बैक्टीरिया के एक निश्चित संवर्धन में,वृद्धि की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है। यदि $3$ घंटे के अंत में $10^4$ और $5$ घंटे के अंत में $4 \cdot 10^4$ बैक्टीरिया हैं,तो शुरुआत में $\qquad$ बैक्टीरिया थे।

एक वस्तु न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार $15$ मिनट में $100^{\circ} C$ से $60^{\circ} C$ तक ठंडी हो जाती है। यदि परिवेश का तापमान $20^{\circ} C$ है,तो एक घंटे तक ठंडी होने के बाद वस्तु का तापमान क्या होगा ($^{\circ} C$ में)?

गतिशील हवा में धातु जिस दर से ठंडी होती है,वह धातु और हवा के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है। यदि हवा का तापमान $290 \ K$ है और धातु का तापमान $10 \ \text{मिनट}$ में $370 \ K$ से घटकर $330 \ K$ हो जाता है,तो तापमान को $295 \ K$ तक कम करने के लिए आवश्यक समय क्या है?

एक कल्चर में,बैक्टीरिया की संख्या $1,00,000$ है। $2$ घंटों में यह संख्या $10 \%$ बढ़ जाती है। यदि बैक्टीरिया के बढ़ने की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है,तो कितने घंटों में संख्या $2,00,000$ हो जाएगी?

यदि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{2y}$ का हल बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाला एक शांकव (conic) है,तो इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

बैक्टीरिया के एक निश्चित संवर्धन में,वृद्धि की दर उस समय मौजूद बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती होती है। यदि $3$ घंटे के अंत में $10,000$ बैक्टीरिया और $5$ घंटे के अंत में $40,000$ बैक्टीरिया पाए जाते हैं,तो शुरुआत में मौजूद बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात कीजिए।