WBJEE 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{2} \log _{\sqrt{3}}\left(\frac{x+1}{x+5}\right)+\log _{9}(x+5)^{2}=1$ है।
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,$\frac{x+1}{x+5} > 0$ और $x+5 \neq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$।
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर,$\log_{\sqrt{3}} y = 2 \log_3 y$ और $\log_9 y = \frac{1}{2} \log_3 y$ प्राप्त होता है।
समीकरण $\frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 \left(\frac{x+1}{x+5}\right) + \frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 |x+5| = 1$ बन जाता है।
$\log_3 \left(\frac{x+1}{x+5}\right) + \log_3 |x+5| = 1$।
डोमेन के लिए $x+5 > 0$ होना चाहिए,इसलिए $|x+5| = x+5$।
$\log_3 (x+1) = 1$।
$x+1 = 3$,अतः $x = 2$।
चूँकि $x=2$ डोमेन की शर्त को संतुष्ट करता है,इसलिए केवल $1$ हल संभव है।

(A) दिया गया है,$x=1+\frac{1}{2 \times 1 !}+\frac{1}{4 \times 2 !}+\frac{1}{8 \times 3 !}+\ldots$
यह $e^{1/2}$ का विस्तार है,इसलिए $x = e^{1/2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^{2} = e$ प्राप्त होता है।
अब,$y=1+\frac{x^{2}}{1 !}+\frac{x^{4}}{2 !}+\frac{x^{6}}{3 !}+\ldots$
यह $e^{x^{2}}$ का विस्तार है,इसलिए $y = e^{x^{2}}$ है।
$x^{2} = e$ प्रतिस्थापित करने पर,$y = e^{e}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $\log_{e}$ लेने पर,$\log_{e} y = \log_{e} (e^{e}) = e \log_{e} e = e \times 1 = e$।

(D) मान लीजिए $p(x) = ax^2 + bx + c$ है।
दिया गया है कि अचर पद $c = 1$ है।
अतः,$p(x) = ax^2 + bx + 1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$p(1) = 2$ और $p(-1) = 4$ है।
$x=1$ रखने पर: $a(1)^2 + b(1) + 1 = 2 \implies a + b = 1$ (समीकरण $I$)।
$x=-1$ रखने पर: $a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 4 \implies a - b = 3$ (समीकरण $II$)।
समीकरण $I$ और $II$ को जोड़ने पर: $(a+b) + (a-b) = 1 + 3 \implies 2a = 4 \implies a = 2$।
$a=2$ को समीकरण $I$ में रखने पर: $2 + b = 1 \implies b = -1$।
इस प्रकार,बहुपद $p(x) = 2x^2 - x + 1$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मूलों का योग $= -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया समीकरण $x^{2}+a x+b=0, (b \neq 0)$ है।
इसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। अतः,मूलों का योग $\alpha+\beta = -a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = b$ है।
माना नए मूल $S = \alpha-\frac{1}{\beta}$ और $T = \beta-\frac{1}{\alpha}$ हैं।
नए मूलों का योग $= S+T = (\alpha+\beta) - (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = (\alpha+\beta) - \frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} = -a - \frac{-a}{b} = -a + \frac{a}{b} = \frac{a(1-b)}{b}$.
नए मूलों का गुणनफल $= ST = (\alpha-\frac{1}{\beta})(\beta-\frac{1}{\alpha}) = \alpha \beta - 1 - 1 + \frac{1}{\alpha \beta} = b - 2 + \frac{1}{b} = \frac{b^{2}-2b+1}{b} = \frac{(b-1)^{2}}{b}$.
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^{2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^{2} - \frac{a(1-b)}{b}x + \frac{(b-1)^{2}}{b} = 0$.
$b$ से गुणा करने पर,$b x^{2} - a(1-b)x + (b-1)^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-a(1-b) = a(b-1)$,इसलिए समीकरण $b x^{2} + a(b-1)x + (b-1)^{2} = 0$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूल हैं।
इसलिए,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
शर्त $3b^{2} = 16ac$ दी गई है।
दोनों पक्षों को $a^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $3\left(\frac{b}{a}\right)^{2} = 16\left(\frac{c}{a}\right)$ प्राप्त होता है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर,$3(-\alpha-\beta)^{2} = 16\alpha\beta$.
$3(\alpha^{2}+\beta^{2}+2\alpha\beta) = 16\alpha\beta$.
$3\alpha^{2}+3\beta^{2}+6\alpha\beta = 16\alpha\beta$.
$3\alpha^{2}-10\alpha\beta+3\beta^{2} = 0$.
$\beta^{2}$ से विभाजित करने पर,$3\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{2}-10\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+3 = 0$.
माना $x = \frac{\alpha}{\beta}$,तो $3x^{2}-10x+3 = 0$.
$3x^{2}-9x-x+3 = 0 \Rightarrow 3x(x-3)-1(x-3) = 0$.
$(3x-1)(x-3) = 0$.
अतः,$x = 3$ या $x = \frac{1}{3}$.
इसका अर्थ है कि $\frac{\alpha}{\beta} = 3$ या $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$\alpha = 3\beta$ या $\beta = 3\alpha$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-bx+c=0$ है जिसके मूल $\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\sin \alpha + \cos \alpha = b$ $(i)$
$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = c$ (ii)
हम जानते हैं कि $(\sin \alpha + \cos \alpha)^{2} = \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
मान रखने पर: $b^{2} = 1 + 2c$,जिसका अर्थ है $c = \frac{b^{2}-1}{2}$.
चूंकि $-1 \leq \sin \alpha \leq 1$ और $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$,इसलिए $-\sqrt{2} \leq \sin \alpha + \cos \alpha \leq \sqrt{2}$,अर्थात $-\sqrt{2} \leq b \leq \sqrt{2}$.
साथ ही,$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2c$.
चूंकि $-1 \leq \sin 2\alpha \leq 1$,इसलिए $-1 \leq 2c \leq 1$,जिसका अर्थ है $c \leq \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है,$z_{1}=2+3i$ और $z_{2}=3+4i$.
हमारे पास समीकरण $|z-z_{1}|^{2}+|z-z_{2}|^{2}=|z_{1}-z_{2}|^{2}$ है।
माना $z=x+iy$.
तब $|(x-2)+i(y-3)|^{2}+|(x-3)+i(y-4)|^{2}=|(2-3)+i(3-4)|^{2}$.
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=|-1-i|^{2}$.
$(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)+(x^{2}-6x+9)+(y^{2}-8y+16)=1+1$.
$2x^{2}+2y^{2}-10x-14y+38=2$.
$2x^{2}+2y^{2}-10x-14y+36=0$.
$x^{2}+y^{2}-5x-7y+18=0$.
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$ और त्रिज्या $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) दिया गया है कि $P, Q$ और $R$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोण हैं और $\angle P = \frac{\pi}{2}$ है।
चूंकि $P + Q + R = \pi$,इसलिए $Q + R = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$।
त्रिभुज समद्विबाहु है और $\angle P = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $Q = R = \frac{\pi}{4}$।
सर्वसमिका $\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$E = (e^{-i P/3})^3 + (e^{i Q})(e^{-i R}) + (e^{-i P})(e^{-i Q})(e^{-i R})$
$E = e^{-i P} + e^{i(Q - R)} + e^{-i(P + Q + R)}$
$P = \frac{\pi}{2}, Q = \frac{\pi}{4}, R = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$E = e^{-i \pi/2} + e^{i(0)} + e^{-i(\pi/2 + \pi/4 + \pi/4)}$
$E = -i + 1 + e^{-i \pi}$
$E = -i + 1 - 1 = -i$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-x+1=0$ है।
इस समीकरण के मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
ये मूल $-\omega$ और $-\omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $\alpha = -\omega$ और $\beta = -\omega^{2}$ है।
अतः,$\alpha^{2013} + \beta^{2013} = (-\omega)^{2013} + (-\omega^{2})^{2013}$ है।
चूँकि $2013$ एक विषम संख्या है,$(-\omega)^{2013} = -\omega^{2013} = -(\omega^{3})^{671} = -(1)^{671} = -1$ है।
इसी प्रकार,$(-\omega^{2})^{2013} = -(\omega^{2})^{2013} = -\omega^{4026} = -(\omega^{3})^{1342} = -(1)^{1342} = -1$ है।
इसलिए,$\alpha^{2013} + \beta^{2013} = -1 + (-1) = -2$ है।

