e^{y-x} frac{dy}{dx} = frac{y(sin x + cos x)} | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y-x} \frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin x + \cos x)}{1 + y \log y}$ चरों को पृथक करने पर: $e^y \frac{1 + y \log y}{y} dy = e^x

Vedclass · Accepted Answer

$e^y \log y = e^x \sin x + c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y-x} \frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin x + \cos x)}{1 + y \log y}$ चरों को पृथक करने पर: $e^y \frac{1 + y \log y}{y} dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$ बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $e^y (\log y + \frac{1}{y}) dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y (\log y + \frac{1}{y}) dy = \int e^x (\sin x + \cos x) dx$ मानक समाकलन सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(y) = \log y$ और $f(x) = \sin x$: $e^y \log y = e^x \sin x + c$ अतः,सही विकल्प $C$ है।

$e^{y-x} \frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin x + \cos x)}{1 + y \log y}$ का हल है

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मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(1+x^{2})dy+(y-\tan^{-1}x)dx=0$ का हल वक्र है,जहाँ $y(0)=1$ है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$ का व्यापक हल है

यदि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + e^x(x^2 - 2)y = (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x}$ का हल $y(0) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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