JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) જ્યારે ઉપગણનો ઓછામાં ઓછો એક ઘટક યુગ્મ હોય ત્યારે ગુણાકાર યુગ્મ મળે છે.
$S$ ના કુલ અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $2^{100} - 1$ છે.
માત્ર એકી ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા એ $S$ માં રહેલી એકી સંખ્યાઓના ઉપગણોની સંખ્યા જેટલી છે.
$S = \{1, 2, \dots, 100\}$ માં $50$ એકી સંખ્યાઓ છે.
માત્ર એકી ઘટકો ધરાવતા અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $2^{50} - 1$ છે.
તેથી,યુગ્મ ગુણાકાર ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = (કુલ અરિક્ત ઉપગણો) - (માત્ર એકી ઘટકો ધરાવતા અરિક્ત ઉપગણો).
$= (2^{100} - 1) - (2^{50} - 1) = 2^{100} - 2^{50}$.

(D) અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અહીં શિરોબિંદુઓ $(\pm 2, 0)$ છે,તેથી $a = 2$ અને $a^2 = 4$.
નાભિ $(\pm ae, 0)$ છે,તેથી $ae = 3$.
અતિવલય માટે $b^2 = a^2e^2 - a^2$ હોવાથી,$b^2 = 3^2 - 2^2 = 5$.
તેથી અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{6^2}{4} - \frac{(5\sqrt{2})^2}{5} = 9 - 10 = -1 \neq 1$.
આમ,બિંદુ $(6, 5\sqrt{2})$ અતિવલય પર આવેલું નથી.

(B) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt \pi - \sqrt {2{{\sin }^{ - 1}}x} }}{{\sqrt {1 - x} }}$.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\pi - 2{{\sin }^{ - 1}}x}}{{\sqrt {1 - x} (\sqrt \pi + \sqrt {2{{\sin }^{ - 1}}x} )}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2(\frac{\pi }{2} - {{\sin }^{ - 1}}x)}}{{\sqrt {1 - x} (\sqrt \pi + \sqrt {2{{\sin }^{ - 1}}x} )}}$
$\frac{\pi }{2} - {{\sin }^{ - 1}}x = {{\cos }^{ - 1}}x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{{\cos }^{ - 1}}x}}{{\sqrt {1 - x} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt \pi }}$
$x = \cos \theta$ લેતા,જ્યારે $x \to 1^-$,ત્યારે $\theta \to 0^+$. $\sqrt{1-x} = \sqrt{2}\sin(\theta/2)$.
$L = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0^+} \frac{{2\theta }}{{\sqrt{2}\sin(\theta/2)}} \cdot \frac{1}{{2\sqrt \pi }} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$.

(D) $AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin^4 \alpha + 4 \cos^4 \beta + 1 + 1}{4} \geq (\sin^4 \alpha \cdot 4 \cos^4 \beta \cdot 1 \cdot 1)^{1/4}$
$\sin^4 \alpha + 4 \cos^4 \beta + 2 \geq 4\sqrt{2} \sin \alpha \cos \beta$
સમાનતા માટે,$\sin^4 \alpha = 1$ અને $4 \cos^4 \beta = 1$ થાય.
તેથી,$\sin \alpha = 1$ અને $\cos \beta = \pm 1/\sqrt{2}$ મળે.
$\alpha = \pi/2$ અને $\beta = \pi/4$ અથવા $3\pi/4$ લેતા,
$\cos(\alpha + \beta) = -1/\sqrt{2}$ મળે.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા બિંદુ $P(-3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને આ બિંદુ અક્ષો વચ્ચેના અંતઃખંડિત ભાગને દુભાગે છે,તેથી અંતઃખંડો $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ,$P = \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right).$
આપેલ $P(-3, 4)$ પરથી,$\frac{a}{2} = -3 \implies a = -6$ અને $\frac{b}{2} = 4 \implies b = 8.$
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x}{-6} + \frac{y}{8} = 1.$
$24$ વડે ગુણતા,આપણને $-4x + 3y = 24$ અથવા $4x - 3y + 24 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $m$ છે અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા $2$ છે.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ રમતો રમે છે.
પુરુષો વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times \binom{m}{2} = 2 \times \frac{m(m-1)}{2} = m^2 - m$ છે.
પુરુષો અને સ્ત્રીઓ વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times (m \times 2) = 4m$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ બંને વચ્ચેનો તફાવત $84$ છે:
$(m^2 - m) - 4m = 84$
$m^2 - 5m - 84 = 0$
$(m - 12)(m + 7) = 0$
$m$ ધન હોવાથી,$m = 12$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $|z_1| = 9$,જે $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 9$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C_1$ દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે $|z_2 - (3 + 4i)| = 4$,જે $(3, 4)$ કેન્દ્ર અને $r_2 = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C_2$ દર્શાવે છે.
કેન્દ્રો $C_1(0, 0)$ અને $C_2(3, 4)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
અહીં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$ અને ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |9 - 4| = 5$ છે,તેથી $d = |r_1 - r_2|$.
આનો અર્થ એ છે કે વર્તુળ $C_2$ એ વર્તુળ $C_1$ ની અંદર આવેલું છે અને તેને આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.
જ્યારે વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોય,ત્યારે $C_1$ પરના બિંદુ $z_1$ અને $C_2$ પરના બિંદુ $z_2$ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $0$ થાય છે.

(D) $(7^{1/5} - 3^{1/10})^{60}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{60}C_{r} (7^{1/5})^{60-r} (-3^{1/10})^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘાતાંકોનું સાદું રૂપ આપતા,$T_{r+1} = ^{60}C_{r} (-1)^{r} (7)^{12 - r/5} (3)^{r/10}$ મળે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$7$ અને $3$ ના ઘાતાંકો પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આ માટે $r/5$ અને $r/10$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $10$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 60$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 10, 20, 30, 40, 50, 60$ છે.
આવી $7$ કિંમતો છે,તેથી $7$ સંમેય પદો છે.
વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $60 + 1 = 61$ છે.
તેથી,અસંમેય પદોની સંખ્યા $61 - 7 = 54$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 8y$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x = 8 \frac{dy}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$.
સ્પર્શક $x-$અક્ષની ધન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી સ્પર્શકનો ઢાળ $\tan \theta$ છે.
આમ,$\frac{x}{4} = \tan \theta$,જે આપણને $x = 4 \tan \theta$ આપે છે.
$x = 4 \tan \theta$ ને પરવલયના સમીકરણ $x^2 = 8y$ માં મૂકતા,$(4 \tan \theta)^2 = 8y$ મળે,તેથી $16 \tan^2 \theta = 8y$,જેનો અર્થ છે કે $y = 2 \tan^2 \theta$.
સ્પર્શબિંદુ $(4 \tan \theta, 2 \tan^2 \theta)$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જ્યાં $m = \tan \theta$.
$y - 2 \tan^2 \theta = \tan \theta (x - 4 \tan \theta)$
$y - 2 \tan^2 \theta = x \tan \theta - 4 \tan^2 \theta$
$y = x \tan \theta - 2 \tan^2 \theta$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\tan \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\tan \theta \neq 0$):
$x = y \cot \theta + 2 \tan \theta$.

(A) ધારો કે $A$ એ $NCC$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $B$ એ $NSS$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(U) = 60$,$n(A) = 40$,$n(B) = 30$,$n(A \cap B) = 20$.
ઓછામાં ઓછું એક પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$n(A \cup B) = 40 + 30 - 20 = 50$.
$NCC$ કે $NSS$ બંનેમાંથી કંઈપણ પસંદ ન કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(A^c \cap B^c) = n(U) - n(A \cup B) = 60 - 50 = 10$ છે.
પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીએ કંઈપણ પસંદ ન કર્યું હોય તેની સંભાવના $\frac{n(A^c \cap B^c)}{n(U)} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ છે.