(D) दिया गया है $z=x+iy$.
तब $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)}$.
इस व्यंजक को वास्तविक बनाने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करते हैं:
$\frac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)} \times \frac{x-i(y-1)}{x-i(y-1)} = \frac{x(x-1) - i(x-1)(y-1) + ixy + y(y-1)}{x^2 + (y-1)^2}$.
इस व्यंजक का काल्पनिक भाग $\frac{xy - (x-1)(y-1)}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{xy - (xy - x - y + 1)}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x+y-1}{x^2 + (y-1)^2}$ है।
व्यंजक के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{x+y-1}{x^2 + (y-1)^2} = 0 \implies x+y-1 = 0$ (जहाँ $z \neq i$).
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(D) मान लीजिए कि लड़की को मिलने वाले सेबों की संख्या $g$ है और लड़के को मिलने वाले सेबों की संख्या $b$ है। हमारे पास $g + b = 11$ है।
पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार,यदि हम $11$ वस्तुओं को $2$ समूहों में वितरित करते हैं,तो कम से कम एक समूह में कम से कम $\lceil 11/2 \rceil = 6$ वस्तुएं होनी चाहिए।
यदि $g < 4$ और $b < 8$ है,तो $g \leq 3$ और $b \leq 7$ होगा। इनका योग $g + b \leq 10$ होता है,जो $g + b = 11$ का खंडन करता है।
इसलिए,यह आवश्यक है कि $g \geq 4$ या $b \geq 8$ हो।

(A) दिया गया समीकरण $x+y+z=10$ है,जहाँ $x, y, z \in \mathbb{Z}^+$.
यह समीकरण $x_1+x_2+\dots+x_r=n$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने की समस्या है।
धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $^{n-1}C_{r-1}$ है।
यहाँ,$n=10$ और $r=3$ है।
अतः,हलों की संख्या $= ^{10-1}C_{3-1} = ^{9}C_{2}$.
$^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

(A) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ $AP$ में हैं।
इसलिए,$2b = a + c$ या $c = 2b - a$ है।
सरल रेखा का समीकरण $ax + 2by + c = 0$ है।
$c$ का मान रखने पर,हमें $ax + 2by + (2b - a) = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a(x - 1) + 2b(y + 1) = 0$ मिलता है।
इस रेखा के $a$ और $b$ के सभी मानों के लिए एक निश्चित बिंदु से गुजरने के लिए,गुणांकों को स्वतंत्र रूप से शून्य होना चाहिए।
अतः,$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ और $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$ है।
इसलिए,निश्चित बिंदु $(1, -1)$ है।

(C) $GP$ के छह पदों को $\frac{a}{r^5}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3, ar^5$ मानिए।
इन पदों का गुणनफल $1000$ दिया गया है:
$\frac{a}{r^5} \cdot \frac{a}{r^3} \cdot \frac{a}{r} \cdot ar \cdot ar^3 \cdot ar^5 = 1000$
$a^6 = 1000 = 10^3$
$a^2 = (10^3)^{1/3} = 10$.
चौथा पद $1$ दिया गया है:
$ar = 1 \Rightarrow a^2r^2 = 1$.
$a^2 = 10$ रखने पर:
$10r^2 = 1 \Rightarrow r^2 = \frac{1}{10}$.
अंतिम पद $ar^5 = \sqrt{a^2(r^2)^5} = \sqrt{10 \cdot (\frac{1}{10})^5} = \sqrt{\frac{1}{10^4}} = \frac{1}{100}$.

(A) माना $AP$ में पाँच संख्याएँ $(a-2d), (a-d), a, (a+d), (a+2d)$ हैं,जहाँ $d \neq 0$ है।
दिया गया है कि $1^{st}$,$3^{rd}$ और $4^{th}$ पद $GP$ में हैं।
अतः,$(a-d)^2 = (a-2d)(a+d)$ (यह शर्त $1^{st}, 3^{rd}, 4^{th}$ के लिए है).
समीकरण को हल करने पर: $a^2 = a^2 - ad - 2d^2$.
$ad = -2d^2$.
चूँकि $d \neq 0$,इसलिए $a = -2d$.
पद हैं: $-4d, -3d, -2d, -d, 0$ है।
अतः,$5^{th}$ पद हमेशा $0$ होता है।

(A) माना कि $HP$ में पाँच पद $\frac{1}{a-2d}, \frac{1}{a-d}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+2d}$ हैं।
दिया गया है कि मध्य पद $1$ है,इसलिए $\frac{1}{a} = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1$.
दूसरे पद और चौथे पद का अनुपात $\frac{2}{1}$ है,इसलिए $\frac{\frac{1}{a-d}}{\frac{1}{a+d}} = 2$.
यह सरल होकर $\frac{a+d}{a-d} = 2$ बनता है,इसलिए $a+d = 2a - 2d$,जिससे $3d = a$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a = 1$,इसलिए $d = \frac{1}{3}$ है।
पहले तीन पद $\frac{1}{1-2(\frac{1}{3})}, \frac{1}{1-(\frac{1}{3})}, \frac{1}{1}$ हैं।
ये पद $3, \frac{3}{2}, 1$ हैं।
पहले तीन पदों का योग $3 + \frac{3}{2} + 1 = 4 + 1.5 = \frac{11}{2}$ है।

(C) दिया गया है,$P = 1 + \frac{1}{2 \times 2} + \frac{1}{3 \times 2^{2}} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^{n-1}}{n}$.
$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ के विस्तार का उपयोग करने पर,$P = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n} = 2 [-\ln(1 - 1/2)] = 2 \ln 2$.
दिया गया है,$Q = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{(2n-1)(2n)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}$.
अतः,$Q = (1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(1+1) = \ln 2$.
$P = 2 \ln 2$ और $Q = \ln 2$ की तुलना करने पर,हमें $P = 2Q$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $1000 \left[ \sum_{n=1}^{999} \frac{1}{n(n+1)} \right]$ है।
आंशिक भिन्नों की विधि का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $1000 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \ldots + (\frac{1}{999} - \frac{1}{1000}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $1000 \left[ 1 - \frac{1}{1000} \right]$ शेष रहता है।
$= 1000 \left[ \frac{999}{1000} \right] = 999$।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $t_n = \frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^2}{(n+2)!}$ है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,$t_n = \frac{(n+1)(2n+3)}{6(n+2)!}$ प्राप्त होता है।
इस श्रेणी का योग करने पर,$S = \frac{5e}{6} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $n$ एक धनात्मक सम पूर्णांक है,इसलिए $n = 2m$ लें।
$(1+x)^{n}$ के विस्तार में,सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद है,जो $^nC_{n/2} = ^{2m}C_m$ है।
दूसरे सबसे बड़े गुणांक मध्य पद के आसन्न पद हैं,जो $^nC_{m-1}$ और $^nC_{m+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात $\frac{^nC_m}{^nC_{m-1}} = \frac{11}{10}$ है।
सूत्र $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2m-m+1}{m} = \frac{11}{10}$
$\frac{m+1}{m} = \frac{11}{10}$
$10(m+1) = 11m$
$10m + 10 = 11m$
$m = 10$.
अतः,$n = 2m = 2(10) = 20$.
$(1+x)^{n}$ के विस्तार में पदों की संख्या $n+1 = 20+1 = 21$ है।

(A) दिया गया है,$0 \leq P, Q \leq \frac{\pi}{2}$ और $\sin P + \cos Q = 2.$
चूंकि $\sin P$ का अधिकतम मान $1$ है और $\cos Q$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए समीकरण $\sin P + \cos Q = 2$ केवल तभी सत्य है जब $\sin P = 1$ और $\cos Q = 1$ हो।
$0 \leq P \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin P = 1$ का अर्थ है $P = \frac{\pi}{2}.$
$0 \leq Q \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\cos Q = 1$ का अर्थ है $Q = 0.$
अतः,$\tan \left(\frac{P + Q}{2}\right) = \tan \left(\frac{\frac{\pi}{2} + 0}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1.$

(C) हम जानते हैं कि $\cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ और $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,$\cos^2 75^{\circ} + \cos^2 15^{\circ} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{8} + \frac{3+1+2\sqrt{3}}{8} = 1$.
साथ ही,$\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos^2 30^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.
इन मानों को रखने पर: $1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(A) माना $f(\theta) = \sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta$.
सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)(\sin^{4} \theta - \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta + \cos^{4} \theta)$.
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,यह सरल होकर मिलता है:
$f(\theta) = (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)^{2} - 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$.
$f(\theta) = 1 - 3(\sin \theta \cos \theta)^{2}$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
$f(\theta) = 1 - 3 \left(\frac{1}{2} \sin 2\theta\right)^{2} = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2\theta$.
चूंकि $0 \leq \sin^{2} 2\theta \leq 1$,$f(\theta)$ का परिसर है:
$\sin^{2} 2\theta = 0$ के लिए,$f(\theta) = 1 - 0 = 1$ (अधिकतम)।
$\sin^{2} 2\theta = 1$ के लिए,$f(\theta) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ (न्यूनतम)।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $1$ और $\frac{1}{4}$ हैं।

