माना y=y(x) अवकल समीकरण sin x frac{dy}{dx}+y | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ है। $\sin x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ प्राप्

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$-\frac{8}{9} \pi^2$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ है। $\sin x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = \frac{4x}{\sin x}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$ है। व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है। मान रखने पर,$y \sin x = \int \frac{4x}{\sin x} \cdot \sin x dx + C = \int 4x dx + C = 2x^2 + C$। अतः,$y = \frac{2x^2 + C}{\sin x}$। दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $0 = \frac{2(\frac{\pi}{2})^2 + C}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi^2}{2} + C$,जिससे $C = -\frac{\pi^2}{2}$ प्राप्त होता है। विशिष्ट हल $y = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}$ है। $x = \frac{\pi}{6}$ पर,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{2(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{2\pi^2}{36} - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = 2 \left( \frac{\pi^2}{18} - \frac{\pi^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^2 - 9\pi^2}{18} \right) = 2 \left( \frac{-8\pi^2}{18} \right) = -\frac{8}{9} \pi^2$।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ का हल है। यदि $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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