(A) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે. આપેલ છે કે $n = 5$,$\bar{x} = 4$,અને $\sigma^2 = 5.2$.
અવલોકનોનો સરવાળો: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 5 \times 4 = 20$.
આપેલ છે કે $x_1 = 3, x_2 = 4, x_3 = 4$,તેથી $3 + 4 + 4 + x_4 + x_5 = 20$,એટલે કે $x_4 + x_5 = 9$ $(i)$.
વિચરણનું સૂત્ર: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$5.2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 4^2$ $\Rightarrow 5.2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 16$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 5 \times 21.2 = 106$.
વર્ગોનો સરવાળો: $3^2 + 4^2 + 4^2 + x_4^2 + x_5^2 = 106$ $\Rightarrow 9 + 16 + 16 + x_4^2 + x_5^2 = 106$ $\Rightarrow x_4^2 + x_5^2 = 65$ $(ii)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_4 - x_5)^2 = 2(x_4^2 + x_5^2) - (x_4 + x_5)^2$.
$(x_4 - x_5)^2 = 2(65) - (9)^2 = 130 - 81 = 49$.
તેથી,$|x_4 - x_5| = \sqrt{49} = 7$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી રેખા $AB$ પરના લંબપાદ $P(h, k)$ છે.
$OP \perp AB$ હોવાથી,$OP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k}{h}$ છે.
તેથી,$AB$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{h}{k}$ છે.
$P(h, k)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - k = -\frac{h}{k}(x - h)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $hx + ky = h^2 + k^2$ થાય છે.
આ રેખાના અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A\left(\frac{h^2 + k^2}{h}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{h^2 + k^2}{k}\right)$ છે.
$AB$ એ $R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની જીવા છે અને $\angle AOB = 90^\circ$ હોવાથી,$AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,લંબાઈ $AB = 2R.$
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AB^2 = (2R)^2 = 4R^2.$
$\left(\frac{h^2 + k^2}{h}\right)^2 + \left(\frac{h^2 + k^2}{k}\right)^2 = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^2 \left(\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2}\right) = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^2 \left(\frac{h^2 + k^2}{h^2k^2}\right) = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^3 = 4R^2h^2k^2.$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x^2 + y^2)^3 = 4R^2x^2y^2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $A = \{ x \in Z : 2^{(x + 2)(x^2 - 5x + 6)} = 1 \}$.
$2^0 = 1$ હોવાથી,$(x + 2)(x^2 - 5x + 6) = 0$.
$(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 0$,તેથી $x = -2, 2, 3$.
આમ,$A = \{-2, 2, 3\}$,તેથી $n(A) = 3$.
આપેલ છે $B = \{ x \in Z : -3 < 2x - 1 < 9 \}$.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા: $-2 < 2x < 10$.
$2$ વડે ભાગતા: $-1 < x < 5$.
$x \in Z$ હોવાથી,$B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$,તેથી $n(B) = 5$.
$A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) \times n(B) = 3 \times 5 = 15$ છે.
$A \times B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^{n(A \times B)} = 2^{15}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $^nC_4, ^nC_5,$ અને $^nC_6$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $n^2 - 81n + 338 = 0$ મળે છે.
$(n-14)(n-67) = 0$
તેથી,$n = 14$ અથવા $n = 67$. વિકલ્પો મુજબ,$n = 14$ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$\Delta S'BS$ એ $B$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$BS$ અને $BS'$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$BS$ નો ઢાળ $= -\frac{b}{ae}$.
$BS'$ નો ઢાળ $= \frac{b}{ae}$.
$B$ આગળનો ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$,જે સૂચવે છે કે $b^2 = a^2e^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $b^2 = a^2(1-e^2)$,તેથી $a^2e^2 = a^2 - a^2e^2$,જે આપે છે $b^2 = \frac{a^2}{2}$.
$\Delta S'BS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times b = aeb = 8$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2b^2 = 64$. $a^2e^2 = b^2$ મૂકતા,આપણને $b^4 = 64$ મળે,તેથી $b^2 = 8$.
$b^2 = \frac{a^2}{2}$ હોવાથી,$8 = \frac{a^2}{2}$,તેથી $a^2 = 16$,એટલે કે $a = 4$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{4} = 4$.

(B) ધારો કે વાદળની સરોવરની સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ છે. બિંદુ $P$ સરોવરની સપાટીથી $25 \, m$ ઊંચાઈએ છે.
ધારો કે વાદળ બિંદુ $P$ ના સ્તરથી $x$ ઊંચાઈએ છે,તેથી $h = x + 25$.
વાદળના પ્રતિબિંબનું સપાટીથી નીચેનું અંતર $h = x + 25$ છે.
$P$ થી પ્રતિબિંબ સુધીનું કુલ ઊભું અંતર $(x + 25) + 25 = x + 50$ છે.
ધારો કે $P$ થી વાદળની ઊભી રેખા સુધીનું આડું અંતર $y$ છે.
ઉત્સેધકોણ પરથી: $\tan(30^o) = \frac{x}{y} \Rightarrow y = \frac{x}{\tan(30^o)} = x\sqrt{3}$.
અવસેધકોણ પરથી: $\tan(60^o) = \frac{x + 50}{y} \Rightarrow y = \frac{x + 50}{\sqrt{3}}$.
$y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $x\sqrt{3} = \frac{x + 50}{\sqrt{3}}$.
$3x = x + 50$ $\Rightarrow 2x = 50$ $\Rightarrow x = 25 \, m$.
સપાટીથી વાદળની કુલ ઊંચાઈ $h = x + 25 = 25 + 25 = 50 \, m$ છે.

(A) આપણે તાર્કિક સમકક્ષતા $\sim (a \to b) \equiv a \wedge \sim b$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $\sim ( \sim p \to q)$ પર આ લાગુ પાડતા:
ધારો કે $a = \sim p$ અને $b = q$.
તેથી $\sim ( \sim p \to q) \equiv (\sim p) \wedge (\sim q)$.
આમ,પદાવલિ $\sim p \wedge \sim q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{6}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{9}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{12}{4}} \right)^3} + \dots$ $15$ પદો સુધી છે.
આને $\sum_{r=1}^{15} {\left( \frac{3r}{4} \right)^3}$ તરીકે લખી શકાય.
$= \frac{27}{64} \sum_{r=1}^{15} r^3$.
સૂત્ર $\sum_{r=1}^{n} r^3 = {\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{27}{64} \times {\left[ \frac{15(16)}{2} \right]^2}$.
$= \frac{27}{64} \times (120)^2$.
$= \frac{27}{64} \times 14400$.
$= 27 \times 225$.
આપેલ છે કે સરવાળો $225\,k$ છે,તેથી $225\,k = 225 \times 27$.
આમ,$k = 27$.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = ax^2 + bx + c$ હંમેશા ધન રહે તે માટે $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવું જોઈએ.
પગલું $1$: $a > 0$ ની શરત
$1 + 2m > 0 \Rightarrow m > -\frac{1}{2}$.
પગલું $2$: $D < 0$ ની શરત
$D = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + 2m)(4(1 + m)) < 0$
$m^2 - 6m - 3 < 0$.
પગલું $3$: અસમતા $m^2 - 6m - 3 < 0$ ઉકેલતા
$m$ ના બીજ $3 \pm 2\sqrt{3}$ મળે છે.
આથી,$3 - 2\sqrt{3} < m < 3 + 2\sqrt{3}$ એટલે કે $-0.464 < m < 6.464$.
પગલું $4$: $m > -0.5$ સાથે છેદગણ લેતા
$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ મળે છે.
કુલ $7$ મૂલ્યો શક્ય છે.