(D) मान लीजिए $x = \sin^2 \theta$ है। चूँकि $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,इसलिए $0 \leq x \leq 1$ है।
$f(\theta) = (1 + x)(2 - x) = 2 - x + 2x - x^2 = -x^2 + x + 2$ है।
सीमा ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:
$f(\theta) = -(x^2 - x) + 2 = -(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$ है।
चूँकि $0 \leq x \leq 1$,पद $(x - \frac{1}{2})^2$ का मान $0$ (जब $x = \frac{1}{2}$) से $\frac{1}{4}$ (जब $x = 0$ या $x = 1$) तक होता है।
अतः,अधिकतम मान $\frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$ और न्यूनतम मान $\frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2$ है।
इसलिए,$2 \leq f(\theta) \leq \frac{9}{4}$।

(D) दिया गया है,$\sin ^{2} \theta+3 \cos \theta=2$
$\Rightarrow 1-\cos ^{2} \theta+3 \cos \theta=2$
$\Rightarrow \cos ^{2} \theta-3 \cos \theta+1=0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\cos \theta = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूँकि $-1 \leq \cos \theta \leq 1$ और $\frac{3+\sqrt{5}}{2} > 1$,इसलिए $\cos \theta = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ होगा।
तब $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$।
अब,$\cos \theta + \sec \theta = \frac{3-\sqrt{5}}{2} + \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$।
साथ ही,$\cos \theta \cdot \sec \theta = 1$।
हम जानते हैं कि $\cos ^{3} \theta+\sec ^{3} \theta = (\cos \theta+\sec \theta)^{3} - 3 \cos \theta \sec \theta (\cos \theta+\sec \theta)$।
मान रखने पर: $(3)^{3} - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18$।

(B) दिया गया समीकरण $2x^{2}+5xy-12y^{2}=0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$2x^{2}+8xy-3xy-12y^{2}=0$
$2x(x+4y)-3y(x+4y)=0$
$(x+4y)(2x-3y)=0$
इसका अर्थ है कि दो रेखाएँ $x+4y=0$ और $2x-3y=0$ हैं।
समीकरण की तुलना सामान्य रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ से करने पर,हमें $a=2$ और $b=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के लंबवत होने की शर्त $a+b=0$ है।
यहाँ,$a+b = 2 + (-12) = -10 \neq 0$.
चूंकि $a+b \neq 0$,रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत नहीं हैं।
अतः,यह समीकरण अ-लंबवत प्रतिच्छेदी सरल रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।

(D) माना बिंदु $P = (2, -3)$ और बिंदु $Q = (-1, 2)$ है।
$P$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा की $Q$ से दूरी अधिकतम $PQ$ के बराबर हो सकती है।
दूरी $PQ = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$ है।
चूंकि $\sqrt{34} \approx 5.83$ है,और हमें $Q$ से $8$ की दूरी पर रेखा ज्ञात करनी है,जहाँ $8 > \sqrt{34}$ है।
चूंकि किसी बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी उस बिंदु और रेखा पर स्थित एक निश्चित बिंदु के बीच की दूरी से अधिक नहीं हो सकती,इसलिए ऐसी कोई रेखा संभव नहीं है।
अतः,ऐसी रेखाओं की संख्या $0$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $3x^{2}+3y^{2}-9x+6y+5=0$ है।
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $x^{2}+y^{2}-3x+2y+\frac{5}{3}=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (-\frac{g}{2}, -f)$ है,जहाँ $2g = -3$ और $2f = 2$ है।
अतः,केंद्र $(\frac{3}{2}, -1)$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है।
माना व्यास का एक सिरा $(x_1, y_1) = (1, 2)$ है और दूसरा सिरा $(x_2, y_2) = (h, k)$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1+h}{2} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 1+h = 3$ $\Rightarrow h = 2$.
$\frac{2+k}{2} = -1$ $\Rightarrow 2+k = -2$ $\Rightarrow k = -4$.
इसलिए,व्यास का दूसरा सिरा $(2, -4)$ है।

(B, C) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ और त्रिज्या $r$ है।
केंद्र $(r, r)$ से रेखा $4x+3y-12=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
$\frac{|4r+3r-12|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} = r$
$\frac{|7r-12|}{5} = r$
$|7r-12| = 5r$
स्थिति $1$: $7r-12 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 12$ $\Rightarrow r = 6$.
समीकरण $(x-6)^{2}+(y-6)^{2} = 6^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}-12x-12y+36=0$ है।
स्थिति $2$: $7r-12 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 12$ $\Rightarrow r = 1$.
समीकरण $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} = 1^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$ है।
अतः,संभावित समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$ और $x^{2}+y^{2}-12x-12y+36=0$ हैं।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=169$ है।
इसका केंद्र $O=(0, 0)$ और त्रिज्या $r=13$ है।
बिंदु $Q=(5, 12)$ और $R=(-12, 5)$ वृत्त पर स्थित हैं क्योंकि $5^{2}+12^{2}=169$ और $(-12)^{2}+5^{2}=169$ है।
$OQ$ की ढाल $m_{1} = \frac{12-0}{5-0} = \frac{12}{5}$ है।
$OR$ की ढाल $m_{2} = \frac{5-0}{-12-0} = -\frac{5}{12}$ है।
चूंकि $m_{1} \cdot m_{2} = \left(\frac{12}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = -1$ है,इसलिए रेखाएं $OQ$ और $OR$ लंबवत हैं।
अतः,केंद्रीय कोण $\angle ROQ = \frac{\pi}{2}$ है।
वृत्त के प्रमेय के अनुसार,वृत्त की जीवा द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है।
इसलिए,$\angle QPR = \frac{1}{2} \angle ROQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$।

(A) माना $S_{1} = x^{2}+y^{2}-6x-8=0$ और $S_{2} = x^{2}+y^{2}-6=0$.
$S_{1}$ और $S_{2}$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ है।
$(x^{2}+y^{2}-6x-8) + \lambda(x^{2}+y^{2}-6) = 0 \quad \dots(i)$
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(1^{2}+1^{2}-6(1)-8) + \lambda(1^{2}+1^{2}-6) = 0$
$(1+1-6-8) + \lambda(1+1-6) = 0$
$-12 - 4\lambda = 0$
$-4\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(x^{2}+y^{2}-6x-8) - 3(x^{2}+y^{2}-6) = 0$
$x^{2}+y^{2}-6x-8 - 3x^{2}-3y^{2}+18 = 0$
$-2x^{2}-2y^{2}-6x+10 = 0$
$-2$ से भाग देने पर,$x^{2}+y^{2}+3x-5 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है।
दिया गया है कि $A(1, 2)$ और $B(-2, 1)$ से उसकी दूरियों के वर्गों का योग $6$ है।
$(PA)^2 + (PB)^2 = 6$
$(h - 1)^2 + (k - 2)^2 + (h + 2)^2 + (k - 1)^2 = 6$
$(h^2 - 2h + 1) + (k^2 - 4k + 4) + (h^2 + 4h + 4) + (k^2 - 2k + 1) = 6$
$2h^2 + 2k^2 + 2h - 6k + 10 = 6$
$2h^2 + 2k^2 + 2h - 6k + 4 = 0$
$h^2 + k^2 + h - 3k + 2 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + x - 3y + 2 = 0$ है।
यह एक वृत्त का समीकरण है।
इसका केंद्र $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ और त्रिज्या $\sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - 2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} - 2} = \sqrt{\frac{10}{4} - 2} = \sqrt{\frac{5}{2} - 2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूँकि वृत्त मूलबिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
यह $(2,6)$ से गुजरता है,इसलिए $4 + 36 + 4g + 12f = 0$,जो $g + 3f = -10$ में सरल होता है।
यह $(6,2)$ से गुजरता है,इसलिए $36 + 4 + 12g + 4f = 0$,जो $3g + f = -10$ में सरल होता है।
समीकरणों $g + 3f = -10$ और $3g + f = -10$ को हल करने पर,हमें $g = f = -2.5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 5x - 5y = 0$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ रखने पर: $x^2 - 5x = 0$,जिससे $x(x - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(5,0)$ हैं।
चूँकि $P \neq (0,0)$,इसलिए $P$ बिंदु $(5,0)$ है।
$OP$ की लंबाई $5$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^{2}=4ax$ है।
मान लीजिए परवलय पर बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at^{2}, 2at)$ हैं।
नाभि $F$ $(a, 0)$ है और नियता $x = -a$ है।
बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ से नियता $x = -a$ पर डाले गए लंब का पाद $Q$,$(-a, 2at)$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,दूरी $PF$ दूरी $PQ$ के बराबर है।
$PQ = \sqrt{(at^{2} - (-a))^{2} + (2at - 2at)^{2}} = a(t^{2}+1)$.
$PF = \sqrt{(at^{2}-a)^{2} + (2at-0)^{2}} = a(t^{2}+1)$.
चूंकि $PQ = PF$,त्रिभुज $\triangle PQF$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle PQF = \angle PFQ$।
अतः,$\tan \angle PQF = \tan \angle PFQ$।
इसलिए,$\frac{\tan \angle PQF}{\tan \angle PFQ} = 1$।

