मान लीजिए $f(x) = \cos \left(2 \tan ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)\right)$,$0 < x < 1$ के लिए। तो :

यदि $\alpha = 3 \sin^{-1}\left(\frac{6}{11}\right)$ और $\beta = 3 \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ है,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं,तो सही विकल्प है/हैं:
$(A) \cos \beta > 0$
$(B) \sin \beta < 0$
$(C) \cos(\alpha + \beta) > 0$
$(D) \cos \alpha < 0$

दिया गया है कि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान ग्रहण करता है। मान लीजिए $x, y$ अंतराल $[-1, 1]$ में कोई दो वास्तविक संख्याएँ हैं,इस प्रकार कि $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$,जहाँ $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$ है। तब,$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha$ का न्यूनतम मान है

यदि $x=\sin \left(2 \tan ^{-1} 2\right)$ और $y=\sin \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)$,तो

$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ और $y=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान क्या है?