(C) રેખા અને વક્ર વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર વક્ર પરના તે બિંદુએ મળે છે જ્યાં સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોય.
આપેલી રેખા $y = x$ છે,જેનો ઢાળ $m = 1$ છે.
વક્ર $y^2 = x - 2$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 1$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો લેતા: $\frac{1}{2y} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
$y = \frac{1}{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મુકતા: $(\frac{1}{2})^2 = x - 2 \Rightarrow \frac{1}{4} = x - 2 \Rightarrow x = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
તેથી,વક્ર પરનું બિંદુ $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ છે.
લઘુત્તમ અંતર એ બિંદુ $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ થી રેખા $x - y = 0$ પરનું લંબ અંતર છે.
અંતર $d = \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{9}{4} - \frac{1}{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{|\frac{9-2}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2x + 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$.
ધારો કે $\alpha = 1 + i$ અને $\beta = 1 - i$.
તેથી $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$.
આપણે $n$ ની એવી ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા શોધવાની છે કે જેથી $(\frac{\alpha}{\beta})^n = 1$,જેનો અર્થ છે $i^n = 1$.
$i$ ની ઘાત $i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ છે.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(A) કુલ અંકોની સંખ્યા $9$ છે. અંકો $1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ છે.
એકી અંકો $1, 1, 3$ છે (કુલ $3$ એકી અંકો).
બેકી અંકો $2, 2, 2, 2, 4, 4$ છે (કુલ $6$ બેકી અંકો).
$4$ બેકી સ્થાનો $(2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, 8^{th})$ અને $5$ એકી સ્થાનો $(1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, 7^{th}, 9^{th})$ છે.
$4$ બેકી સ્થાનોમાંથી $3$ સ્થાનો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_3$ છે.
$3$ એકી અંકોને આ $3$ સ્થાનોમાં ગોઠવવાની રીતો $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
બાકીના $6$ અંકોને બાકીના $6$ સ્થાનોમાં ગોઠવવાની રીતો $\frac{6!}{4!2!} = 15$ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} \times \frac{6!}{4!2!} = 4 \times 3 \times 15 = 180$.

(C) ધારો કે $P = (h, k)$. $\Delta AOP$ ની પરિમિતિ $AP + OP + AO = 4$ છે.
અહીં $O(0, 0)$ અને $A(0, 1)$ હોવાથી,$AO = 1$ થાય.
તેથી,$AP + OP = 4 - 1 = 3$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{h^2 + (k - 1)^2} + \sqrt{h^2 + k^2} = 3$.
$\sqrt{h^2 + (k - 1)^2} = 3 - \sqrt{h^2 + k^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$h^2 + k^2 - 2k + 1 = 9 + h^2 + k^2 - 6\sqrt{h^2 + k^2}$.
$-2k - 8 = -6\sqrt{h^2 + k^2}$.
$k + 4 = 3\sqrt{h^2 + k^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$k^2 + 8k + 16 = 9(h^2 + k^2)$.
$k^2 + 8k + 16 = 9h^2 + 9k^2$.
$9h^2 + 8k^2 - 8k - 16 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^2 + 8y^2 - 8y = 16$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ અને $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ થાય.
$\cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{4}{3}$ મળે.
$\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$ હોવાથી,$\cos(\alpha - \beta) = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$ મળે,તેથી $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5}{12}$ થાય.
હવે,$\tan(2\alpha) = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta))$.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(2\alpha) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{4}{3} \times \frac{5}{12})} = \frac{\frac{21}{12}}{\frac{16}{36}} = \frac{63}{16}$.

(C) ધારો કે $t = \sqrt{x}$,જ્યાં $t > 0$.
સમીકરણ $|t - 2| + t(t - 4) + 2 = 0$ બને છે.
$|t - 2| + t^2 - 4t + 2 = 0$.
આપણે $t^2 - 4t + 2$ ને $(t^2 - 4t + 4) - 2 = (t - 2)^2 - 2$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$|t - 2| + (t - 2)^2 - 2 = 0$.
ધારો કે $u = |t - 2|$,તો $u^2 + u - 2 = 0$.
$(u + 2)(u - 1) = 0$.
કારણ કે $u = |t - 2| \ge 0$,તેથી $u = 1$ મળે.
$|t - 2| = 1 \implies t - 2 = 1$ અથવા $t - 2 = -1$.
$t = 3$ અથવા $t = 1$.
$t = \sqrt{x}$ હોવાથી,$\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$ અને $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.
ઉકેલોનો સરવાળો $9 + 1 = 10$ થાય છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=0}^{20} (3r + 2) \cdot {}^{20}C_r$ છે.
$S = 3 \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_r + 2 \sum_{r=0}^{20} {}^{20}C_r$.
નિત્યસમ $r \cdot {}^{n}C_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 3 \sum_{r=1}^{20} 20 \cdot {}^{19}C_{r-1} + 2 \cdot 2^{20}$.
$S = 3 \cdot 20 \cdot \sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} + 2^{21}$.
કારણ કે $\sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} = 2^{19}$,તેથી:
$S = 60 \cdot 2^{19} + 2 \cdot 2^{20} = 30 \cdot 2^{20} + 2 \cdot 2^{20} = 32 \cdot 2^{20} = 2^5 \cdot 2^{20} = 2^{25}$.

(D) ધારો કે $7$ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 8$,તેથી $\sum_{i=1}^{7} x_i = 7 \times 8 = 56$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 16$,આપણે સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$16 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} x_i^2 - 8^2$.
$16 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} x_i^2 - 64 \Rightarrow \sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 7 \times 80 = 560$.
આપેલ $5$ અવલોકનો $2, 4, 10, 12, 14$ છે. ધારો કે બાકીના બે $x_6$ અને $x_7$ છે.
$5$ અવલોકનોનો સરવાળો: $2 + 4 + 10 + 12 + 14 = 42$.
$x_6 + x_7 = 56 - 42 = 14$.
$5$ અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો: $2^2 + 4^2 + 10^2 + 12^2 + 14^2 = 4 + 16 + 100 + 144 + 196 = 460$.
$x_6^2 + x_7^2 = 560 - 460 = 100$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_6 + x_7)^2 = x_6^2 + x_7^2 + 2x_6x_7$.
$14^2 = 100 + 2x_6x_7$.
$196 = 100 + 2x_6x_7$ $\Rightarrow 2x_6x_7 = 96$ $\Rightarrow x_6x_7 = 48$.

