यदि समीकरण cos^4 theta + sin^4 theta + lambda | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $\cos^4 	heta + \sin^4 	heta + \lambda = 0$ है। हम जानते हैं कि $\sin^4 	heta + \cos^4 	heta = (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta)

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$\left[-1, -\frac{1}{2}\right]$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समीकरण $\cos^4 	heta + \sin^4 	heta + \lambda = 0$ है। हम जानते हैं कि $\sin^4 	heta + \cos^4 	heta = (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta)^2 - 2 \sin^2 	heta \cos^2 	heta = 1 - 2 \sin^2 	heta \cos^2 	heta$। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - 2 \sin^2 	heta \cos^2 	heta + \lambda = 0$। सर्वसमिका $\sin 2	heta = 2 \sin 	heta \cos 	heta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 	heta \cos^2 	heta = \frac{\sin^2 2	heta}{4}$। अतः,$1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2	heta}{4}ight) + \lambda = 0$,जो सरल होकर $1 - \frac{\sin^2 2	heta}{2} + \lambda = 0$ हो जाता है। इसलिए,$\lambda = \frac{\sin^2 2	heta}{2} - 1$। चूंकि $0 \leq \sin^2 2	heta \leq 1$,इसलिए $0 \leq \frac{\sin^2 2	heta}{2} \leq \frac{1}{2}$। सभी पदों में से $1$ घटाने पर,$-1 \leq \frac{\sin^2 2	heta}{2} - 1 \leq -\frac{1}{2}$। अतः,$\lambda \in \left[-1, -\frac{1}{2}ight]$।

यदि समीकरण $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ के $\theta$ के लिए वास्तविक हल हैं,तो $\lambda$ किस अंतराल में स्थित है?

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