मान लीजिए a एक पूर्णांक है ताकि बहुपद 2x^{5}+ | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $f(x) = 2x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+10x+10$ है।सबसे पहले,मूल का स्थान ज्ञात करने के लिए पूर्णांक बिंदुओं पर फलन का मान निकालते हैं।$f(

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$2$

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(B) मान लीजिए $f(x) = 2x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+10x+10$ है।सबसे पहले,मूल का स्थान ज्ञात करने के लिए पूर्णांक बिंदुओं पर फलन का मान निकालते हैं।$f(-2) = 2(-32) + 5(16) + 10(-8) + 10(4) + 10(-2) + 10 = -34$.$f(-1) = 2(-1) + 5(1) + 10(-1) + 10(1) + 10(-1) + 10 = 3$.चूंकि $f(-2)  0$ है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,अंतराल $(-2, -1)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।अब,वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए अवकलन की जाँच करते हैं।$f'(x) = 10x^{4} + 20x^{3} + 30x^{2} + 20x + 10 = 10(x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1)$.यहाँ $x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1 = (x^{2} + x + 1)^{2}$ है।अतः,$f'(x) = 10(x^{2} + x + 1)^{2}$ है।$x^{2} + x + 1$ का विविक्तकर (discriminant) $1 - 4 = -3$ है,जो ऋणात्मक है,इसलिए यह सभी वास्तविक $x$ के लिए धनात्मक है।इस प्रकार,$f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ निरंतर वर्धमान फलन है और इसका केवल एक वास्तविक मूल है।चूंकि मूल $(-2, -1)$ में स्थित है,इसलिए $a = -2$ है। अतः,$|a| = |-2| = 2$।

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