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Question

(A) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{n}{(n+r)^{2}}$ है।हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $L = \lim _{n \right

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$\frac{1}{2}$

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(A) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{n}{(n+r)^{2}}$ है।हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(1 + r/n)^{2}}$.निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(r/n) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.यहाँ,$f(x) = \frac{1}{(1+x)^{2}}$.अतः,$L = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^{2}} dx$.समाकल का मान ज्ञात करने पर: $L = \left[ -\frac{1}{1+x} \right]_{0}^{1} = -\left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\ldots+\frac{n}{(2 n-1)^{2}}\right]$ का मान ...... है।

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निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ का मान किसके बराबर है?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left\{ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\ldots+\sqrt{2n-1}}{n^{3/2}} \right\}$ का मान है

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

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