x 0 के लिए,यदि f(x) = int_{1}^{x} frac{log_ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt.$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ पर विचार करें.माना $t = \

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$\frac{1}{2}$

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(C) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt.$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ पर विचार करें.माना $t = \frac{1}{u},$ तो $dt = -\frac{1}{u^2} du.$जब $t=1, u=1$ और जब $t=1/x, u=x.$अतः,$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(1/u)}{1+(1/u)} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \left(\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{u(1+u)} du.$अब,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt - \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t(1+t)} dt = \int_{1}^{x} \ln t \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{t(1+t)} \right) dt = \int_{1}^{x} \frac{\ln t (t-1)}{t(1+t)} dt.$$x=e$ पर गणना करने पर,इसका मान $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

$x > 0$ के लिए,यदि $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$f(x) = x^4 + |x|$ के लिए,मान लीजिए $I_1 = \int_{0}^{\pi} f(\cos x) dx$ और $I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$ है। तो $\frac{I_1}{I_2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,और $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ है,तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकल $\int_{-3}^{1} (2(t+1)^5 - 5(t+1)^3 + t + 3) dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi /2} {x\cot x\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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