=0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$2x^{2}+8xy-3xy-12y^{2}=0$
$2x(x+4y)-3y(x+4y)=0$
$(x+4y)(2x-3y)=0$
આનો અર્થ એ છે કે બે રેખાઓ $x+4y=0$ અને $2x-3y=0$ છે.
સમીકરણને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$ અને $b=-12$ મળે છે.
રેખાઓ લંબ હોવાની શરત $a+b=0$ છે.
અહીં,$a+b = 2 + (-12) = -10 \neq 0$.
કારણ કે $a+b \neq 0$,રેખાઓ પરસ્પર લંબ નથી.
તેથી,આ સમીકરણ પરસ્પર લંબ ન હોય તેવી છેદતી રેખાઓની જોડ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P = (2, -3)$ અને બિંદુ $Q = (-1, 2)$ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું $Q$ થી અંતર વધુમાં વધુ $PQ$ જેટલું હોય.
અંતર $PQ = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
અહીં $\sqrt{34} \approx 5.83$ છે,અને આપણે $Q$ થી $8$ ના અંતરે રહેલી રેખા શોધવી છે,જ્યાં $8 > \sqrt{34}$ છે.
બિંદુથી રેખાનું લંબ અંતર તે બિંદુ અને રેખા પરના નિશ્ચિત બિંદુ વચ્ચેના અંતર કરતા વધી શકતું નથી,તેથી આવી કોઈ રેખા શક્ય નથી.
આમ,આવી રેખાઓની સંખ્યા $0$ છે.

(C) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $3x^{2}+3y^{2}-9x+6y+5=0$ છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2}+y^{2}-3x+2y+\frac{5}{3}=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (-\frac{g}{2}, -f)$ છે,જ્યાં $2g = -3$ અને $2f = 2$.
આમ,કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, -1)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે વ્યાસનું એક અંત્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ છે અને બીજું અંત્યબિંદુ $(x_2, y_2) = (h, k)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1+h}{2} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 1+h = 3$ $\Rightarrow h = 2$.
$\frac{2+k}{2} = -1$ $\Rightarrow 2+k = -2$ $\Rightarrow k = -4$.
તેથી,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(2, -4)$ છે.

(B, C) વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં બંને અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $4x+3y-12=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું છે.
$\frac{|4r+3r-12|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} = r$
$\frac{|7r-12|}{5} = r$
$|7r-12| = 5r$
કિસ્સો $1$: $7r-12 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 12$ $\Rightarrow r = 6$.
સમીકરણ $(x-6)^{2}+(y-6)^{2} = 6^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}-12x-12y+36=0$ છે.
કિસ્સો $2$: $7r-12 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 12$ $\Rightarrow r = 1$.
સમીકરણ $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} = 1^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$ છે.
આમ,શક્ય સમીકરણો $x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$ અને $x^{2}+y^{2}-12x-12y+36=0$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=169$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $O=(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=13$ છે.
બિંદુઓ $Q=(5, 12)$ અને $R=(-12, 5)$ વર્તુળ પર આવેલા છે કારણ કે $5^{2}+12^{2}=169$ અને $(-12)^{2}+5^{2}=169$ થાય છે.
$OQ$ નો ઢાળ $m_{1} = \frac{12-0}{5-0} = \frac{12}{5}$ છે.
$OR$ નો ઢાળ $m_{2} = \frac{5-0}{-12-0} = -\frac{5}{12}$ છે.
અહીં $m_{1} \cdot m_{2} = \left(\frac{12}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $OQ$ અને $OR$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\angle ROQ = \frac{\pi}{2}$ થાય.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની જીવા દ્વારા પરિઘ પર બનતો ખૂણો એ કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણા કરતાં અડધો હોય છે.
તેથી,$\angle QPR = \frac{1}{2} \angle ROQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે $S_{1} = x^{2}+y^{2}-6x-8=0$ અને $S_{2} = x^{2}+y^{2}-6=0$.
$S_{1}$ અને $S_{2}$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ છે.
$(x^{2}+y^{2}-6x-8) + \lambda(x^{2}+y^{2}-6) = 0 \quad \dots(i)$
આ વર્તુળ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(1^{2}+1^{2}-6(1)-8) + \lambda(1^{2}+1^{2}-6) = 0$
$(1+1-6-8) + \lambda(1+1-6) = 0$
$-12 - 4\lambda = 0$
$-4\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x^{2}+y^{2}-6x-8) - 3(x^{2}+y^{2}-6) = 0$
$x^{2}+y^{2}-6x-8 - 3x^{2}-3y^{2}+18 = 0$
$-2x^{2}-2y^{2}-6x+10 = 0$
$-2$ વડે ભાગતા,$x^{2}+y^{2}+3x-5 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે.
આપેલ છે કે $A(1, 2)$ અને $B(-2, 1)$ થી તેના અંતરના વર્ગોનો સરવાળો $6$ છે.
$(PA)^2 + (PB)^2 = 6$
$(h - 1)^2 + (k - 2)^2 + (h + 2)^2 + (k - 1)^2 = 6$
$(h^2 - 2h + 1) + (k^2 - 4k + 4) + (h^2 + 4h + 4) + (k^2 - 2k + 1) = 6$
$2h^2 + 2k^2 + 2h - 6k + 10 = 6$
$2h^2 + 2k^2 + 2h - 6k + 4 = 0$
$h^2 + k^2 + h - 3k + 2 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + x - 3y + 2 = 0$ મળે છે.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - 2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} - 2} = \sqrt{\frac{10}{4} - 2} = \sqrt{\frac{5}{2} - 2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = 0$.
તે $(2,6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 + 36 + 4g + 12f = 0$,જે $g + 3f = -10$ માં પરિણમે છે.
તે $(6,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $36 + 4 + 12g + 4f = 0$,જે $3g + f = -10$ માં પરિણમે છે.
સમીકરણો $g + 3f = -10$ અને $3g + f = -10$ ને ઉકેલતા,આપણને $g = f = -2.5$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 5x - 5y = 0$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y = 0$ મૂકતા: $x^2 - 5x = 0$,જે $x(x - 5) = 0$ આપે છે.
આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(5,0)$ છે.
$P \neq (0,0)$ હોવાથી,$P$ એ $(5,0)$ છે.
$OP$ ની લંબાઈ $5$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=4ax$ છે.
ધારો કે પરવલય પરના બિંદુ $P$ ના યામ $(at^{2}, 2at)$ છે.
નાભિ $F$ એ $(a, 0)$ છે અને નિયામિકા $x = -a$ છે.
બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ માંથી નિયામિકા $x = -a$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $Q$ એ $(-a, 2at)$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,અંતર $PF$ એ અંતર $PQ$ જેટલું છે.
$PQ = \sqrt{(at^{2} - (-a))^{2} + (2at - 2at)^{2}} = a(t^{2}+1)$.
$PF = \sqrt{(at^{2}-a)^{2} + (2at-0)^{2}} = a(t^{2}+1)$.
$PQ = PF$ હોવાથી,$\triangle PQF$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle PQF = \angle PFQ$.
તેથી,$\tan \angle PQF = \tan \angle PFQ$.
આમ,$\frac{\tan \angle PQF}{\tan \angle PFQ} = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણો $x+y=4$ $(i)$ અને $x-y=2$ $(ii)$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,આપણને $x=3$ અને $y=1$ મળે છે.
બિંદુ $(3, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \tan(\tan^{-1}(3/4)) = 3/4$ ઢાળ ધરાવતી રેખા:
$(y-1) = \frac{3}{4}(x-3) \Rightarrow y = \frac{3x-5}{4}$.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^{2}=4(x-3)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{3x-5}{4}\right)^{2} = 4(x-3)$
$\frac{9x^{2}-30x+25}{16} = 4x-12$
$9x^{2}-30x+25 = 64x-192$
$9x^{2}-94x+217 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,$x_{1}+x_{2} = \frac{94}{9}$ અને $x_{1}x_{2} = \frac{217}{9}$.
તેથી $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$
$= \sqrt{\left(\frac{94}{9}\right)^{2} - 4\left(\frac{217}{9}\right)}$
$= \sqrt{\frac{8836}{81} - \frac{868}{9}} = \sqrt{\frac{1024}{81}} = \frac{32}{9}$.