(B) दिए गए समीकरण $x+y=4$ $(i)$ और $x-y=2$ $(ii)$ हैं।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $x=3$ और $y=1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(3, 1)$ से गुजरने वाली और $m = \tan(\tan^{-1}(3/4)) = 3/4$ ढाल वाली रेखा:
$(y-1) = \frac{3}{4}(x-3) \Rightarrow y = \frac{3x-5}{4}$.
इसे परवलय के समीकरण $y^{2}=4(x-3)$ में रखने पर:
$\left(\frac{3x-5}{4}\right)^{2} = 4(x-3)$
$\frac{9x^{2}-30x+25}{16} = 4x-12$
$9x^{2}-30x+25 = 64x-192$
$9x^{2}-94x+217 = 0$.
इस द्विघात समीकरण के लिए,$x_{1}+x_{2} = \frac{94}{9}$ और $x_{1}x_{2} = \frac{217}{9}$ है।
अतः $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$
$= \sqrt{\left(\frac{94}{9}\right)^{2} - 4\left(\frac{217}{9}\right)}$
$= \sqrt{\frac{8836}{81} - \frac{868}{9}} = \sqrt{\frac{1024}{81}} = \frac{32}{9}$.

(C) दिया गया है कि दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी नाभिलंब की लंबाई के बराबर है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ है।
अतः,$2ae = \frac{2b^2}{a} \implies ae = \frac{b^2}{a} \implies b^2 = a^2e$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
इस समीकरण में $b^2 = a^2e$ रखने पर,हमें $a^2e = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है।
$a^2$ से भाग देने पर,$e = 1 - e^2$ मिलता है।
इससे द्विघात समीकरण $e^2 + e - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि उत्केंद्रता $e$ धनात्मक होनी चाहिए $(0 < e < 1)$,इसलिए $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$3tx - 2y + 6t = 0$ $(i)$
$3x + 2ty - 6 = 0$ $(ii)$
$(i)$ से,$3t(x+2) = 2y \Rightarrow t = \frac{2y}{3(x+2)}$.
$t$ का मान $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 2\left(\frac{2y}{3(x+2)}\right)y - 6 = 0$
$3x(3(x+2)) + 4y^{2} - 6(3(x+2)) = 0$
$9x(x+2) + 4y^{2} - 18(x+2) = 0$
$9x^{2} + 18x + 4y^{2} - 18x - 36 = 0$
$9x^{2} + 4y^{2} = 36$
$36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+4y^{2}=4$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$ प्राप्त होता है।
लघु अक्ष का धनात्मक सिरा $B(0, 1)$ है।
माना जीवा $BP$ का मध्य-बिंदु $M(h, k)$ है,जहाँ $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है।
तब,$(h, k) = \left(\frac{0+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$।
इसका अर्थ है $h = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2h$ और $k = \frac{1+y}{2} \Rightarrow y = 2k-1$।
चूँकि $P(x, y)$ दीर्घवृत्त $x^{2}+4y^{2}=4$ पर स्थित है,$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(2h)^{2} + 4(2k-1)^{2} = 4$
$4h^{2} + 4(4k^{2} - 4k + 1) = 4$
$4h^{2} + 16k^{2} - 16k + 4 = 4$
$4h^{2} + 16k^{2} - 16k = 0$
$4$ से भाग देने पर,हमें $h^{2} + 4k^{2} - 4k = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^{2} + 4(y^{2} - y) = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^{2} + 4(y^{2} - y + \frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1$।
$x^{2} + 4(y - \frac{1}{2})^{2} = 1$।
$1$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{1} + \frac{(y - 1/2)^{2}}{1/4} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र $(0, 1/2)$,अर्ध-दीर्घ अक्ष $a=1$ और अर्ध-लघु अक्ष $b=1/2$ है।

(D) अतिपरवलय और रेखा के समीकरण $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{25}=1$ और $y=x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=x$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{25}=1$ $\Rightarrow 16x^{2}=225$ $\Rightarrow x=\pm \frac{15}{4}$.
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $P\left(\frac{15}{4}, \frac{15}{4}\right)$ और $Q\left(-\frac{15}{4}, -\frac{15}{4}\right)$ हैं।
दीर्घ अक्ष $PQ$ की लंबाई $2a = \sqrt{(\frac{15}{2})^{2} + (\frac{15}{2})^{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}}$.
अतः $a = \frac{15}{2\sqrt{2}}$.
लघु अक्ष की लंबाई $2b = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है,इसलिए $b = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - (\frac{5}{15})^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x-2y=t$ $(i)$
$x+2y=\frac{1}{t}$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$(x-2y)(x+2y) = t \times \frac{1}{t}$
$x^2 - 4y^2 = 1$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1/4} = 1$
यह एक अतिपरवलय को दर्शाता है जहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = \frac{1}{4}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1/4}{1}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
केंद्र $(0,0)$ है और नाभियाँ $(\pm ae, 0) = \left(\pm 1 \times \frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right) = \left(\pm \frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right)$ हैं।

(A) हम $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{1}{x^{2}}+\frac{(2013)^{x}-1}{e^{x}-1}\right\}$ का मूल्यांकन कर रहे हैं।
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{1}{x^{2}}+\frac{(2013)^{x}-1}{x} \cdot \frac{x}{e^{x}-1}\right\}$.
हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2013)^{x}-1}{x} = \ln(2013)$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{e^{x}-1} = 1$.
अतः,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} + \ln(2013) \cdot 1$ हो जाता है।
जैसे $x \rightarrow 0$,$\frac{1}{x^2} \rightarrow +\infty$.
इसलिए,सीमा $+\infty$ है।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \left\{\frac{\sqrt{1+x}}{x} - \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\right\}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left\{\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x^{2}+1}}{x}\right\}$
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम $L$-Hospital नियम लागू करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x} - \sqrt{x^{2}+1})}{\frac{d}{dx}(x)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}}{1}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \right)$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{1}{2\sqrt{1+0}} - \frac{0}{\sqrt{0^{2}+1}} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

(A) हमें $\lim_{x \rightarrow 0} x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ होता है,इसलिए $-1 \leq \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right) \leq 1$ होगा।
$x$ से गुणा करने पर (मान लीजिए $x > 0$): $-x \leq x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right) \leq x$।
जैसे ही $x \rightarrow 0^+$,$-x$ और $x$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं। स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \rightarrow 0^+} x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right) = 0$।
$x < 0$ के लिए,$x = -h$ लें जहाँ $h > 0$। जैसे ही $x \rightarrow 0^-$,$h \rightarrow 0^+$।
व्यंजक $\lim_{h \rightarrow 0^+} (-h) \sin \left(e^{-\frac{1}{h}}\right)$ बन जाता है।
जैसे ही $h \rightarrow 0^+$,$e^{-\frac{1}{h}} \rightarrow e^{-\infty} = 0$,इसलिए $\sin \left(e^{-\frac{1}{h}}\right) \rightarrow \sin(0) = 0$।
अतः,$\lim_{h \rightarrow 0^+} (-h) \cdot 0 = 0$।
चूंकि बायां सीमा और दायां सीमा दोनों $0$ हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व है और यह $0$ के बराबर है।

