मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण (y+1) tan ^{2} x | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(y+1) 	an ^{2} x \,dx+	an x \,dy+y \,dx=0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $	an x \,dy + (y 	an^2 x + y + 	an^2 x) \,

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$\frac{\pi}{4}-1$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(y+1) 	an ^{2} x \,dx+	an x \,dy+y \,dx=0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $	an x \,dy + (y 	an^2 x + y + 	an^2 x) \,dx = 0$ प्राप्त होता है।$	an x \,dx$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{y(	an^2 x + 1) + 	an^2 x}{	an x} = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $1+	an^2 x = \sec^2 x$,इसलिए $\frac{dy}{dx} + y \frac{\sec^2 x}{	an x} = -	an x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\sec^2 x}{	an x}$ और $Q(x) = -	an x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{\sec^2 x}{	an x} \,dx} = e^{\ln(	an x)} = 	an x$ है।व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF \,dx + C$ है।$y 	an x = \int -	an^2 x \,dx + C = \int (1 - \sec^2 x) \,dx + C = x - 	an x + C$ है।अतः,$y = \frac{x}{	an x} - 1 + \frac{C}{	an x}$ है।दिया गया है कि $\lim_{x 	o 0+} x y(x) = 1$,इसलिए $\lim_{x 	o 0+} x \left( \frac{x}{	an x} - 1 + \frac{C}{	an x} ight) = 1$ है।चूंकि $\lim_{x 	o 0} \frac{x}{	an x} = 1$,इसलिए सीमा $1(1) - 0 + C(1) = 1$ हो जाती है,जिसका अर्थ है $1 + C = 1$,अतः $C = 0$ है।इस प्रकार,$y(x) = \frac{x}{	an x} - 1$ है।$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान रखने पर,$y\left(\frac{\pi}{4}ight) = \frac{\pi/4}{1} - 1 = \frac{\pi}{4} - 1$ है।

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