(C) આપેલ છે કે ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ જેટલું છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે.
તેથી,$2ae = \frac{2b^2}{a} \implies ae = \frac{b^2}{a} \implies b^2 = a^2e$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
આ સમીકરણમાં $b^2 = a^2e$ મૂકતા,આપણને $a^2e = a^2(1 - e^2)$ મળે છે.
$a^2$ વડે ભાગતા,$e = 1 - e^2$ મળે.
આથી દ્વિઘાત સમીકરણ $e^2 + e - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ ધન હોવી જોઈએ $(0 < e < 1)$,તેથી $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો છે:
$3tx - 2y + 6t = 0$ $(i)$
$3x + 2ty - 6 = 0$ $(ii)$
$(i)$ પરથી,$3t(x+2) = 2y \Rightarrow t = \frac{2y}{3(x+2)}$.
$t$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$3x + 2\left(\frac{2y}{3(x+2)}\right)y - 6 = 0$
$3x(3(x+2)) + 4y^{2} - 6(3(x+2)) = 0$
$9x(x+2) + 4y^{2} - 18(x+2) = 0$
$9x^{2} + 18x + 4y^{2} - 18x - 36 = 0$
$9x^{2} + 4y^{2} = 36$
$36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ મળે છે,જે એક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^{2}+4y^{2}=4$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$ મળે છે.
ગૌણ અક્ષનો ધન છેડો $B(0, 1)$ છે.
ધારો કે જીવા $BP$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ છે,જ્યાં $P(x, y)$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે.
તેથી,$(h, k) = \left(\frac{0+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
આનો અર્થ એ છે કે $h = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2h$ અને $k = \frac{1+y}{2} \Rightarrow y = 2k-1$.
કારણ કે $P(x, y)$ એ ઉપવલય $x^{2}+4y^{2}=4$ પર આવેલું છે,$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(2h)^{2} + 4(2k-1)^{2} = 4$
$4h^{2} + 4(4k^{2} - 4k + 1) = 4$
$4h^{2} + 16k^{2} - 16k + 4 = 4$
$4h^{2} + 16k^{2} - 16k = 0$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $h^{2} + 4k^{2} - 4k = 0$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^{2} + 4(y^{2} - y) = 0$ છે.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $x^{2} + 4(y^{2} - y + \frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1$.
$x^{2} + 4(y - \frac{1}{2})^{2} = 1$.
$1$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{1} + \frac{(y - 1/2)^{2}}{1/4} = 1$ મળે છે.
આ એક ઉપવલય છે જેનું કેન્દ્ર $(0, 1/2)$,અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a=1$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b=1/2$ છે.

(D) અતિવલય અને રેખાના સમીકરણો $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{25}=1$ અને $y=x$ છે.
છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $y=x$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{25}=1$ $\Rightarrow 16x^{2}=225$ $\Rightarrow x=\pm \frac{15}{4}$.
તેથી છેદબિંદુઓ $P\left(\frac{15}{4}, \frac{15}{4}\right)$ અને $Q\left(-\frac{15}{4}, -\frac{15}{4}\right)$ મળે.
મુખ્ય અક્ષ $PQ$ ની લંબાઈ $2a = \sqrt{(\frac{15}{2})^{2} + (\frac{15}{2})^{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}}$.
તેથી $a = \frac{15}{2\sqrt{2}}$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = \frac{5}{\sqrt{2}}$ હોવાથી $b = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - (\frac{5}{15})^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x-2y=t$ $(i)$
$x+2y=\frac{1}{t}$ $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(x-2y)(x+2y) = t \times \frac{1}{t}$
$x^2 - 4y^2 = 1$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1/4} = 1$
આ એક અતિવલય દર્શાવે છે જ્યાં $a^2 = 1$ અને $b^2 = \frac{1}{4}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1/4}{1}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ છે અને નાભિઓ $(\pm ae, 0) = \left(\pm 1 \times \frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right) = \left(\pm \frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right)$ છે.

