मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण x frac{dy}{dx}+y | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x$ है। $x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x} y=\log x$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{

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$\frac{e}{4}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x$ है। $x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x} y=\log x$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{1}{x}$ और $Q(x)=\log x$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ है। व्यापक हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर,$xy = \int x \log x dx + c$ प्राप्त होता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \log x dx = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$। अतः,$xy = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$। दिया गया है कि $2(y(2)) = \log 4 - 1$,जिसका अर्थ है $y(2) = \frac{1}{2} \log 4 - \frac{1}{2} = \log 2 - \frac{1}{2}$। व्यापक हल में $x=2$ रखने पर: $2(\log 2 - \frac{1}{2}) = \frac{4}{2} \log 2 - \frac{4}{4} + c$। $2 \log 2 - 1 = 2 \log 2 - 1 + c$,जिससे $c=0$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$y = \frac{x}{2} \log x - \frac{x}{4}$। $x=e$ के लिए,$y(e) = \frac{e}{2} \log e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x, (x > 1)$ का हल है। यदि $2(y(2))=\log 4-1$ है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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