(B) વિધાન $p \to q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \to \sim p$ છે.
ધારો કે $p$: "તમે ભારતમાં જન્મ્યા છો."
ધારો કે $q$: "તમે ભારતના નાગરિક છો."
આપેલ વિધાન $p \to q$ છે.
તેથી,તેનું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \to \sim p$ એટલે કે "જો તમે ભારતના નાગરિક નથી,તો તમે ભારતમાં જન્મ્યા નથી" થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપણે એવી તમામ $n$ નો સરવાળો શોધવો છે કે જેથી $100 < n < 200$ અને $H.C.F. (91, n) > 1$ થાય.
$91 = 7 \times 13$ હોવાથી,$H.C.F. (91, n) > 1$ નો અર્થ એ છે કે $n$ એ $7$ અથવા $13$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે $S_A$ એ $100$ અને $200$ વચ્ચેની $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
આ સંખ્યાઓ $105, 112, \dots, 196$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 105$,$l = 196$,અને $d = 7$ છે.
પદોની સંખ્યા $k = \frac{196 - 105}{7} + 1 = 14$.
$S_A = \frac{14}{2} (105 + 196) = 7 \times 301 = 2107$.
ધારો કે $S_B$ એ $100$ અને $200$ વચ્ચેની $13$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
આ સંખ્યાઓ $104, 117, \dots, 195$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 104$,$l = 195$,અને $d = 13$ છે.
પદોની સંખ્યા $m = \frac{195 - 104}{13} + 1 = 8$.
$S_B = \frac{8}{2} (104 + 195) = 4 \times 299 = 1196$.
ધારો કે $S_C$ એ $100$ અને $200$ વચ્ચેની $7$ અને $13$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે $91$ વડે વિભાજ્ય).
એકમાત્ર સંખ્યા $182$ છે.
$S_C = 182$.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંત મુજબ,જરૂરી સરવાળો $S_A + S_B - S_C = 2107 + 1196 - 182 = 3121$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = (x + \sqrt{x^3 - 1})^6 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^6$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n + (a-b)^n = 2 \sum_{k=0, 2, 4, ...} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2 [ \binom{6}{0} x^6 + \binom{6}{2} x^4 (x^3 - 1) + \binom{6}{4} x^2 (x^3 - 1)^2 + \binom{6}{6} (x^3 - 1)^3 ]$
$f(x) = 2 [ x^9 + 15x^8 + 15x^7 - 2x^6 - 30x^5 - 15x^4 + 3x^3 + 15x^2 - 1 ]$
અહીં યુગ્મ ઘાતવાળા પદોના સહગુણકો $15, -2, -15, 15, -1$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $= 2 \times (15 - 2 - 15 + 15 - 1) = 2 \times 12 = 24$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(t, y)$ છે. બિંદુ રેખા $3x + 5y = 15$ પર હોવાથી,$3t + 5y = 15$,જે આપે છે $y = \frac{15 - 3t}{5}$.
બિંદુ યામ અક્ષોથી સમાન અંતરે હોવાથી,$|x| = |y|$,તેથી $|t| = |\frac{15 - 3t}{5}|$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{15 - 3t}{5} = t$ અથવા $\frac{15 - 3t}{5} = -t$.
કિસ્સો $1$: $15 - 3t = 5t$ $\Rightarrow 8t = 15$ $\Rightarrow t = \frac{15}{8}$. તેથી $y = \frac{15}{8}$. બિંદુ $P(\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$ એ $1^{st}$ ચરણમાં છે.
કિસ્સો $2$: $15 - 3t = -5t$ $\Rightarrow 2t = -15$ $\Rightarrow t = -\frac{15}{2}$. તેથી $y = \frac{15}{2}$. બિંદુ $P(-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$ એ $2^{nd}$ ચરણમાં છે.
આમ,બિંદુઓ $1^{st}$ અને $2^{nd}$ ચરણમાં આવેલા છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + y^2 = 8$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$8x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{y}$.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{4(1)}{2} = -2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{4a}{b}$ ધારો.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $(-2) \times (-\frac{4a}{b}) = -1$,જે આપે છે $\frac{8a}{b} = -1$,અથવા $b = -8a$.
બિંદુ $(a, b)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$4a^2 + b^2 = 8$.
$b = -8a$ મુકતા,$4a^2 + (-8a)^2 = 8$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4a^2 + 64a^2 = 8$ થાય.
આમ,$68a^2 = 8$,તેથી $a^2 = \frac{8}{68} = \frac{2}{17}$.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 4$ છે. કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x + y - n = 0$ નું અંતર $p = \frac{|0 + 0 - n|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{n}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવા અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે $p < r$ હોવું જોઈએ,તેથી $\frac{n}{\sqrt{2}} < 4$,જેનો અર્થ છે કે $n < 4\sqrt{2} \approx 5.65$. $n \in N$ હોવાથી,$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
જીવાની લંબાઈ $L = 2\sqrt{r^2 - p^2} = 2\sqrt{16 - \frac{n^2}{2}} = \sqrt{64 - 2n^2}$ છે.
લંબાઈનો વર્ગ $L^2 = 64 - 2n^2$ છે.
$n = 1$ માટે,$L^2 = 64 - 2(1) = 62$.
$n = 2$ માટે,$L^2 = 64 - 2(4) = 56$.
$n = 3$ માટે,$L^2 = 64 - 2(9) = 46$.
$n = 4$ માટે,$L^2 = 64 - 2(16) = 32$.
$n = 5$ માટે,$L^2 = 64 - 2(25) = 14$.
વર્ગોનો સરવાળો $62 + 56 + 46 + 32 + 14 = 210$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = e^{i\pi/6}$.
$(1 + iz + z^5 + iz^8)^9$ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$1 + iz + z^5 + iz^8 = 1 + e^{i\pi/2}e^{i\pi/6} + e^{i5\pi/6} + e^{i\pi/2}e^{i8\pi/6}$
$= 1 + e^{i2\pi/3} + e^{i5\pi/6} + e^{i11\pi/6}$
$= 1 + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2})$
$= \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$.
હવે,તેની $9$ ઘાત લેતા:
$(e^{i\pi/3})^9 = e^{i3\pi} = -1$.

(B) ટોટોલોજી એટલે એવું વિધાન જે તેના તમામ ઘટકોના સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સત્ય હોય.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસો: $(p \vee q) \to (p \vee (\sim q)) = \sim (p \vee q) \vee (p \vee \sim q) = p \vee \sim q$,જે ટોટોલોજી નથી.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $(p \vee q) \to p = \sim (p \vee q) \vee p = \sim q \vee p$,જે ટોટોલોજી નથી.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસો: $p \to (p \vee q) = \sim p \vee (p \vee q) = T$,જે ટોટોલોજી છે.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $(p \wedge q) \to ((\sim p) \vee q) = \sim (p \wedge q) \vee (\sim p \vee q) = T$,જે ટોટોલોજી છે.

(C) આપણે $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4321$ થી મોટી ચાર અંકની સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
કિસ્સો $1$: $5$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $5$ છે. બાકીના $3$ સ્થાનો $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$.
કિસ્સો $2$: $44$ અથવા $45$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $4$ છે. બીજો અંક $4$ અથવા $5$ ($2$ વિકલ્પો) છે. બાકીના $2$ સ્થાનો $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 2 \times 6 \times 6 = 72$.
કિસ્સો $3$: $43$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
પ્રથમ બે અંકો $43$ છે. ત્રીજો અંક $2$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ,એટલે કે $3, 4, 5$ ($3$ વિકલ્પો).
ચોથો અંક $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ હોઈ શકે છે.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 1 \times 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $4$: $432$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
પ્રથમ ત્રણ અંકો $432$ છે. ચોથો અંક $1$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ,એટલે કે $2, 3, 4, 5$ ($4$ વિકલ્પો).
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 1 \times 1 \times 4 = 4$.
કુલ સંખ્યા $= 216 + 72 + 18 + 4 = 310$.