(C) माना $S = \sum_{n=1}^{1000} (-1)^{n} x^{n} = -x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - \dots + x^{1000}$.
यह एक परिमित गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = -x$,सार्व अनुपात $r = -x$ और पदों की संख्या $n = 1000$ है।
योग $S = a \frac{r^{n} - 1}{r - 1} = (-x) \frac{(-x)^{1000} - 1}{-x - 1} = (-x) \frac{x^{1000} - 1}{-(x + 1)} = x \frac{x^{1000} - 1}{x + 1} = \frac{x^{1001} - x}{x + 1}$ द्वारा दिया गया है।
अब,$x \rightarrow \infty$ के लिए सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{1001} - x}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{1001}(1 - \frac{1}{x^{1000}})}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \rightarrow \infty} x^{1000} = +\infty$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^{2}+9y^{2}=9$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1$. $x+y=1$ और $3y=x+3$ का प्रतिच्छेदन: $x=1-y$ को $3y=x+3$ में रखने पर,$3y=(1-y)+3$ $\Rightarrow 4y=4$ $\Rightarrow y=1$. अतः $x=0$. बिंदु $P$ $(0, 1)$ है।
$2$. $x+y=1$ और $x^{2}+9y^{2}=9$ का प्रतिच्छेदन: $x=1-y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर,$(1-y)^{2}+9y^{2}=9$ $\Rightarrow 10y^{2}-2y-8=0$ $\Rightarrow 5y^{2}-y-4=0$ $\Rightarrow (5y+4)(y-1)=0$. अतः $y=1$ ($P(0,1)$ देता है) या $y=-4/5$. यदि $y=-4/5$,तो $x=1-(-4/5)=9/5$. बिंदु $R$ $(9/5, -4/5)$ है।
$3$. $3y=x+3$ और $x^{2}+9y^{2}=9$ का प्रतिच्छेदन: $y=(x+3)/3$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर,$x^{2}+(x+3)^{2}=9$ $\Rightarrow 2x^{2}+6x=0$ $\Rightarrow 2x(x+3)=0$. अतः $x=0$ ($P(0,1)$ देता है) या $x=-3$. यदि $x=-3$,तो $y=0$. बिंदु $Q$ $(-3, 0)$ है।
$\triangle PQR$ के शीर्ष $P(0, 1)$,$Q(-3, 0)$ और $R(9/5, -4/5)$ हैं।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(0 - (-4/5)) + (-3)(-4/5 - 1) + (9/5)(1 - 0)| = \frac{1}{2} |27/5 + 9/5| = \frac{18}{5}$.

(B) दिया गया वक्र $x^{2}+4xy+8y^{2}=64$ है ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 4(y + x\frac{dy}{dx}) + 16y\frac{dy}{dx} = 0$
$2x + 4y + (4x + 16y)\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2y}{2(x+4y)}$
चूंकि स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समानांतर हैं,इसलिए ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ होगी।
इसका अर्थ है $x + 2y = 0$,अतः $x = -2y$ ... (ii)
$x = -2y$ को मूल समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(-2y)^{2} + 4(-2y)y + 8y^{2} = 64$
$4y^{2} - 8y^{2} + 8y^{2} = 64$
$4y^{2} = 64$
$y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$
यदि $y = 4$ है,तो $x = -2(4) = -8$।
यदि $y = -4$ है,तो $x = -2(-4) = 8$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-8, 4)$ और $(8, -4)$ हैं।

(B) माना $S = \sum_{r=0}^{25} \frac{{}^{25}C_{r}}{(r+1)(r+2)}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{(r+1)(r+2)} = \frac{2^{n+2} - (n+2) - 1}{(n+1)(n+2)}$.
यहाँ $n=25$ रखने पर:
$S = \frac{2^{25+2} - (25+2) - 1}{(25+1)(25+2)}$
$S = \frac{2^{27} - 27 - 1}{26 \times 27}$
$S = \frac{2^{27} - 28}{26 \times 27}$.

(B) दिया गया समीकरण $ax^{2} + bx + 1 = 0$ है।
समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac \geq 0$.
यहाँ $c = 1$ है,इसलिए $b^{2} - 4a \geq 0$ प्राप्त होता है।
$(a, b)$ के लिए संभावित युग्म $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ हैं,जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता $1/4$ है।
प्रत्येक युग्म के लिए शर्त $b^{2} - 4a \geq 0$ की जाँच करने पर:
$1$. $(1, 1)$ के लिए: $1^{2} - 4(1) = -3 < 0$ (वास्तविक नहीं)।
$2$. $(1, 2)$ के लिए: $2^{2} - 4(1) = 0 \geq 0$ (वास्तविक है)।
$3$. $(2, 1)$ के लिए: $1^{2} - 4(2) = -7 < 0$ (वास्तविक नहीं)।
$4$. $(2, 2)$ के लिए: $2^{2} - 4(2) = -4 < 0$ (वास्तविक नहीं)।
केवल युग्म $(1, 2)$ शर्त को पूरा करता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1/4$ है।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x)f(y) = f(x+y)$ है।
चूंकि $f$ एकैकी है,इस कौशी फलन समीकरण का हल $f(x) = a^{kx}$ के रूप में है,जहाँ $a > 0, a \neq 1$ और $k \neq 0$ स्थिरांक हैं।
दिया गया है कि $f(x), f(y),$ और $f(z)$ $GP$ में हैं,इसलिए $(f(y))^2 = f(x)f(z)$ होगा।
$f(x) = a^{kx}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a^{ky})^2 = a^{kx} \cdot a^{kz}$ प्राप्त होता है।
यह $a^{2ky} = a^{k(x+z)}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $a \neq 1$ और $k \neq 0$,हम घातांकों की तुलना करते हैं: $2ky = k(x+z)$।
$k$ से विभाजित करने पर,हमें $2y = x+z$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $x, y,$ और $z$ $AP$ में हैं।

(D) माना संबंध $R = \{(A, B) \mid B = P^{-1} A P \text{ किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह } P \text{ के लिए }\}$ है।
स्वतुल्यता के लिए: चूँकि $A = I^{-1} A I$ जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है,इसलिए $(A, A) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
सममितता के लिए: माना $(A, B) \in R$ है। तब $B = P^{-1} A P$ है। बाईं ओर $P$ और दाईं ओर $P^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $P B P^{-1} = A$ प्राप्त होता है। माना $Q = P^{-1}$ है। तब $A = Q^{-1} B Q$ है। अतः,$(B, A) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
संक्रामकता के लिए: माना $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R$ है। तब $B = P^{-1} A P$ और $C = Q^{-1} B Q$ कुछ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $P$ और $Q$ के लिए है। $B$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C = Q^{-1} (P^{-1} A P) Q = (P Q)^{-1} A (P Q)$ प्राप्त होता है। चूँकि $PQ$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $(A, C) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) संबंध $R = \{(a, b) \mid \sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1.$ स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$\sin ^{2} a + \cos ^{2} a = 1$ होता है। अतः,$(a, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2.$ सममितता: मान लीजिए $(a, b) \in R$,तो $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$ है।
$\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$ और $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$ का उपयोग करने पर,हमें $(1 - \cos ^{2} a) + (1 - \sin ^{2} b) = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\sin ^{2} b + \cos ^{2} a = 1$ हो जाता है। अतः,$(b, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3.$ संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है। तो $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$ और $\sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1$ है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b + \sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin ^{2} b + \cos ^{2} b = 1$,इसलिए $\sin ^{2} a + 1 + \cos ^{2} c = 2$,जिसका अर्थ है $\sin ^{2} a + \cos ^{2} c = 1$ है। अतः,$(a, c) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(C) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
यहाँ $P$ एक रोटेशन मैट्रिक्स $R_{\theta}$ है जहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
रोटेशन मैट्रिक्स का गुणधर्म है कि $R_{\theta}^n = R_{n\theta}$.
इसलिए,$P^3 = R_{3 \times \frac{\pi}{4}} = R_{\frac{3\pi}{4}} = \begin{bmatrix} \cos \frac{3\pi}{4} & -\sin \frac{3\pi}{4} \\ \sin \frac{3\pi}{4} & \cos \frac{3\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
अब,$P^3 X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
$P^3 X = \begin{bmatrix} (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

(C) दिया गया है $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$.
हम $P^2$ और $P^3$ की गणना करते हैं:
$P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \cdot P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \end{bmatrix}$.
अब,$P^3 + 2P^2$ की गणना करते हैं:
$P^3 + 2P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2 & 0 & 0 \\ 0 & -1+2 & 0 \\ 0 & 0 & -8+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,हम $2I + P$ की जाँच करते हैं:
$2I + P = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 & 0 & 0 \\ 0 & 2-1 & 0 \\ 0 & 0 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,$P^3 + 2P^2 = 2I + P$ है।