(A) આપણે $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{1}{x^{2}}+\frac{(2013)^{x}-1}{e^{x}-1}\right\}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{1}{x^{2}}+\frac{(2013)^{x}-1}{x} \cdot \frac{x}{e^{x}-1}\right\}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2013)^{x}-1}{x} = \ln(2013)$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{e^{x}-1} = 1$.
તેથી,પદ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} + \ln(2013) \cdot 1$ બને છે.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\frac{1}{x^2} \rightarrow +\infty$.
તેથી,લક્ષની કિંમત $+\infty$ છે.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \left\{\frac{\sqrt{1+x}}{x} - \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\right\}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left\{\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x^{2}+1}}{x}\right\}$
આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x} - \sqrt{x^{2}+1})}{\frac{d}{dx}(x)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}}{1}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \right)$
$x = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{1}{2\sqrt{1+0}} - \frac{0}{\sqrt{0^{2}+1}} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

(A) આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ હોવાથી,$-1 \leq \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right) \leq 1$ થાય.
$x$ વડે ગુણતા (ધારો કે $x > 0$): $-x \leq x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right) \leq x$.
જ્યારે $x \rightarrow 0^+$,ત્યારે $-x$ અને $x$ બંને $0$ તરફ જાય છે. સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \rightarrow 0^+} x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right) = 0$.
$x < 0$ માટે,$x = -h$ લો જ્યાં $h > 0$. જ્યારે $x \rightarrow 0^-$,ત્યારે $h \rightarrow 0^+$.
પદ $\lim_{h \rightarrow 0^+} (-h) \sin \left(e^{-\frac{1}{h}}\right)$ બને છે.
જ્યારે $h \rightarrow 0^+$,ત્યારે $e^{-\frac{1}{h}} \rightarrow e^{-\infty} = 0$,તેથી $\sin \left(e^{-\frac{1}{h}}\right) \rightarrow \sin(0) = 0$.
આમ,$\lim_{h \rightarrow 0^+} (-h) \cdot 0 = 0$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ બંને $0$ હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $0$ છે.

(C) ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{1000} (-1)^{n} x^{n} = -x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - \dots + x^{1000}$.
આ એક શાંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = -x$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -x$ અને પદોની સંખ્યા $n = 1000$ છે.
સરવાળો $S = a \frac{r^{n} - 1}{r - 1} = (-x) \frac{(-x)^{1000} - 1}{-x - 1} = (-x) \frac{x^{1000} - 1}{-(x + 1)} = x \frac{x^{1000} - 1}{x + 1} = \frac{x^{1001} - x}{x + 1}$ દ્વારા મળે છે.
હવે,$x \rightarrow \infty$ માટે લક્ષ કિંમત મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{1001} - x}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{1001}(1 - \frac{1}{x^{1000}})}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \rightarrow \infty} x^{1000} = +\infty$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^{2}+9y^{2}=9$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$1$. $x+y=1$ અને $3y=x+3$ નું છેદબિંદુ: $x=1-y$ ને $3y=x+3$ માં મૂકતા,$3y=(1-y)+3$ $\Rightarrow 4y=4$ $\Rightarrow y=1$. તેથી $x=0$. આમ,બિંદુ $P$ એ $(0, 1)$ છે.
$2$. $x+y=1$ અને $x^{2}+9y^{2}=9$ નું છેદબિંદુ: $x=1-y$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,$(1-y)^{2}+9y^{2}=9$ $\Rightarrow 10y^{2}-2y-8=0$ $\Rightarrow 5y^{2}-y-4=0$ $\Rightarrow (5y+4)(y-1)=0$. તેથી $y=1$ (જે $P(0,1)$ આપે છે) અથવા $y=-4/5$. જો $y=-4/5$ હોય,તો $x=1-(-4/5)=9/5$. આમ,બિંદુ $R$ એ $(9/5, -4/5)$ છે.
$3$. $3y=x+3$ અને $x^{2}+9y^{2}=9$ નું છેદબિંદુ: $y=(x+3)/3$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,$x^{2}+(x+3)^{2}=9$ $\Rightarrow 2x^{2}+6x=0$ $\Rightarrow 2x(x+3)=0$. તેથી $x=0$ (જે $P(0,1)$ આપે છે) અથવા $x=-3$. જો $x=-3$ હોય,તો $y=0$. આમ,બિંદુ $Q$ એ $(-3, 0)$ છે.
$\triangle PQR$ ના શિરોબિંદુઓ $P(0, 1)$,$Q(-3, 0)$ અને $R(9/5, -4/5)$ છે.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - (-4/5)) + (-3)(-4/5 - 1) + (9/5)(1 - 0)| = \frac{1}{2} |27/5 + 9/5| = \frac{18}{5}$.

(B) આપેલ વક્ર $x^{2}+4xy+8y^{2}=64$ છે ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x + 4(y + x\frac{dy}{dx}) + 16y\frac{dy}{dx} = 0$
$2x + 4y + (4x + 16y)\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2y}{2(x+4y)}$
સ્પર્શકો $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $x + 2y = 0$,તેથી $x = -2y$ ... (ii)
$x = -2y$ ને મૂળ સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(-2y)^{2} + 4(-2y)y + 8y^{2} = 64$
$4y^{2} - 8y^{2} + 8y^{2} = 64$
$4y^{2} = 64$
$y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$
જો $y = 4$ હોય,તો $x = -2(4) = -8$.
જો $y = -4$ હોય,તો $x = -2(-4) = 8$.
આમ,જરૂરી બિંદુઓ $(-8, 4)$ અને $(8, -4)$ છે.