(D) ધારો કે છઠ્ઠી કસોટીનો સ્કોર $x$ છે. છ કસોટીઓની સરેરાશ આ મુજબ છે:
$\frac{45 + 54 + 41 + 57 + 43 + x}{6} = 48$
$240 + x = 288$
$x = 48$
હવે,છ સ્કોર $41, 43, 45, 48, 54, 57$ છે.
વિચરણ $\sigma^2$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$
$\sigma^2 = \frac{41^2 + 43^2 + 45^2 + 48^2 + 54^2 + 57^2}{6} - 48^2$
$\sigma^2 = \frac{1681 + 1849 + 2025 + 2304 + 2916 + 3249}{6} - 2304$
$\sigma^2 = \frac{14024}{6} - 2304 = \frac{7012}{3} - \frac{6912}{3} = \frac{100}{3}$
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
ખૂણાઓ $A, B, C$ છે,જ્યાં $C = 2A$ અને $A < B < C$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ $A + B + C = 180^{\circ}$,તેથી $B = 180^{\circ} - 3A$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$2\sin B = \sin A + \sin C$.
$2\sin(180^{\circ} - 3A) = \sin A + \sin 2A$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$8\cos^2 A - 2\cos A - 3 = 0$ મળે છે.
જેથી $\cos A = \frac{3}{4}$ મળે.
બાજુઓનો ગુણોત્તર $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે નાભિ $(0, 5\sqrt{3})$ પર છે,તેથી ઉપવલય શિરોલંબ છે અને મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે. તેથી,$b > a$.
નાભિ $(0, be) = (0, 5\sqrt{3})$ છે,તેથી $be = 5\sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$b^2e^2 = 75$.
ઉપવલય માટે,$a^2 = b^2(1 - e^2) = b^2 - b^2e^2$,તેથી $b^2 - a^2 = 75$.
આપણને આપેલ છે કે મુખ્ય અક્ષ $(2b)$ અને ગૌણ અક્ષ $(2a)$ ની લંબાઈનો તફાવત $10$ છે:
$2b - 2a = 10 \Rightarrow b - a = 5$.
નિત્યસમ $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = 75$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5(b + a) = 75 \Rightarrow b + a = 15$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$b - a = 5$
$b + a = 15$
સરવાળો કરતા $2b = 20 \Rightarrow b = 10$.
બાદબાકી કરતા $2a = 10 \Rightarrow a = 5$.
શિરોલંબ ઉપવલય માટે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ છે.
$LR = \frac{2(5^2)}{10} = \frac{2 \times 25}{10} = \frac{50}{10} = 5$.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2} = 1 \dots (i)$.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = 2$ છે,તેથી $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow 4 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow b^2 = 3a^2 \dots (ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$\frac{16}{a^2} - \frac{36}{3a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{16 - 12}{a^2} = 1$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
તેથી $b^2 = 3(4) = 12$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (4, 6)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$\frac{4x}{4} - \frac{6y}{12} = 1$ $\Rightarrow x - \frac{y}{2} = 1$ $\Rightarrow 2x - y = 2$ $\Rightarrow 2x - y - 2 = 0$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (1 + m^2)$,$b = -2(1 + 3m)$,અને $c = (1 + 8m)$.
$D = b^2 - 4ac = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + m^2)(1 + 8m) < 0$.
$D = 4(1 + 9m^2 + 6m) - 4(1 + 8m + m^2 + 8m^3) < 0$.
$D = 4(-8m^3 + 8m^2 - 2m) < 0$.
$D = -8m(2m - 1)^2 < 0$.
કારણ કે $(2m - 1)^2 \ge 0$,તેથી $D < 0$ માટે $-8m < 0$ અને $2m - 1 \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $m > 0$ અને $m \neq \frac{1}{2}$.
આમ,$m > 0$ માટે અનંત પૂર્ણાંક કિંમતો મળે છે.

(A) ધારો કે $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{20}{{{2^{20}}}}$
$\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + \dots + \frac{19}{{{2^{20}}}} + \frac{20}{{{2^{21}}}}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\frac{1}{2}S = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \dots + \frac{1}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{20}{{{2^{21}}}}$
કૌંસમાં રહેલ પદ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે:
$\frac{1}{2}S = (1 - \frac{1}{{{2^{20}}}}) - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{2}{{{2^{21}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{22}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{11}{{{2^{20}}}}$
તેથી,$S = 2 - \frac{11}{{{2^{19}}}}$

(D) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે. બિંદુ $P$ એ $(\sqrt{3}, 1)$ છે.
$P$ આગળનો અભિલંબ એ $O(0, 0)$ અને $P(\sqrt{3}, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે. તેનું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અથવા $x - \sqrt{3}y = 0$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ને $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળનો સ્પર્શક $xx_1 + yy_1 = r^2$ મુજબ $\sqrt{3}x + y = 4$ થાય છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને બિંદુ $Q$ પર છેદે છે. સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$\sqrt{3}x = 4$ મળે,તેથી $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$. આમ,$Q = (\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$.
ત્રિકોણ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$,બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ અને બિંદુ $Q(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
પાયો $OQ = \frac{4}{\sqrt{3}}$ અને વેધ ($P$ નો $y$-યામ) $= 1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણો $y^2 = 4x$ અને $x^2 + y^2 = 5$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2 = 4x$ મૂકતા: $x^2 + 4x = 5$.
$x^2 + 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x + 5)(x - 1) = 0$.
છેદબિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x = 1$.
$x = 1$ માટે,$y^2 = 4(1) = 4$,તેથી $y = 2$ (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $y > 0$ છે).
છેદબિંદુ $P(1, 2)$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2(x + x_1)$ છે.
$(1, 2)$ મૂકતા: $2y = 2(x + 1) \Rightarrow y = x + 1$.
વિકલ્પો તપાસતા,$x = \frac{3}{4}$ માટે,$y = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.
આમ,સ્પર્શક $\left( \frac{3}{4}, \frac{7}{4} \right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) ધારો કે બે થાંભલા $AB = 20 \ m$ અને $CD = 80 \ m$ છે જે સમક્ષિતિજ સમતલ પર $x$ અંતરે આવેલા છે.
ધારો કે બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $P$ છે અને તેની જમીનથી ઊંચાઈ $h$ છે.
સમાન ત્રિકોણોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h}{y} = \frac{20}{x}$ અને $\frac{h}{x-y} = \frac{80}{x}$.
આ સમીકરણો પરથી,$\frac{y}{h} = \frac{x}{20}$ અને $\frac{x-y}{h} = \frac{x}{80}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $\frac{y + x - y}{h} = \frac{x}{20} + \frac{x}{80}$.
$\frac{x}{h} = x \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{80} \right) \implies \frac{1}{h} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$h = 16 \ m$.

(D) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n$ માં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ છે.
અહીં $n=6$,$a = x^{-\frac{1}{2}(1+\log_{10} x)}$,અને $b = x^{\frac{1}{12}}$ છે.
ચોથું પદ $(T_4)$ માટે $r=3$ લેતા:
$T_4 = ^6C_3 \cdot (x^{-\frac{1}{2}(1+\log_{10} x)})^3 \cdot (x^{\frac{1}{12}})^3 = 200$.
$20 \cdot x^{-\frac{3}{2}(1+\log_{10} x)} \cdot x^{\frac{1}{4}} = 200$.
$x^{-\frac{3}{2}(1+\log_{10} x) + \frac{1}{4}} = 10$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા,ધારો કે $t = \log_{10} x$:
$-\frac{3}{2}(1+t)t + \frac{1}{4} = 1$.
$-6t^2 - 6t - 3 = 0 \Rightarrow 2t^2 + 2t + 1 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 2^2 - 4(2)(1) = -4 < 0$ છે.
તેથી,$x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત શક્ય નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) કારણ કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$ થાય.
સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ને $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આ સમીકરણનું બીજ $x = -\frac{b}{a}$ છે.
આ બીજ $dx^2 + 2ex + f = 0$ માટે પણ સામાન્ય હોવાથી,$x = -\frac{b}{a}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$d(-\frac{b}{a})^2 + 2e(-\frac{b}{a}) + f = 0$
$d(\frac{b^2}{a^2}) - \frac{2eb}{a} + f = 0$
$a^2$ વડે ગુણતા,$db^2 - 2eab + fa^2 = 0$ મળે.
$b^2 = ac$ મૂકતા,$dac - 2eab + fa^2 = 0$ મળે.
આખા સમીકરણને $ac$ વડે ભાગતા,$\frac{d}{a} - \frac{2e}{b} + \frac{f}{c} = 0$ મળે,જે દર્શાવે છે કે $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2(\frac{e}{b})$.
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે $p, q \in \mathbb{Q}$ અને $2 - \sqrt{3}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ નું એક બીજ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,અસંમેય બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
તેથી,બીજું બીજ $2 + \sqrt{3}$ થશે.
બીજનો સરવાળો $= (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $= -p$.
તેથી,$-p = 4 \implies p = -4$.
બીજનો ગુણાકાર $= (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
સમીકરણ પરથી,બીજનો ગુણાકાર $= q$.
તેથી,$q = 1$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$p^2 - 4q - 12 = (-4)^2 - 4(1) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n$ માં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ છે.
અહીં $n=6$,$a = \frac{2}{x}$,અને $b = x^{\log_8 x}$ છે.
ચોથું પદ $T_4 = T_{3+1} = \binom{6}{3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 \left( x^{\log_8 x} \right)^3 = 20 \cdot \frac{8}{x^3} \cdot x^{3 \log_8 x} = 160 \cdot x^{3 \log_8 x - 3}$.
આપેલ છે કે $T_4 = 20 \times 8^7$,તેથી $160 \cdot x^{3 \log_8 x - 3} = 20 \cdot 8^7$.
$8 \cdot x^{3 \log_8 x - 3} = 8^7 \Rightarrow x^{3 \log_8 x - 3} = 8^6$.
બંને બાજુ $\log_8$ લેતા: $(3 \log_8 x - 3) \log_8 x = 6$.
ધારો કે $t = \log_8 x$. તેથી $(3t - 3)t = 6 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0$.
$(t-2)(t+1) = 0$,તેથી $t=2$ અથવા $t=-1$.
જો $t=2$,તો $x = 8^2 = 64$.
જો $t=-1$,તો $x = 8^{-1} = 1/8$.

