જો પદાવલિ 5^{2n} - 48n + k એ તમામ n in N માટે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.આપણે $25^n$ ને $(1 + 24)^n$ તરીકે લખી શકીએ.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 24)^n = 1 + n(24)

Vedclass · Accepted Answer

$23$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.આપણે $25^n$ ને $(1 + 24)^n$ તરીકે લખી શકીએ.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 24)^n = 1 + n(24) + \frac{n(n-1)}{2}(24)^2 + \dots + 24^n$.તેથી,$25^n = 1 + 24n + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$f(n) = 1 + 24n - 48n + k + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.$f(n) = 1 - 24n + k + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.$f(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,$(1 - 24n + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.કારણ કે $24n$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(1 + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.આમ,$1 + k = 24m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે.$k$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત માટે,$m = 1$ લેતા,$1 + k = 24$,તેથી $k = 23$.

જો પદાવલિ $5^{2n} - 48n + k$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $k$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $n > 1$ એક પૂર્ણાંક છે. નીચેનામાંથી કયા સંખ્યાઓના સમૂહમાં હંમેશા $3$ નો ગુણક હોય છે?

$1$ કરતા મોટી એવી નાનામાં નાની ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ છે જે તમામ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $49^n + 16n - 1$ ને ભાગી શકે?

$n \in N$ માટે,$81^n + 20n - 1$ ને ભાગતી સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $k$ છે. જો $S$ એ $k$ ના તમામ ધન ભાજકોનો સરવાળો હોય,તો $S - k =$

જો $2(4^{2n+1}) + 3^{3n+1}$ એ $k$ વડે વિભાજ્ય હોય,જ્યાં $k > 1$,બધા $n \in N$ માટે,તો $k$ ની કિંમત શું છે?

જ્યારે $(2021)^{2022} + (2022)^{2021}$ ને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module