(B) ધારો કે $S = \sum_{r=0}^{25} \frac{{}^{25}C_{r}}{(r+1)(r+2)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{(r+1)(r+2)} = \frac{2^{n+2} - (n+2) - 1}{(n+1)(n+2)}$.
અહીં $n=25$ મૂકતા:
$S = \frac{2^{25+2} - (25+2) - 1}{(25+1)(25+2)}$
$S = \frac{2^{27} - 27 - 1}{26 \times 27}$
$S = \frac{2^{27} - 28}{26 \times 27}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $ax^{2} + bx + 1 = 0$ છે.
સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac \geq 0$.
અહીં $c = 1$ હોવાથી,$b^{2} - 4a \geq 0$ મળે.
$(a, b)$ માટે શક્ય જોડીઓ $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ છે,જે દરેકની સંભાવના $1/4$ છે.
દરેક જોડી માટે $b^{2} - 4a \geq 0$ ની શરત તપાસતા:
$1$. $(1, 1)$ માટે: $1^{2} - 4(1) = -3 < 0$ (વાસ્તવિક નથી).
$2$. $(1, 2)$ માટે: $2^{2} - 4(1) = 0 \geq 0$ (વાસ્તવિક છે).
$3$. $(2, 1)$ માટે: $1^{2} - 4(2) = -7 < 0$ (વાસ્તવિક નથી).
$4$. $(2, 2)$ માટે: $2^{2} - 4(2) = -4 < 0$ (વાસ્તવિક નથી).
માત્ર જોડી $(1, 2)$ શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1/4$ છે.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x)f(y) = f(x+y)$ છે.
$f$ એક-એક હોવાથી,આ કોશી વિધેય સમીકરણનો ઉકેલ $f(x) = a^{kx}$ સ્વરૂપનો છે,જ્યાં $a > 0, a \neq 1$ અને $k \neq 0$ અચળાંકો છે.
આપેલ છે કે $f(x), f(y),$ અને $f(z)$ એ $GP$ માં છે,તેથી $(f(y))^2 = f(x)f(z)$.
$f(x) = a^{kx}$ મૂકતા,આપણને $(a^{ky})^2 = a^{kx} \cdot a^{kz}$ મળે છે.
આનું સાદુરૂપ $a^{2ky} = a^{k(x+z)}$ થાય છે.
$a \neq 1$ અને $k \neq 0$ હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા: $2ky = k(x+z)$.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $2y = x+z$ મળે છે.
આ શરત સૂચવે છે કે $x, y,$ અને $z$ એ $AP$ માં છે.

(D) ધારો કે સંબંધ $R = \{(A, B) \mid B = P^{-1} A P \text{ કોઈ અસામાન્ય શ્રેણિક } P \text{ માટે }\}$ છે.
સ્વવાચકતા માટે: કારણ કે $A = I^{-1} A I$ જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે,તેથી $(A, A) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા માટે: ધારો કે $(A, B) \in R$. તો $B = P^{-1} A P$. ડાબી બાજુ $P$ અને જમણી બાજુ $P^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $P B P^{-1} = A$ મળે છે. ધારો કે $Q = P^{-1}$. તો $A = Q^{-1} B Q$. આમ,$(B, A) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા માટે: ધારો કે $(A, B) \in R$ અને $(B, C) \in R$. તો $B = P^{-1} A P$ અને $C = Q^{-1} B Q$ કોઈ અસામાન્ય શ્રેણિકો $P$ અને $Q$ માટે. $B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $C = Q^{-1} (P^{-1} A P) Q = (P Q)^{-1} A (P Q)$ મળે છે. કારણ કે $PQ$ અસામાન્ય છે,તેથી $(A, C) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.

(D) સંબંધ $R = \{(a, b) \mid \sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$\sin ^{2} a + \cos ^{2} a = 1$ થાય છે. તેથી,$(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2.$ સંમિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$,તો $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$.
$\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$ અને $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(1 - \cos ^{2} a) + (1 - \sin ^{2} b) = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\sin ^{2} b + \cos ^{2} a = 1$ થાય છે. તેથી,$(b, a) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$ અને $\sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1$ થાય.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b + \sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1 + 1 = 2$.
કારણ કે $\sin ^{2} b + \cos ^{2} b = 1$,તેથી $\sin ^{2} a + 1 + \cos ^{2} c = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\sin ^{2} a + \cos ^{2} c = 1$. તેથી,$(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(C) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
અહીં $P$ એ રોટેશન મેટ્રિક્સ $R_{\theta}$ છે જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{4}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સનો ગુણધર્મ છે કે $R_{\theta}^n = R_{n\theta}$.
તેથી,$P^3 = R_{3 \times \frac{\pi}{4}} = R_{\frac{3\pi}{4}} = \begin{bmatrix} \cos \frac{3\pi}{4} & -\sin \frac{3\pi}{4} \\ \sin \frac{3\pi}{4} & \cos \frac{3\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
હવે,$P^3 X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
$P^3 X = \begin{bmatrix} (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$.
આપણે $P^2$ અને $P^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \cdot P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \end{bmatrix}$.
હવે,$P^3 + 2P^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$P^3 + 2P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2 & 0 & 0 \\ 0 & -1+2 & 0 \\ 0 & 0 & -8+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આપણે $2I + P$ ચકાસીએ:
$2I + P = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 & 0 & 0 \\ 0 & 2-1 & 0 \\ 0 & 0 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,$P^3 + 2P^2 = 2I + P$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,$P = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $P^2 = P \cdot P$ ની ગણતરી કરીએ:
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$
$P^2 = \begin{bmatrix} (4+2-4) & (-4-6+8) & (-8-8+12) \\ (-2-3+4) & (2+9-8) & (4+12-12) \\ (2+2-3) & (-2-6+6) & (-4-8+9) \end{bmatrix}$
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} = P$.
કારણ કે $P^2 = P$,તેથી $P^3 = P^2 \cdot P = P \cdot P = P^2 = P$ થાય.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,તમામ ધન પૂર્ણાંક $n \ge 1$ માટે $P^n = P$ થાય છે.
તેથી,$P^5 = P$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_{1} \rightarrow C_{1} - bC_{3}$ અને $C_{2} \rightarrow C_{2} + aC_{3}$ લાગુ કરો.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2} & 2 a b - 2ab & -2 b \\ 2 a b - 2ab & 1-a^{2}+b^{2} + 2a^{2} & 2 a \\ 2 b - b(1-a^{2}-b^{2}) & -2 a + a(1-a^{2}-b^{2}) & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}+b^{2} & 0 & -2 b \\ 0 & 1+a^{2}+b^{2} & 2 a \\ b(1+a^{2}+b^{2}) & -a(1+a^{2}+b^{2}) & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$C_{1}$ અને $C_{2}$ માંથી સામાન્ય અવયવ $(1+a^{2}+b^{2})$ બહાર લેતા:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1 & 2 a \\ b & -a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$R_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1(1-a^{2}-b^{2} + 2a^{2}) - 0 + (-2b)(0 - b)]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2}]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} (1+a^{2}+b^{2}) = (1+a^{2}+b^{2})^{3}$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \right)$ છે,જ્યાં $x > 1$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુરૂપ આપતા:
$f(x) = x \left( \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x} \right)$
$f(x) = x \left( \frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{1}{x} \right)$
$f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1} + 1$
$f(x) = \frac{2}{1 - \frac{1}{x^2}} + 1$
અહીં $x > 1$ હોવાથી,$x^2 > 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $0 < \frac{1}{x^2} < 1$.
તેથી,$0 < 1 - \frac{1}{x^2} < 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} > 1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$\frac{2}{1 - \frac{1}{x^2}} > 2$ મળે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$f(x) > 2 + 1 = 3$ મળે.
આમ,$f(x) > 3$.

