यदि एक वक्र y = f(x) बिंदु (1, 2) से गुजरता ह | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = bx^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(

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$10$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = bx^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = bx^3$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है,जो $yx = \int bx^3 \cdot x dx + C = \int bx^4 dx + C$ देता है।अतः,$yx = \frac{bx^5}{5} + C$,या $f(x) = y = \frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}$ प्राप्त होता है।चूंकि वक्र $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $2 = \frac{b}{5} + C$,अर्थात $C = 2 - \frac{b}{5}$।दिया गया है कि $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$,इसलिए $\int_{1}^{2} (\frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}) dx = [\frac{bx^5}{25} + C \ln x]_{1}^{2} = \frac{62}{5}$।सीमाओं को रखने पर: $(\frac{32b}{25} + C \ln 2) - (\frac{b}{25} + 0) = \frac{31b}{25} + C \ln 2 = \frac{62}{5}$।$C = 2 - \frac{b}{5}$ रखने पर: $\frac{31b}{25} + (2 - \frac{b}{5}) \ln 2 = \frac{62}{5}$।इसे संतुष्ट करने के लिए,$\ln 2$ के गुणांक को $0$ लेने पर,$2 - \frac{b}{5} = 0$,जिससे $b = 10$ प्राप्त होता है।तब $\frac{31(10)}{25} = \frac{310}{25} = \frac{62}{5}$ प्राप्त होता है,जो समीकरण को संतुष्ट करता है। अतः,$b = 10$।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

यदि एक वक्र $y = f(x)$ बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है और $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ को संतुष्ट करता है,तो $b$ के किस मान के लिए $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$ होगा?

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