(A) दिया गया है,$P = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $P^2 = P \cdot P$ की गणना करते हैं:
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$
$P^2 = \begin{bmatrix} (4+2-4) & (-4-6+8) & (-8-8+12) \\ (-2-3+4) & (2+9-8) & (4+12-12) \\ (2+2-3) & (-2-6+6) & (-4-8+9) \end{bmatrix}$
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} = P$.
चूंकि $P^2 = P$,इसलिए $P^3 = P^2 \cdot P = P \cdot P = P^2 = P$ होता है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,सभी धनात्मक पूर्णांक $n \ge 1$ के लिए $P^n = P$ होता है।
अतः,$P^5 = P$।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_{1} \rightarrow C_{1} - bC_{3}$ और $C_{2} \rightarrow C_{2} + aC_{3}$ को लागू करें।
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2} & 2 a b - 2ab & -2 b \\ 2 a b - 2ab & 1-a^{2}+b^{2} + 2a^{2} & 2 a \\ 2 b - b(1-a^{2}-b^{2}) & -2 a + a(1-a^{2}-b^{2}) & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}+b^{2} & 0 & -2 b \\ 0 & 1+a^{2}+b^{2} & 2 a \\ b(1+a^{2}+b^{2}) & -a(1+a^{2}+b^{2}) & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$C_{1}$ और $C_{2}$ से उभयनिष्ठ गुणनखंड $(1+a^{2}+b^{2})$ बाहर लेने पर:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1 & 2 a \\ b & -a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1(1-a^{2}-b^{2} + 2a^{2}) - 0 + (-2b)(0 - b)]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2}]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} (1+a^{2}+b^{2}) = (1+a^{2}+b^{2})^{3}$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = x \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \right)$ है,जहाँ $x > 1$ है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = x \left( \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x} \right)$
$f(x) = x \left( \frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{1}{x} \right)$
$f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1} + 1$
$f(x) = \frac{2}{1 - \frac{1}{x^2}} + 1$
चूँकि $x > 1$ है,इसलिए $x^2 > 1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $0 < \frac{1}{x^2} < 1$ है।
अतः,$0 < 1 - \frac{1}{x^2} < 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} > 1$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$\frac{2}{1 - \frac{1}{x^2}} > 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$f(x) > 2 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) > 3$।

(C, D) एक फलन $f(x)$ सम है यदि $f(-x) = f(x)$ और विषम है यदि $f(-x) = -f(x)$।
$(a)$ $f(x) = x^{3} \sin x$. तब $f(-x) = (-x)^{3} \sin(-x) = (-x^{3})(-\sin x) = x^{3} \sin x = f(x)$. अतः,$f(x)$ सम है।
$(b)$ $f(x) = x^{2} \cos x$. तब $f(-x) = (-x)^{2} \cos(-x) = x^{2} \cos x = f(x)$. अतः,$f(x)$ सम है।
$(c)$ $f(x) = e^{x} x^{3} \sin x$. तब $f(-x) = e^{-x} (-x)^{3} \sin(-x) = e^{-x} x^{3} \sin x \neq f(x)$. अतः,$f(x)$ सम नहीं है।
$(d)$ $f(x) = x - [x]$. तब $f(-x) = -x - [-x]$. चूंकि $[-x] = -[x] - 1$ (गैर-पूर्णांक $x$ के लिए),$f(-x) = -x - (-[x] - 1) = -x + [x] + 1 = 1 - (x - [x]) = 1 - f(x) \neq f(x)$. अतः,$f(x)$ सम नहीं है।
इसलिए,विकल्प $(c)$ और $(d)$ सम फलन नहीं हैं।

(B) दिया गया है,$f(x)=2^{100} x+1$ और $g(x)=3^{100} x+1$.
हमें $x$ का मान ज्ञात करना है जिसके लिए $f(g(x))=x$ हो।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f(3^{100} x+1) = x$
$2^{100}(3^{100} x+1) + 1 = x$
$2^{100} \cdot 3^{100} x + 2^{100} + 1 = x$
$6^{100} x + 2^{100} + 1 = x$
$x(6^{100} - 1) = -(2^{100} + 1)$
$x = -\frac{2^{100} + 1}{6^{100} - 1}$
चूंकि $x$ का केवल एक ही मान समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए वास्तविक संख्याओं $x$ का समुच्चय एक एकल समुच्चय (singleton) है।

(D) माना $A = \{1, 2, \ldots, 11\}$ और $B = \{1, 2, \ldots, 10\}$ है।
यहाँ,$n(A) = 11$ और $n(B) = 10$ है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ से $n$ अवयवों वाले समुच्चय $B$ तक आच्छादक फलनों की संख्या का सूत्र $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^m$ है।
जब $m = n+1$ होता है,तो आच्छादक फलनों की संख्या $\binom{m}{2} \times n! = 55 \times 10!$ होती है।
यह मान $5.5 \times 11!$ के बराबर है।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$
सबसे पहले,$x=2$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ((2-h)^3 - 3(2-h) + 2) = 8 - 6 + 2 = 4$
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ((2+h)^3 - 6(2+h)^2 + 9(2+h) + 2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$
$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 2 = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$
चूँकि $LHL = RHL = f(2)$,फलन $x=2$ पर सतत है।
अब,$f'(x)$ ज्ञात करके $x=2$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 3, & x < 2 \\ 3x^2 - 12x + 9, & x > 2 \end{cases}$
$Lf'(2) = \lim_{x \rightarrow 2^-} (3x^2 - 3) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$
$Rf'(2) = \lim_{x \rightarrow 2^+} (3x^2 - 12x + 9) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$
चूँकि $Lf'(2) \neq Rf'(2)$,फलन $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x)=e^{x}(x-2)^{2}$ है।
वर्धमान और ह्रासमान के अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}[e^{x}(x-2)^{2}]$
गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$f^{\prime}(x) = e^{x}(x-2)^{2} + e^{x} \cdot 2(x-2)$
$f^{\prime}(x) = e^{x}(x-2)[(x-2) + 2]$
$f^{\prime}(x) = x(x-2)e^{x}$
अब,हम $f^{\prime}(x)$ का चिह्न निर्धारित करते हैं:
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{x} > 0$ है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ का चिह्न $x(x-2)$ पर निर्भर करता है।
- $x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$x < 0$ और $(x-2) < 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।
- $x \in (0, 2)$ के लिए,$x > 0$ और $(x-2) < 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) < 0$ (ह्रासमान)।
- $x \in (2, \infty)$ के लिए,$x > 0$ और $(x-2) > 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।
अतः,$f$ अंतराल $(-\infty, 0)$ और $(2, \infty)$ में वर्धमान है और $(0, 2)$ में ह्रासमान है।

(D) दिया गया फलन $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+t^{2}} dt$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 2\pi$ है।
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम लीबनिज नियम का उपयोग करके अवकलज $F'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$F'(x) = \frac{\cos x}{1+x^{2}}$.
चूंकि सभी $x$ के लिए $1+x^{2} > 0$ है,इसलिए $F'(x)$ का चिह्न केवल $\cos x$ पर निर्भर करता है।
$F(x)$ वर्धमान है जब $F'(x) > 0$,जो तब होता है जब $\cos x > 0$ हो। अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x > 0$ तब होता है जब $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ हो।
$F(x)$ ह्रासमान है जब $F'(x) < 0$,जो तब होता है जब $\cos x < 0$ हो। अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x < 0$ तब होता है जब $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ हो।
अतः,$F$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ और $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ में वर्धमान है और $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में ह्रासमान है।