(C, D) વિધેય $f(x)$ યુગ્મ છે જો $f(-x) = f(x)$ અને અયુગ્મ છે જો $f(-x) = -f(x)$.
$(a)$ $f(x) = x^{3} \sin x$. તો $f(-x) = (-x)^{3} \sin(-x) = (-x^{3})(-\sin x) = x^{3} \sin x = f(x)$. આમ,$f(x)$ યુગ્મ છે.
$(b)$ $f(x) = x^{2} \cos x$. તો $f(-x) = (-x)^{2} \cos(-x) = x^{2} \cos x = f(x)$. આમ,$f(x)$ યુગ્મ છે.
$(c)$ $f(x) = e^{x} x^{3} \sin x$. તો $f(-x) = e^{-x} (-x)^{3} \sin(-x) = e^{-x} x^{3} \sin x \neq f(x)$. આમ,$f(x)$ યુગ્મ નથી.
$(d)$ $f(x) = x - [x]$. તો $f(-x) = -x - [-x]$. કારણ કે $[-x] = -[x] - 1$ (જ્યારે $x$ પૂર્ણાંક ન હોય),$f(-x) = -x - (-[x] - 1) = -x + [x] + 1 = 1 - (x - [x]) = 1 - f(x) \neq f(x)$. આમ,$f(x)$ યુગ્મ નથી.
તેથી,વિકલ્પો $(c)$ અને $(d)$ યુગ્મ વિધેયો નથી.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=2^{100} x+1$ અને $g(x)=3^{100} x+1$.
આપણે $x$ શોધવાનું છે જેના માટે $f(g(x))=x$ થાય.
$f(x)$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$f(3^{100} x+1) = x$
$2^{100}(3^{100} x+1) + 1 = x$
$2^{100} \cdot 3^{100} x + 2^{100} + 1 = x$
$6^{100} x + 2^{100} + 1 = x$
$x(6^{100} - 1) = -(2^{100} + 1)$
$x = -\frac{2^{100} + 1}{6^{100} - 1}$
અહીં $x$ ની માત્ર એક જ કિંમત મળે છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ નો ગણ એ એક ઘટક ધરાવતો ગણ (singleton) છે.

(D) ધારો કે $A = \{1, 2, \ldots, 11\}$ અને $B = \{1, 2, \ldots, 10\}$.
અહીં,$n(A) = 11$ અને $n(B) = 10$.
$m$ ઘટકોવાળા ગણ $A$ થી $n$ ઘટકોવાળા ગણ $B$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^m$ છે.
જ્યારે $m = n+1$ હોય,ત્યારે વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $\binom{m}{2} \times n! = 55 \times 10!$ થાય છે.
આ કિંમત $5.5 \times 11!$ ને સમાન છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$
પ્રથમ,$x=2$ આગળ સાતત્ય ચકાસો:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ((2-h)^3 - 3(2-h) + 2) = 8 - 6 + 2 = 4$
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ((2+h)^3 - 6(2+h)^2 + 9(2+h) + 2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$
$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 2 = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$
કારણ કે $LHL = RHL = f(2)$,તેથી વિધેય $x=2$ આગળ સતત છે.
હવે,$f'(x)$ શોધીને $x=2$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસો:
$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 3, & x < 2 \\ 3x^2 - 12x + 9, & x > 2 \end{cases}$
$Lf'(2) = \lim_{x \rightarrow 2^-} (3x^2 - 3) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$
$Rf'(2) = \lim_{x \rightarrow 2^+} (3x^2 - 12x + 9) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$
કારણ કે $Lf'(2) \neq Rf'(2)$,તેથી વિધેય $x=2$ આગળ વિકલનીય નથી.