(C) આપણે પદાવલિ $p \vee (\sim p \wedge q)$ નું નિષેધ શોધવાનું છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim (p \vee (\sim p \wedge q))$
$= \sim p \wedge \sim (\sim p \wedge q)$
$= \sim p \wedge (p \vee \sim q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p \wedge p) \vee (\sim p \wedge \sim q)$
કારણ કે $(\sim p \wedge p)$ એ વિરોધાભાસ $(c)$ છે:
$= c \vee (\sim p \wedge \sim q)$
$= \sim p \wedge \sim q$

(D) આપેલ પદાવલિ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^{2n} {\frac{n}{{{n^2} + {r^2}}}}$ છે.
આપણે સામાન્ય પદને $\frac{n}{n^2(1 + (r/n)^2)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (r/n)^2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r=1}^{kn} \frac{1}{n} f(\frac{r}{n}) = \int_0^k f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ અને ઉપલી સીમા $2$ છે (કારણ કે $r$ એ $2n$ સુધી જાય છે).
તેથી,સંકલન $\int_0^2 \frac{1}{1+x^2} dx$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $[\tan^{-1}(x)]_0^2 = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(0) = \tan^{-1}(2)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $w$ એ $5$ અથવા $6$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $w = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $L$ એ $1, 2, 3, \text{ અથવા } 4$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $L = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
રમત ત્યારે અટકે છે જો તેને $5$ કે $6$ મળે અથવા $3$ પ્રયત્નો પૂરા થાય.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ પ્રયત્ને જીતે: સંભાવના $= w = \frac{1}{3}$,નફો $= 100$.
કિસ્સો $2$: બીજા પ્રયત્ને જીતે: સંભાવના $= L \times w = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$,નફો $= -50 + 100 = 50$.
કિસ્સો $3$: ત્રીજા પ્રયત્ને જીતે: સંભાવના $= L^2 \times w = (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$,નફો $= -50 - 50 + 100 = 0$.
કિસ્સો $4$: ત્રણેય પ્રયત્નોમાં હારે: સંભાવના $= L^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$,નફો $= -50 - 50 - 50 = -150$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $= (\frac{1}{3} \times 100) + (\frac{2}{9} \times 50) + (\frac{4}{27} \times 0) + (\frac{8}{27} \times -150) = \frac{100}{3} + \frac{100}{9} + 0 - \frac{1200}{27} = 0$.