(C) दिया गया है $f(x) = \exp\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$। मान लीजिए $g(x) = x^{\frac{1}{x}}$। चूँकि $\exp(u)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान वहाँ होगा जहाँ $g(x)$ न्यूनतम है।
$g(x)$ का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(g(x)) = \frac{\ln x}{x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln x(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$।
$g'(x) = 0$ रखने पर $1 - \ln x = 0$,अतः $x = e \approx 2.718$।
$x < e$ के लिए $g'(x) > 0$ (वर्धमान) और $x > e$ के लिए $g'(x) < 0$ (ह्रासमान)।
चूँकि $e \in [2, 5]$,फलन $g(x)$ अंतराल $[2, e]$ में बढ़ता है और $[e, 5]$ में घटता है।
$[2, 5]$ पर $g(x)$ का न्यूनतम मान अंतिम बिंदुओं $x = 2$ या $x = 5$ पर प्राप्त होगा।
$g(2) = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ और $g(5) = 5^{1/5} \approx 1.3797$ की तुलना करने पर।
चूँकि $g(5) < g(2)$,इसलिए $g(x)$ का न्यूनतम मान $5^{1/5}$ है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\exp\left(5^{\frac{1}{5}}\right)$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = 2|x-1| + |x-2|$.
हम विभिन्न अंतरालों में फलन का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $1$: यदि $x < 1$,तो $f(x) = -2(x-1) - (x-2) = -2x + 2 - x + 2 = -3x + 4$। चूँकि ढाल $-3$ है,फलन इस अंतराल में घट रहा है।
स्थिति $2$: यदि $1 \leq x < 2$,तो $f(x) = 2(x-1) - (x-2) = 2x - 2 - x + 2 = x$। चूँकि ढाल $1$ है,फलन इस अंतराल में बढ़ रहा है।
स्थिति $3$: यदि $x \geq 2$,तो $f(x) = 2(x-1) + (x-2) = 2x - 2 + x - 2 = 3x - 4$। चूँकि ढाल $3$ है,फलन इस अंतराल में बढ़ रहा है।
इस प्रकार,फलन $x=1$ तक घटता है और फिर बढ़ना शुरू कर देता है।
इसलिए,न्यूनतम मान $x=1$ पर प्राप्त होता है।
$f(1) = 2|1-1| + |1-2| = 2(0) + |-1| = 0 + 1 = 1$.

(C) दिया गया है,$f(x)=\sin x+2 \cos ^{2} x$,जहाँ $x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = \cos x - 2 \sin 2x = \cos x(1 - 4 \sin x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$\cos x = 0$ या $\sin x = \frac{1}{4}$.
अंतराल $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ में,$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$.
$\sin x = \frac{1}{4}$ इस अंतराल में संभव नहीं है क्योंकि $\sin x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदु पर मानों की जाँच करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,$f\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$.
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $x = \frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है।

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(Y - y) = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम स्पर्श रेखा के समीकरण में $X = 0$ रखते हैं:
$Y - y = \frac{dy}{dx}(0 - x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
$y$-अंतःखंड की लंबाई $|Y| = |y - x \frac{dy}{dx}|$ है। प्रश्न के अनुसार,$y$-अंतःखंड कोटि $y$ का $3$ गुना है:
$y - x \frac{dy}{dx} = 3y$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $-x \frac{dy}{dx} = 2y$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमारे पास $\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x} + \ln C$ प्राप्त होता है।
$\ln y = -2 \ln x + \ln C \Rightarrow \ln y = \ln(x^{-2}) + \ln C$.
$\ln y = \ln(C x^{-2}) \Rightarrow y = \frac{C}{x^2}$.
अतः,$x^2y = C$,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ है।
$dy \cdot y \sin \left(\frac{x}{y}\right)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} - \frac{1}{\sin(x/y)}$ प्राप्त होता है।
माना $v = \frac{x}{y}$,तब $x = vy$,और $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = v - \frac{1}{\sin v}$।
यह सरल होकर $y \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{\sin v}$ हो जाता है।
चरों को अलग करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{dy}{y}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\cos v = -\log_e |y| + C$,जो सरल होकर $\cos v = \log_e |y| + C$ हो जाता है।
$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e |y| + C$।
दिया गया है $y(\pi/4) = 1$,अतः $x = \pi/4$ और $y = 1$ पर: $\cos(\pi/4) = \log_e(1) + C \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,हल $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e y + \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
माना $f(x) = \log_{e} x$. तब $f'(x) = \frac{1}{x}$.
समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$I = \int_{1}^{2} e^{x} \left( \log_{e} x + \frac{1}{x} + 1 \right) dx$
$I = \int_{1}^{2} e^{x} \log_{e} x dx + \int_{1}^{2} e^{x} dx + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$
$\int e^{x} \log_{e} x dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$u = \log_{e} x$,$dv = e^{x} dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$,$v = e^{x}$ प्राप्त होता है।
$\int e^{x} \log_{e} x dx = e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = [e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx] + [e^{x}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$
$I = [e^{x} \log_{e} x]_{1}^{2} + [e^{x}]_{1}^{2}$
$I = (e^{2} \log_{e} 2 - e^{1} \log_{e} 1) + (e^{2} - e^{1})$
चूंकि $\log_{e} 1 = 0$:
$I = e^{2} \log_{e} 2 + e^{2} - e$
$I = e^{2}(1 + \log_{e} 2) - e$.

(A) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin x - x \cos x}{x(x + \sin x)} dx$
अंश को $(x + \sin x) - x(1 + \cos x)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{x + \sin x}{x(x + \sin x)} - \frac{x(1 + \cos x)}{x(x + \sin x)} \right) dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{1}{x} - \frac{1 + \cos x}{x + \sin x} \right) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = [\log |x|]_{\pi/6}^{\pi/3} - \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1 + \cos x}{x + \sin x} dx$
दूसरे समाकलन के लिए,माना $t = x + \sin x$,तो $dt = (1 + \cos x) dx$.
जब $x = \pi/6$,तब $t = \pi/6 + 1/2 = (\pi + 3)/6$. जब $x = \pi/3$,तब $t = \pi/3 + \sqrt{3}/2 = (2\pi + 3\sqrt{3})/6$.
$I = \log(\pi/3) - \log(\pi/6) - [\log |t|]_{(\pi+3)/6}^{(2\pi+3\sqrt{3})/6}$
$I = \log(2) - \left( \log \left( \frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{6} \right) - \log \left( \frac{\pi + 3}{6} \right) \right)$
$I = \log(2) - \log \left( \frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{\pi + 3} \right) = \log \left( \frac{2(\pi + 3)}{2\pi + 3\sqrt{3}} \right)$

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$.
हम समाकल को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{e^{|x|}} dx$.
माना $f(x) = \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)}$. चूँकि $f(-x) = \frac{(-x)^{2013}}{e^{|-x|}((-x)^{2}+\cos(-x))} = \frac{-x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$.
माना $g(x) = \frac{1}{e^{|x|}} = e^{-|x|}$. चूँकि $g(-x) = e^{-|-x|} = e^{-|x|} = g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक सम फलन है। अतः,$\int_{-1}^{1} g(x) dx = 2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx$.
समाकल की गणना करने पर: $2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx = 2 [-e^{-x}]_{0}^{1} = 2 (-e^{-1} - (-e^{0})) = 2(1 - e^{-1})$.
अतः,$I = 0 + 2(1 - e^{-1}) = 2(1 - e^{-1})$.

(A) दिया गया है $I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \tan^{n-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx$।
दूसरे समाकलन में,$t = \frac{x}{2}$ रखने पर,$dx = 2 \, dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $t = 0$ और जब $x = \pi/2$,तो $t = \pi/4$।
इन मानों को दूसरे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-1} t \cdot (2 \, dt) = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n+1} x \, dx + \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-1} x \, dx$।
$I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-1} x (\tan^2 x + 1) \, dx$।
चूंकि $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$,इसलिए $I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{n-1} x \sec^2 x \, dx$।
$u = \tan x$ रखने पर,$du = \sec^2 x \, dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $u = 0$ और जब $x = \pi/4$,तो $u = 1$।
$I = \int_{0}^{1} u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{n}$।

(D) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\sin x \cos x] dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{2} \sin 2x] dx$ है।
$\theta = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,$d\theta = 2dx$ या $dx = \frac{1}{2} d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = -\frac{\pi}{2}$ है,तो $\theta = -\pi$ और जब $x = \frac{\pi}{2}$ है,तो $\theta = \pi$ होता है।
अतः,$I = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} [\frac{1}{2} \sin \theta] d\theta$।
चूँकि $[\frac{1}{2} \sin \theta]$ एक विषम फलन है,अंतरालों की जाँच करने पर:
$\theta \in [-\pi, 0]$ के लिए,$\sin \theta \in [-1, 0]$,अतः $\frac{1}{2} \sin \theta \in [-\frac{1}{2}, 0]$,इसलिए $[\frac{1}{2} \sin \theta] = -1$ होगा।
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,$\sin \theta \in [0, 1]$,अतः $\frac{1}{2} \sin \theta \in [0, \frac{1}{2}]$,इसलिए $[\frac{1}{2} \sin \theta] = 0$ होगा।
अतः,$I = \frac{1}{2} [\int_{-\pi}^{0} (-1) d\theta + \int_{0}^{\pi} (0) d\theta] = \frac{1}{2} [-\theta]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{2} [0 - (\pi)] = -\frac{\pi}{2}$।