(A) આપેલ વિધેય $f(x)=e^{x}(x-2)^{2}$ છે.
વધતા અને ઘટતા વિધેયના અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધીએ:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}[e^{x}(x-2)^{2}]$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f^{\prime}(x) = e^{x}(x-2)^{2} + e^{x} \cdot 2(x-2)$
$f^{\prime}(x) = e^{x}(x-2)[(x-2) + 2]$
$f^{\prime}(x) = x(x-2)e^{x}$
હવે,આપણે $f^{\prime}(x)$ ની નિશાની નક્કી કરીએ:
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $e^{x} > 0$ હોવાથી,$f^{\prime}(x)$ ની નિશાની $x(x-2)$ પર આધાર રાખે છે.
- $x \in (-\infty, 0)$ માટે,$x < 0$ અને $(x-2) < 0$,તેથી $f^{\prime}(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
- $x \in (0, 2)$ માટે,$x > 0$ અને $(x-2) < 0$,તેથી $f^{\prime}(x) < 0$ (ઘટતું વિધેય).
- $x \in (2, \infty)$ માટે,$x > 0$ અને $(x-2) > 0$,તેથી $f^{\prime}(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
આમ,$f$ એ $(-\infty, 0)$ અને $(2, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે અને $(0, 2)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+t^{2}} dt$ છે,જ્યાં $0 \leq x \leq 2\pi$.
વધતા અને ઘટતા અંતરાલો નક્કી કરવા માટે,આપણે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $F'(x)$ શોધીએ:
$F'(x) = \frac{\cos x}{1+x^{2}}$.
બધા $x$ માટે $1+x^{2} > 0$ હોવાથી,$F'(x)$ ની નિશાની માત્ર $\cos x$ પર આધાર રાખે છે.
$F(x)$ વધતું વિધેય છે જ્યારે $F'(x) > 0$,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos x > 0$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x > 0$ એ $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ માટે છે.
$F(x)$ ઘટતું વિધેય છે જ્યારે $F'(x) < 0$,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos x < 0$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x < 0$ એ $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ માટે છે.
આમ,$F$ એ $(0, \frac{\pi}{2})$ અને $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ માં વધતું વિધેય છે અને $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \exp\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$. ધારો કે $g(x) = x^{\frac{1}{x}}$. કારણ કે $\exp(u)$ એ વધતું વિધેય છે,તેથી $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યાં મળશે જ્યાં $g(x)$ ન્યૂનતમ હોય.
$g(x)$ નો પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(g(x)) = \frac{\ln x}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln x(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
$g'(x) = 0$ લેતા $1 - \ln x = 0$,તેથી $x = e \approx 2.718$.
$x < e$ માટે $g'(x) > 0$ (વધતું) અને $x > e$ માટે $g'(x) < 0$ (ઘટતું).
કારણ કે $e \in [2, 5]$,વિધેય $g(x)$ એ $[2, e]$ માં વધે છે અને $[e, 5]$ માં ઘટે છે.
$[2, 5]$ પર $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત અંતિમ બિંદુઓ $x = 2$ અથવા $x = 5$ પર મળે.
$g(2) = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ અને $g(5) = 5^{1/5} \approx 1.3797$ ની સરખામણી કરતા.
$g(5) < g(2)$ હોવાથી,$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5^{1/5}$ છે.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\exp\left(5^{\frac{1}{5}}\right)$ છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = 2|x-1| + |x-2|$.
અમે વિવિધ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: જો $x < 1$,તો $f(x) = -2(x-1) - (x-2) = -2x + 2 - x + 2 = -3x + 4$. અહીં ઢાળ $-3$ હોવાથી,વિધેય આ અંતરાલમાં ઘટે છે.
કિસ્સો $2$: જો $1 \leq x < 2$,તો $f(x) = 2(x-1) - (x-2) = 2x - 2 - x + 2 = x$. અહીં ઢાળ $1$ હોવાથી,વિધેય આ અંતરાલમાં વધે છે.
કિસ્સો $3$: જો $x \geq 2$,તો $f(x) = 2(x-1) + (x-2) = 2x - 2 + x - 2 = 3x - 4$. અહીં ઢાળ $3$ હોવાથી,વિધેય આ અંતરાલમાં વધે છે.
આમ,વિધેય $x=1$ સુધી ઘટે છે અને ત્યારબાદ વધવાનું શરૂ કરે છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x=1$ આગળ મળે છે.
$f(1) = 2|1-1| + |1-2| = 2(0) + |-1| = 0 + 1 = 1$.

(C) આપેલ છે,$f(x)=\sin x+2 \cos ^{2} x$,જ્યાં $x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \cos x - 2 \sin 2x = \cos x(1 - 4 \sin x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$\cos x = 0$ અથવા $\sin x = \frac{1}{4}$.
અંતરાલ $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ માં,$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$.
$\sin x = \frac{1}{4}$ આ અંતરાલમાં શક્ય નથી કારણ કે $\sin x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અંતિમ બિંદુઓ અને નિર્ણાયક બિંદુ પર કિંમતો તપાસતા:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,$f\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$.
આમ,$f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ પર ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.

(C) ધારો કે સંપર્ક બિંદુ $(x, y)$ છે. $(x, y)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $(Y - y) = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,આપણે સ્પર્શકના સમીકરણમાં $X = 0$ મૂકીએ છીએ:
$Y - y = \frac{dy}{dx}(0 - x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
$y$-અંતઃખંડની લંબાઈ $|Y| = |y - x \frac{dy}{dx}|$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$y$-અંતઃખંડ એ કોટિ $y$ ના $3$ ગણો છે:
$y - x \frac{dy}{dx} = 3y$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $-x \frac{dy}{dx} = 2y$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x} + \ln C$ મળે છે.
$\ln y = -2 \ln x + \ln C \Rightarrow \ln y = \ln(x^{-2}) + \ln C$.
$\ln y = \ln(C x^{-2}) \Rightarrow y = \frac{C}{x^2}$.
આમ,$x^2y = C$,જ્યાં $C$ એક અચળાંક છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ છે.
$dy \cdot y \sin \left(\frac{x}{y}\right)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} - \frac{1}{\sin(x/y)}$ મળે છે.
ધારો કે $v = \frac{x}{y}$,તેથી $x = vy$,અને $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $v + y \frac{dv}{dy} = v - \frac{1}{\sin v}$.
આનું સાદું રૂપ $y \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{\sin v}$ થાય છે.
ચલને અલગ કરતા: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\cos v = -\log_e |y| + C$,જેનું સાદું રૂપ $\cos v = \log_e |y| + C$ થાય છે.
$v = \frac{x}{y}$ મૂકતા: $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e |y| + C$.
આપેલ છે કે $y(\pi/4) = 1$,તેથી $x = \pi/4$ અને $y = 1$ લેતા: $\cos(\pi/4) = \log_e(1) + C \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ઉકેલ $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e y + \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
ધારો કે $f(x) = \log_{e} x$. તો $f'(x) = \frac{1}{x}$.
આ સંકલનને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$I = \int_{1}^{2} e^{x} \left( \log_{e} x + \frac{1}{x} + 1 \right) dx$
$I = \int_{1}^{2} e^{x} \log_{e} x dx + \int_{1}^{2} e^{x} dx + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$
$\int e^{x} \log_{e} x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$u = \log_{e} x$,$dv = e^{x} dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$,$v = e^{x}$ મળે.
$\int e^{x} \log_{e} x dx = e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = [e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx] + [e^{x}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$
$I = [e^{x} \log_{e} x]_{1}^{2} + [e^{x}]_{1}^{2}$
$I = (e^{2} \log_{e} 2 - e^{1} \log_{e} 1) + (e^{2} - e^{1})$
$\log_{e} 1 = 0$ હોવાથી:
$I = e^{2} \log_{e} 2 + e^{2} - e$
$I = e^{2}(1 + \log_{e} 2) - e$.