(B) આપેલ વક્ર $y = x^2 - 5x + 5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x - 5$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ રેખા $2y = 4x + 1$ છે,જેને $y = 2x + \frac{1}{2}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $2$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોય: $2x - 5 = 2 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}$.
$x = \frac{7}{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = \left( \frac{7}{2} \right)^2 - 5\left( \frac{7}{2} \right) + 5 = \frac{49}{4} - \frac{35}{2} + 5 = \frac{49 - 70 + 20}{4} = -\frac{1}{4}$.
સ્પર્શબિંદુ $\left( \frac{7}{2}, -\frac{1}{4} \right)$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જ્યાં $m = 2$: $y - (-\frac{1}{4}) = 2(x - \frac{7}{2}) \implies y + \frac{1}{4} = 2x - 7 \implies y = 2x - \frac{29}{4}$.
હવે,કયું બિંદુ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે તે તપાસીએ. વિકલ્પ $B$ માટે: $x = \frac{1}{8}$,$y = 2(\frac{1}{8}) - \frac{29}{4} = \frac{1}{4} - \frac{29}{4} = -\frac{28}{4} = -7$.
આમ,સ્પર્શક બિંદુ $\left( \frac{1}{8}, -7 \right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1)$,$C(1, 1, -\lambda^2)$ અને $D(-1, -1, 1)$ છે.
સમતલ આ ચારેય બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેઓ એક જ સમતલમાં (coplanar) હોવા જોઈએ.
ચાર બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$ અને $(x_4, y_4, z_4)$ એક જ સમતલમાં હોવાની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4 \end{vmatrix} = 0$
યામો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -\lambda^2+1 & 1+1 & 1-1 \\ 1+1 & -\lambda^2+1 & 1-1 \\ 1+1 & 1+1 & -\lambda^2-1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 1-\lambda^2 & 2 & 0 \\ 2 & 1-\lambda^2 & 0 \\ 2 & 2 & -(\lambda^2+1) \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$-(\lambda^2+1) \cdot [(1-\lambda^2)^2 - 4] = 0$
$-(\lambda^2+1) \cdot (1-\lambda^2-2)(1-\lambda^2+2) = 0$
$-(\lambda^2+1) \cdot (-1-\lambda^2)(3-\lambda^2) = 0$
$(\lambda^2+1)^2 (3-\lambda^2) = 0$
$\lambda$ વાસ્તવિક હોવાથી,$\lambda^2+1 \neq 0$. તેથી,$3-\lambda^2 = 0$,જે $\lambda^2 = 3$ આપે છે.
આમ,$\lambda = \pm \sqrt{3}$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારના આધારે વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(1 + \sin^2 \theta) - \sin \theta(-\sin \theta + \sin \theta) + 1(\sin^2 \theta + 1)$
$|A| = 1 + \sin^2 \theta - 0 + \sin^2 \theta + 1 = 2 + 2\sin^2 \theta = 2(1 + \sin^2 \theta)$
આપેલ છે કે $\theta \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$,તેથી $\sin \theta$ ની કિંમત $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ થી $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ની વચ્ચે છે.
ચોક્કસ રીતે,$-\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,આપણને મળે $0 \le \sin^2 \theta < \frac{1}{2}$.
હવે,આ કિંમત $|A|$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|A| = 2(1 + \sin^2 \theta)$
કારણ કે $0 \le \sin^2 \theta < 0.5$,તેથી $1 \le 1 + \sin^2 \theta < 1.5$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $2 \le 2(1 + \sin^2 \theta) < 3$.
આમ,$\det(A) \in [2, 3)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $[2, 3)$ એ $(1.5, 3)$ માં સમાવિષ્ટ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$(1 - \lambda)x - 2y - 2z = 0$
$x + (2 - \lambda)y + z = 0$
$-x - y - \lambda z = 0$
સિસ્ટમ શૂન્યતર ઉકેલો ધરાવે તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & -2 & -2 \\ 1 & 2 - \lambda & 1 \\ -1 & -1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1 - \lambda) [(2 - \lambda)(-\lambda) - (-1)(1)] - (-2) [1(-\lambda) - (-1)(1)] + (-2) [1(-1) - (-1)(2 - \lambda)] = 0$
$(1 - \lambda) [-2\lambda + \lambda^2 + 1] + 2 [-\lambda + 1] - 2 [-1 + 2 - \lambda] = 0$
$(1 - \lambda)(\lambda - 1)^2 + 2(1 - \lambda) - 2(1 - \lambda) = 0$
$-(\lambda - 1)^3 = 0$
$\lambda = 1$
આમ,$\lambda$ માટે માત્ર એક જ મૂલ્ય હોવાથી,તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ એક સિંગલટન સેટ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + 7$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 3x^2 - 6(a - 2)x + 3a$ મળે.
વિધેય $f(x)$ એ $(0, 1]$ માં વધતું અને $[1, 5)$ માં ઘટતું હોવાથી,$x = 1$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય મળે.
તેથી,$f'(1) = 0$.
$f'(1) = 3(1)^2 - 6(a - 2)(1) + 3a = 3 - 6a + 12 + 3a = 15 - 3a = 0$.
આથી $a = 5$ મળે.
$a = 5$ ને $f(x)$ માં મૂકતા,$f(x) = x^3 - 3(5 - 2)x^2 + 3(5)x + 7 = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ મળે.
આપણે $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ ઉકેલવાનું છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) - 14 = 0$ ($x \neq 1$ માટે).
$x^3 - 9x^2 + 15x + 7 - 14 = x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$.
$x = 1$ એ $f(x) - 14 = 0$ નું બીજ હોવાથી,આપણે $(x - 1)^2$ વડે ભાગાકાર કરી શકીએ:
$x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = (x - 1)^2(x - 7) = 0$.
તેથી,સમીકરણ $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ નું બીજ $x = 7$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ નો સદિશ $\vec{n}$ પરના પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ છે.
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (3)(-2) + (1)(1) = 2 - 6 + 1 = -3$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(C) આપણે $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંશ અને છેદને $2 \cos \frac{x}{2}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx$
સૂત્ર $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin(3x) + \sin(2x)}{\sin x} dx$
$\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ અને $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{3 \sin x - 4 \sin^3 x + 2 \sin x \cos x}{\sin x} dx$
$I = \int (3 - 4 \sin^2 x + 2 \cos x) dx$
$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (3 - 2(1 - \cos 2x) + 2 \cos x) dx$
$I = \int (1 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = x + \sin 2x + 2 \sin x + c$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\alpha) & -\sin(n\alpha) \\ \sin(n\alpha) & \cos(n\alpha) \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{32} = \begin{bmatrix} \cos(32\alpha) & -\sin(32\alpha) \\ \sin(32\alpha) & \cos(32\alpha) \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $A^{32} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\cos(32\alpha) = 0$ અને $\sin(32\alpha) = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $32\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$n=0$ માટે,$32\alpha = \frac{\pi}{2}$,જે આપણને $\alpha = \frac{\pi}{64}$ આપે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$.
વિધેયમાં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{2x}{1+x^2}$ મૂકતા:
$f\left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \log_e \left( \frac{1 - \frac{2x}{1+x^2}}{1 + \frac{2x}{1+x^2}} \right)$
$= \log_e \left( \frac{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}} \right)$
$= \log_e \left( \frac{1+x^2-2x}{1+x^2+2x} \right)$
$= \log_e \left( \frac{(1-x)^2}{(1+x)^2} \right)$
$= \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^2$
$= 2 \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$
$= 2f(x)$.

(A) આપેલ છે કે $2y = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 \cos x + \sin x}}{{\cos x - \sqrt 3 \sin x}}} \right)} \right)^2}$.
કૌંસની અંદર અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x}}{{\frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x}} = \frac{{\sin(x + \frac{\pi }{3})}}{{\cos(x + \frac{\pi }{3})}} = \tan(x + \frac{\pi }{3})$.
તેથી,$2y = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}(\tan(x + \frac{\pi }{3}))} \right)^2}$.
${{\cot }^{ - 1}}(\tan \theta ) = \frac{\pi }{2} - \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2y = {\left( {\frac{\pi }{2} - (x + \frac{\pi }{3})} \right)^2} = {\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2\frac{{dy}}{{dx}} = 2(\frac{\pi }{6} - x) \cdot (-1)$.
$\frac{{dy}}{{dx}} = -(\frac{\pi }{6} - x) = x - \frac{\pi }{6}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ છે.
$(x^2 + 1)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ અને $Q(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx} = e^{\ln(x^2 + 1)} = x^2 + 1$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y(x^2 + 1) = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot (x^2 + 1) dx + C = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx + C$.
$y(x^2 + 1) = \tan^{-1}(x) + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0(0^2 + 1) = \tan^{-1}(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
તેથી,$y(x) = \frac{\tan^{-1}(x)}{x^2 + 1}$.
આપણને $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ આપેલ છે.
$y(1) = \frac{\tan^{-1}(1)}{1^2 + 1} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{a} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{32}$.
$\sqrt{a} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$a = (1/4)^2 = 1/16$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$.
અહીં $f(-x) = \frac{2 - (-x) \cos(-x)}{2 + (-x) \cos(-x)} = \frac{2 + x \cos x}{2 - x \cos x} = \frac{1}{f(x)}$ છે.
તેથી,$g(f(-x)) = \ln(f(-x)) = \ln(1/f(x)) = -\ln(f(x)) = -g(f(x))$.
આમ,$g(f(x))$ એ અયુગ્મ વિધેય (odd function) છે.
કોઈપણ અયુગ્મ વિધેય $h(x)$ માટે,$\int_{-a}^{a} h(x) dx = 0$ થાય છે.
તેથી,$I = 0$.
કારણ કે $\ln 1 = 0$,તેથી સાચો વિકલ્પ $\ln 1$ છે.