(D) दिया गया परवलय का समीकरण $y=x^{2}-4x+5$ $(i)$ है और रेखा का समीकरण $y=x+1$ (ii) है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$x^{2}-4x+5 = x+1$
$x^{2}-5x+4 = 0$
$(x-1)(x-4) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ और $x=4$ पर हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=1$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{Area} = \int_{1}^{4} \{(x+1) - (x^{2}-4x+5)\} dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{4} (-x^{2}+5x-4) dx$
$\text{Area} = \left[ -\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} - 4x \right]_{1}^{4}$
सीमाओं को रखने पर:
$\text{Area} = \left( -\frac{64}{3} + \frac{5(16)}{2} - 4(4) \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5(1)}{2} - 4(1) \right)$
$\text{Area} = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$
$\text{Area} = \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{5}{2} - \frac{13}{3} \right)$
$\text{Area} = \frac{8}{3} - \left( \frac{15-26}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{16+11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(D) दिया गया है,$f(x)=x^{2/3}$ और रेखा $y=x$ है।
$x \in [1, 8]$ के लिए,$x \geq x^{2/3}$ होता है क्योंकि $x \geq 1$ के लिए $x^3 \geq x^2$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{8} (x - x^{2/3}) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{3}{5} x^{5/3} \right]_{1}^{8}$
$= \left( \frac{8^2}{2} - \frac{3}{5} (8)^{5/3} \right) - \left( \frac{1^2}{2} - \frac{3}{5} (1)^{5/3} \right)$
$= \left( \frac{64}{2} - \frac{3}{5} \times 32 \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{5} \right)$
$= \left( 32 - \frac{96}{5} \right) - \left( \frac{5-6}{10} \right)$
$= \left( \frac{160-96}{5} \right) - \left( -\frac{1}{10} \right)$
$= \frac{64}{5} + \frac{1}{10} = \frac{128+1}{10} = \frac{129}{10}$.

(A, D) परवलय का समीकरण $y^{2}=x$ है और रेखा का समीकरण $y=mx$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,रेखा के समीकरण में $x=y^{2}$ प्रतिस्थापित करें:
$y=m(y^{2}) \Rightarrow my^{2}-y=0 \Rightarrow y(my-1)=0$.
अतः,$y=0$ या $y=\frac{1}{m}$.
$y=0$ के लिए,$x=0$. $y=\frac{1}{m}$ के लिए,$x=\frac{1}{m^{2}}$.
इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $P\left(\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{m}\right)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{0}^{1/m} \left(\frac{y}{m} - y^{2}\right) dy = \left[\frac{y^{2}}{2m} - \frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1/m} = \left|\frac{1}{2m^{3}} - \frac{1}{3m^{3}}\right| = \left|\frac{1}{6m^{3}}\right|$.
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{1}{48}$ दिया गया है:
$\left|\frac{1}{6m^{3}}\right| = \frac{1}{48} \Rightarrow |m^{3}| = 8$.
इसका अर्थ है कि $m^{3} = 8$ या $m^{3} = -8$.
अतः,$m = 2$ या $m = -2$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{y^{2}+2x}{y} = y + \frac{2x}{y}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{2}{y}$ और $Q(y) = y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \log_{e} y} = e^{\log_{e} y^{-2}} = y^{-2} = \frac{1}{y^{2}}$ है।
सामान्य हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y \cdot \frac{1}{y^{2}} dy + C = \int \frac{1}{y} dy + C = \log_{e} y + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = y^{2}(\log_{e} y + C)$।
दिया गया है कि जब $y=1$ है तो $x=1$,इसलिए इन मानों को रखने पर: $1 = 1^{2}(\log_{e} 1 + C) \Rightarrow 1 = 1(0 + C) \Rightarrow C = 1$।
सामान्य हल में $C=1$ रखने पर,हमें $x = y^{2}(\log_{e} y + 1)$ प्राप्त होता है।

(D) माना $X$ सही उत्तरों की संख्या है। $3$ प्रश्नों के लिए सफलता की प्रायिकता $p_1 = \frac{1}{4}$ और असफलता $q_1 = \frac{3}{4}$ है। $2$ प्रश्नों के लिए सफलता की प्रायिकता $p_2 = \frac{1}{2}$ और असफलता $q_2 = \frac{1}{2}$ है।
हमें कम से कम $4$ सही उत्तरों की प्रायिकता चाहिए,अर्थात $P(X=4) + P(X=5)$.
$X=5$ के लिए: सभी $5$ सही हैं। $P(X=5) = (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{256}$.
$X=4$ के लिए: या तो $3$ प्रश्नों में से एक गलत है,या $2$ प्रश्नों में से एक गलत है।
स्थिति $1$: $3$ प्रश्नों में से एक गलत है। प्रायिकता $= {^3C_2} \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^1 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{256}$.
स्थिति $2$: $2$ प्रश्नों में से एक गलत है। प्रायिकता $= {^3C_3} \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot {^2C_1} \cdot (\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^1 = \frac{2}{256}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{256} + \frac{9}{256} + \frac{2}{256} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$.

(C) कुल पत्तों की संख्या $= 52$.
फेस कार्ड (गुलाम,बेगम,बादशाह) की कुल संख्या $= 3 \times 4 = 12$.
बिना फेस कार्ड वाले पत्तों की संख्या $= 52 - 12 = 40$.
तीसरी बार में पहली बार फेस कार्ड आने का अर्थ है कि पहला पत्ता फेस कार्ड नहीं है,दूसरा पत्ता फेस कार्ड नहीं है,और तीसरा पत्ता फेस कार्ड है।
पहली बार में फेस कार्ड न आने की प्रायिकता: $P(F_1^c) = \frac{40}{52}$.
पहली बार में फेस कार्ड न आने के बाद दूसरी बार में फेस कार्ड न आने की प्रायिकता: $P(F_2^c | F_1^c) = \frac{39}{51}$.
पहली और दूसरी बार में फेस कार्ड न आने के बाद तीसरी बार में फेस कार्ड आने की प्रायिकता: $P(F_3 | F_1^c \cap F_2^c) = \frac{12}{50}$.
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{40}{52} \times \frac{39}{51} \times \frac{12}{50}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$P = \frac{10}{13} \times \frac{13}{17} \times \frac{6}{25} = \frac{10 \times 13 \times 6}{13 \times 17 \times 25} = \frac{10 \times 6}{17 \times 25} = \frac{60}{425} = \frac{12}{85}$.

(D) माना $E$ चित आने की घटना है।
माना $E_{1}$ पक्षपाती सिक्का चुनने की घटना है और $E_{2}$ निष्पक्ष सिक्का चुनने की घटना है।
चूंकि सिक्का यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_{1}) = \frac{1}{2}$ और $P(E_{2}) = \frac{1}{2}$।
निष्पक्ष सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(E|E_{2}) = \frac{1}{2}$ है।
पक्षपाती सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(E|E_{1}) = \frac{3}{4}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह देखते हुए कि चित आया है,निष्पक्ष सिक्के के चुने जाने की प्रायिकता है:
$P(E_{2}|E) = \frac{P(E_{2}) \cdot P(E|E_{2})}{P(E_{2}) \cdot P(E|E_{2}) + P(E_{1}) \cdot P(E|E_{1})}$
$P(E_{2}|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}}$
$P(E_{2}|E) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{2}{5}$.

(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली एक समरूप प्रणाली $AX = 0$ है,जहाँ गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{bmatrix}$ है।
गुणांक आव्यूह का सारणिक $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{vmatrix}$ है।
यह एक वेंडरमोंड सारणिक है,जिसका मान $|A| = (\alpha - \beta)(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha)$ होता है।
$(i)$ यदि $\alpha, \beta, \gamma$ अलग-अलग हैं,तो $|A| \neq 0$ होता है। इस स्थिति में,प्रणाली का केवल तुच्छ हल $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ होता है,जो एक अद्वितीय हल है।
(ii) यदि $\alpha, \beta, \gamma$ में से कोई भी दो समान हैं,तो $|A| = 0$ होता है। इस स्थिति में,प्रणाली के अनंत हल होते हैं क्योंकि आव्यूह की कोटि चरों की संख्या से कम होती है।