(A) ધારો કે $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin x - x \cos x}{x(x + \sin x)} dx$
અંશને $(x + \sin x) - x(1 + \cos x)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{x + \sin x}{x(x + \sin x)} - \frac{x(1 + \cos x)}{x(x + \sin x)} \right) dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{1}{x} - \frac{1 + \cos x}{x + \sin x} \right) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા: $I = [\log |x|]_{\pi/6}^{\pi/3} - \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1 + \cos x}{x + \sin x} dx$
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $t = x + \sin x$,તો $dt = (1 + \cos x) dx$.
જ્યારે $x = \pi/6$,ત્યારે $t = \pi/6 + 1/2 = (\pi + 3)/6$. જ્યારે $x = \pi/3$,ત્યારે $t = \pi/3 + \sqrt{3}/2 = (2\pi + 3\sqrt{3})/6$.
$I = \log(\pi/3) - \log(\pi/6) - [\log |t|]_{(\pi+3)/6}^{(2\pi+3\sqrt{3})/6}$
$I = \log(2) - \left( \log \left( \frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{6} \right) - \log \left( \frac{\pi + 3}{6} \right) \right)$
$I = \log(2) - \log \left( \frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{\pi + 3} \right) = \log \left( \frac{2(\pi + 3)}{2\pi + 3\sqrt{3}} \right)$

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$.
આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચી શકીએ છીએ:
$I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{e^{|x|}} dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)}$. કારણ કે $f(-x) = \frac{(-x)^{2013}}{e^{|-x|}((-x)^{2}+\cos(-x))} = \frac{-x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} = -f(x)$,તેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$.
ધારો કે $g(x) = \frac{1}{e^{|x|}} = e^{-|x|}$. કારણ કે $g(-x) = e^{-|-x|} = e^{-|x|} = g(x)$,તેથી $g(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$\int_{-1}^{1} g(x) dx = 2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx$.
સંકલનની ગણતરી કરતા: $2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx = 2 [-e^{-x}]_{0}^{1} = 2 (-e^{-1} - (-e^{0})) = 2(1 - e^{-1})$.
આમ,$I = 0 + 2(1 - e^{-1}) = 2(1 - e^{-1})$.

(A) આપેલ છે કે $I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \tan^{n-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx$.
બીજા સંકલનમાં,$t = \frac{x}{2}$ લેતા,$dx = 2 \, dt$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$ અને જ્યારે $x = \pi/2$,ત્યારે $t = \pi/4$.
આ કિંમતો બીજા સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-1} t \cdot (2 \, dt) = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n+1} x \, dx + \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-1} x \, dx$.
$I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-1} x (\tan^2 x + 1) \, dx$.
કારણ કે $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$,તેથી $I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-1} x \sec^2 x \, dx$.
$u = \tan x$ લેતા,$du = \sec^2 x \, dx$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $u = 0$ અને જ્યારે $x = \pi/4$,ત્યારે $u = 1$.
$I = \int_{0}^{1} u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{n}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\sin x \cos x] dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{2} \sin 2x] dx$.
$\theta = 2x$ આદેશ લેતા,$d\theta = 2dx$ અથવા $dx = \frac{1}{2} d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = -\frac{\pi}{2}$ હોય,ત્યારે $\theta = -\pi$ અને જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$ હોય,ત્યારે $\theta = \pi$ થાય.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} [\frac{1}{2} \sin \theta] d\theta$.
અહીં $[\frac{1}{2} \sin \theta]$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી અંતરાલો તપાસતા:
$\theta \in [-\pi, 0]$ માટે,$\sin \theta \in [-1, 0]$,તેથી $\frac{1}{2} \sin \theta \in [-\frac{1}{2}, 0]$,માટે $[\frac{1}{2} \sin \theta] = -1$ થાય.
$\theta \in [0, \pi]$ માટે,$\sin \theta \in [0, 1]$,તેથી $\frac{1}{2} \sin \theta \in [0, \frac{1}{2}]$,માટે $[\frac{1}{2} \sin \theta] = 0$ થાય.
તેથી,$I = \frac{1}{2} [\int_{-\pi}^{0} (-1) d\theta + \int_{0}^{\pi} (0) d\theta] = \frac{1}{2} [-\theta]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{2} [0 - (\pi)] = -\frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y=x^{2}-4x+5$ $(i)$ છે અને રેખાનું સમીકરણ $y=x+1$ (ii) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$x^{2}-4x+5 = x+1$
$x^{2}-5x+4 = 0$
$(x-1)(x-4) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=1$ અને $x=4$ પર મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=1$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{1}^{4} \{(x+1) - (x^{2}-4x+5)\} dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{4} (-x^{2}+5x-4) dx$
$\text{Area} = \left[ -\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} - 4x \right]_{1}^{4}$
સીમાઓ મૂકતા:
$\text{Area} = \left( -\frac{64}{3} + \frac{5(16)}{2} - 4(4) \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5(1)}{2} - 4(1) \right)$
$\text{Area} = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$
$\text{Area} = \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{5}{2} - \frac{13}{3} \right)$
$\text{Area} = \frac{8}{3} - \left( \frac{15-26}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{16+11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(D) આપેલ છે કે,$f(x)=x^{2/3}$ અને રેખા $y=x$.
$x \in [1, 8]$ માટે,$x \geq x^{2/3}$ થાય કારણ કે $x \geq 1$ માટે $x^3 \geq x^2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{8} (x - x^{2/3}) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{3}{5} x^{5/3} \right]_{1}^{8}$
$= \left( \frac{8^2}{2} - \frac{3}{5} (8)^{5/3} \right) - \left( \frac{1^2}{2} - \frac{3}{5} (1)^{5/3} \right)$
$= \left( \frac{64}{2} - \frac{3}{5} \times 32 \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{5} \right)$
$= \left( 32 - \frac{96}{5} \right) - \left( \frac{5-6}{10} \right)$
$= \left( \frac{160-96}{5} \right) - \left( -\frac{1}{10} \right)$
$= \frac{64}{5} + \frac{1}{10} = \frac{128+1}{10} = \frac{129}{10}$.

(A, D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=x$ અને રેખાનું સમીકરણ $y=mx$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,રેખાના સમીકરણમાં $x=y^{2}$ મૂકતા:
$y=m(y^{2}) \Rightarrow my^{2}-y=0 \Rightarrow y(my-1)=0$.
આમ,$y=0$ અથવા $y=\frac{1}{m}$.
$y=0$ માટે,$x=0$. $y=\frac{1}{m}$ માટે,$x=\frac{1}{m^{2}}$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{m}\right)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{1/m} \left(\frac{y}{m} - y^{2}\right) dy = \left[\frac{y^{2}}{2m} - \frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1/m} = \left|\frac{1}{2m^{3}} - \frac{1}{3m^{3}}\right| = \left|\frac{1}{6m^{3}}\right|$.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{48}$ આપેલ હોવાથી:
$\left|\frac{1}{6m^{3}}\right| = \frac{1}{48} \Rightarrow |m^{3}| = 8$.
આનો અર્થ એ છે કે $m^{3} = 8$ અથવા $m^{3} = -8$.
તેથી,$m = 2$ અથવા $m = -2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{y^{2}+2x}{y} = y + \frac{2x}{y}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{2}{y}$ અને $Q(y) = y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \log_{e} y} = e^{\log_{e} y^{-2}} = y^{-2} = \frac{1}{y^{2}}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y \cdot \frac{1}{y^{2}} dy + C = \int \frac{1}{y} dy + C = \log_{e} y + C$ મળે છે.
આમ,$x = y^{2}(\log_{e} y + C)$.
આપેલ છે કે જ્યારે $y=1$ ત્યારે $x=1$,તેથી આ કિંમતો મૂકતા: $1 = 1^{2}(\log_{e} 1 + C) \Rightarrow 1 = 1(0 + C) \Rightarrow C = 1$.
સામાન્ય ઉકેલમાં $C=1$ મૂકતા,આપણને $x = y^{2}(\log_{e} y + 1)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $X$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે. $3$ પ્રશ્નો માટે સફળતાની સંભાવના $p_1 = \frac{1}{4}$ અને નિષ્ફળતા $q_1 = \frac{3}{4}$ છે. $2$ પ્રશ્નો માટે સફળતાની સંભાવના $p_2 = \frac{1}{2}$ અને નિષ્ફળતા $q_2 = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા $4$ સાચા જવાબોની સંભાવના શોધીએ છીએ,એટલે કે $P(X=4) + P(X=5)$.
$X=5$ માટે: બધા $5$ સાચા છે. $P(X=5) = (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{256}$.
$X=4$ માટે: કાં તો $3$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે,અથવા $2$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે.
કિસ્સો $1$: $3$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે. સંભાવના $= {^3C_2} \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^1 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{256}$.
કિસ્સો $2$: $2$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે. સંભાવના $= {^3C_3} \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot {^2C_1} \cdot (\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^1 = \frac{2}{256}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{256} + \frac{9}{256} + \frac{2}{256} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$.

(C) કુલ પત્તાંની સંખ્યા $= 52$.
ફેસ કાર્ડની કુલ સંખ્યા (ગલ્લો,રાણી,રાજા) $= 3 \times 4 = 12$.
ફેસ કાર્ડ ન હોય તેવા પત્તાંની સંખ્યા $= 52 - 12 = 40$.
ત્રીજા પ્રયત્ને પહેલીવાર ફેસ કાર્ડ મળે તેનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ પત્તું ફેસ કાર્ડ નથી,બીજું પત્તું ફેસ કાર્ડ નથી અને ત્રીજું પત્તું ફેસ કાર્ડ છે.
પ્રથમ પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ ન મળે તેની સંભાવના: $P(F_1^c) = \frac{40}{52}$.
પ્રથમ પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ ન મળ્યા પછી બીજા પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ ન મળે તેની સંભાવના: $P(F_2^c | F_1^c) = \frac{39}{51}$.
પ્રથમ અને બીજા પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ ન મળ્યા પછી ત્રીજા પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ મળે તેની સંભાવના: $P(F_3 | F_1^c \cap F_2^c) = \frac{12}{50}$.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{40}{52} \times \frac{39}{51} \times \frac{12}{50}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = \frac{10}{13} \times \frac{13}{17} \times \frac{6}{25} = \frac{10 \times 13 \times 6}{13 \times 17 \times 25} = \frac{10 \times 6}{17 \times 25} = \frac{60}{425} = \frac{12}{85}$.

(D) ધારો કે $E$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે.
ધારો કે $E_{1}$ એ પક્ષપાતી સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_{2}$ એ નિષ્પક્ષ સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
સિક્કો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતો હોવાથી,$P(E_{1}) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_{2}) = \frac{1}{2}$.
નિષ્પક્ષ સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(E|E_{2}) = \frac{1}{2}$ છે.
પક્ષપાતી સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(E|E_{1}) = \frac{3}{4}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,છાપ મળે ત્યારે નિષ્પક્ષ સિક્કો પસંદ થયો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_{2}|E) = \frac{P(E_{2}) \cdot P(E|E_{2})}{P(E_{2}) \cdot P(E|E_{2}) + P(E_{1}) \cdot P(E|E_{1})}$
$P(E_{2}|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}}$
$P(E_{2}|E) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{2}{5}$.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ એ એક સજાતીય સિસ્ટમ $AX = 0$ છે,જ્યાં સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{bmatrix}$ છે.
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{vmatrix}$ છે.
આ એક વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે,જેનું મૂલ્ય $|A| = (\alpha - \beta)(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha)$ થાય છે.
$(i)$ જો $\alpha, \beta, \gamma$ ભિન્ન હોય,તો $|A| \neq 0$ થાય. આ કિસ્સામાં,સિસ્ટમ પાસે માત્ર શૂન્ય ઉકેલ $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ હોય છે,જે એક અનન્ય ઉકેલ છે.
(ii) જો $\alpha, \beta, \gamma$ માંથી કોઈપણ બે સમાન હોય,તો $|A| = 0$ થાય. આ કિસ્સામાં,સિસ્ટમ પાસે અનંત ઉકેલો હોય છે કારણ કે શ્રેણિકનો ક્રમ ચલની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય છે.