(B) પ્રદેશ $0 \le x \le 3$,$0 \le y \le 4$,અને $y \le x^2 + 3x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પ્રથમ,$y = x^2 + 3x$ અને $y = 4$ નું છેદબિંદુ શોધો:
$x^2 + 3x = 4 \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0$.
$x \ge 0$ હોવાથી,છેદબિંદુ $x = 1$ છે.
$0 \le x \le 1$ માટે,પ્રદેશ $y = x^2 + 3x$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A_1 = \int_0^1 (x^2 + 3x) dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2+9}{6} = \frac{11}{6}$.
$1 \le x \le 3$ માટે,પ્રદેશ $y = 4$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A_2 = \int_1^3 4 dx = [4x]_1^3 = 4(3-1) = 8$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $A_1 + A_2 = \frac{11}{6} + 8 = \frac{11+48}{6} = \frac{59}{6}$.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x + 3}{10} = \frac{y - 2}{-7} = \frac{z}{1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M$ એ $(10\lambda - 3, -7\lambda + 2, \lambda)$ સ્વરૂપમાં છે.
સદિશ $\vec{PM} = (10\lambda - 3 - 2, -7\lambda + 2 - (-1), \lambda - 4) = (10\lambda - 5, -7\lambda + 3, \lambda - 4)$.
કારણ કે $\vec{PM}$ એ રેખા $(10, -7, 1)$ ના દિશા ગુણોત્તરોને લંબ છે,તેથી:
$10(10\lambda - 5) - 7(-7\lambda + 3) + 1(\lambda - 4) = 0$
$100\lambda - 50 + 49\lambda - 21 + \lambda - 4 = 0$
$150\lambda - 75 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$M$ ના યામ $(2, -1.5, 0.5)$ મળે છે.
લંબની લંબાઈ $PM = \sqrt{(2-2)^2 + (-1.5 - (-1))^2 + (0.5 - 4)^2}$
$= \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{0.25 + 12.25} = \sqrt{12.5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,$\frac{5}{1.414} \approx 3.535$.
આ કિંમત $3$ કરતા વધારે અને $4$ કરતા ઓછી છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 9x^4 + 12x^3 - 36x^2 + 25$ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને મહત્તમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 36x^3 + 36x^2 - 72x$
$f'(x) = 0$ લેતા:
$36x(x^2 + x - 2) = 0$
$36x(x - 1)(x + 2) = 0$
તેથી,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2, 0, 1$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા $f''(x) = 108x^2 + 72x - 72$:
$x = -2$ માટે: $f''(-2) = 108(4) + 72(-2) - 72 = 216 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = 0$ માટે: $f''(0) = -72 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 108 + 72 - 72 = 108 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
આમ,સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓનો ગણ $S_1 = \{-2, 1\}$ અને સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓનો ગણ $S_2 = \{0\}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\cos \alpha = \frac{3}{5}$. $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ હોવાથી,$\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ મળે.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ થાય.
આપણને $\tan \beta = \frac{1}{3}$ આપેલ છે.
સૂત્ર $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}{1 + (\frac{4}{3})(\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{4}{9}} = \frac{1}{\frac{13}{9}} = \frac{9}{13}$.
હવે,જો $\tan(\alpha - \beta) = \frac{9}{13}$ હોય,તો $\sin(\alpha - \beta) = \frac{9}{\sqrt{9^2 + 13^2}} = \frac{9}{\sqrt{81 + 169}} = \frac{9}{\sqrt{250}} = \frac{9}{5\sqrt{10}}$ થાય.
તેથી,$\alpha - \beta = \sin^{-1}\left(\frac{9}{5\sqrt{10}}\right)$ મળે.

(D) સમતલો $P_1: 2x - y - 4 = 0$ અને $P_2: y + 2z - 4 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$
આ સમતલ બિંદુ $(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે $x = 1, y = 1, z = 0$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2(1) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(2 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-3 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2x - y - 4) - 1(y + 2z - 4) = 0$
$2x - y - 4 - y - 2z + 4 = 0$
$2x - 2y - 2z = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y - z = 0$ મળે છે.

(B) સુરેખ સમીકરણ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ $(D = 0)$.
સમીકરણો:
$x - cy - cz = 0$
$cx - y + cz = 0$
$cx + cy - z = 0$
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -c & -c \\ c & -1 & c \\ c & c & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - (c)(c)) - (-c)((c)(-1) - (c)(c)) + (-c)((c)(c) - (-1)(c)) = 0$
$1(1 - c^2) + c(-c - c^2) - c(c^2 + c) = 0$
$1 - c^2 - c^2 - c^3 - c^3 - c^2 = 0$
$-2c^3 - 3c^2 + 1 = 0$
$2c^3 + 3c^2 - 1 = 0$
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(c + 1)^2(2c - 1) = 0$
તેથી,ઉકેલો $c = -1$ (પુનરાવર્તિત) અને $c = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$c$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ એટલે કે $0.5$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\phi(x) = f(x) + f(2 - x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x)$ મળે છે.
તમામ $x \in (0, 2)$ માટે $f''(x) > 0$ હોવાથી,વિકલિત $f'(x)$ એ $(0, 2)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
કિસ્સો $I$: જો $x > 1$ હોય,તો $x > 2 - x$ થાય. $f'(x)$ ચુસ્ત વધતું હોવાથી,$f'(x) > f'(2 - x)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x) > 0$. આમ,$\phi(x)$ એ $(1, 2)$ પર વધતું વિધેય છે.
કિસ્સો $II$: જો $x < 1$ હોય,તો $x < 2 - x$ થાય. $f'(x)$ ચુસ્ત વધતું હોવાથી,$f'(x) < f'(2 - x)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x) < 0$. આમ,$\phi(x)$ એ $(0, 1)$ પર ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,$\phi(x)$ એ $(0, 1)$ પર ઘટતું અને $(1, 2)$ પર વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $A \subset B$,તેથી $A \cap B = A$ થાય.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
$A \cap B = A$ મૂકતા,આપણને $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ મળે છે.
$A \subset B$ હોવાથી,$P(B) \le 1$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{P(B)} \ge 1$ થાય.
બંને બાજુ $P(A)$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{P(A)}{P(B)} \ge P(A)$ મળે છે.
આમ,$P(A|B) \ge P(A)$ સાચું છે.

(C) પ્રદેશ $S(\alpha)$ એ પરવલય $y^2 = x$ અને શિરોલંબ રેખા $x = \alpha$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A(\alpha)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{\alpha} = \frac{4}{3} \alpha^{3/2}$.
આપેલ ગુણોત્તર $A(\lambda) : A(4) = 2 : 5$ પરથી:
$\frac{\frac{4}{3} \lambda^{3/2}}{\frac{4}{3} 4^{3/2}} = \frac{2}{5}$
$\frac{\lambda^{3/2}}{8} = \frac{2}{5}$
$\lambda^{3/2} = \frac{16}{5}$
$\lambda = \left( \frac{16}{5} \right)^{2/3} = \left( \frac{16^2}{5^2} \right)^{1/3} = \left( \frac{256}{25} \right)^{1/3} = 4 \left( \frac{4}{25} \right)^{1/3}$.
આમ,$\lambda = 4\left(\frac{4}{25}\right)^{1/3}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{0}^{x} g(t) dt$. કારણ કે $g(t)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = \int_{0}^{-x} g(t) dt$. $t = -u$ લેતા,$dt = -du$. તેથી $f(-x) = \int_{0}^{x} g(-u) (-du) = -\int_{0}^{x} g(u) du = -f(x)$.
આપેલ છે કે $f(x+5) = g(x)$. કારણ કે $g(x)$ યુગ્મ છે,$g(x) = g(-x)$,તેથી $f(x+5) = g(-x)$.
વધુમાં,$f$ અયુગ્મ હોવાથી,$f(x+5) = -f(-x-5)$.
આપણે $I = \int_{0}^{x} f(t) dt$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$f(x+5) = g(x)$ પરથી,આપણી પાસે $g(t) = f(t+5)$ છે.
$g$ યુગ્મ હોવાથી,$g(t) = g(-t)$,તેથી $f(t+5) = f(-t+5)$.
વિકલનનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = g(x)$.
$f(x+5) = g(x)$ નું $0$ થી $x$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{x} f(t+5) dt = \int_{0}^{x} g(t) dt = f(x)$.
$u = t+5$ લેતા,$du = dt$. જ્યારે $t=0, u=5$; જ્યારે $t=x, u=x+5$.
તેથી,$\int_{5}^{x+5} f(u) du = f(x)$.
આમ,$\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{x+5}^{5} g(t) dt$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વિધેય $f(x)$ ને યુગ્મ વિધેય $f_1(x)$ અને અયુગ્મ વિધેય $f_2(x)$ ના સરવાળા તરીકે નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$f_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$
$f_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{a^x - a^{-x}}{2}$
હવે,આપણે $f_1(x + y) + f_1(x - y)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f_1(x + y) + f_1(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
$= \frac{1}{2} [a^x a^y + a^{-x} a^{-y} + a^x a^{-y} + a^{-x} a^y]$
$= \frac{1}{2} [a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})]$
$= \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})$
$= 2 \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$
$= 2 f_1(x) f_1(y)$

(A) આપણે વિવિધ અંતરાલોમાં વિધેય $f(x)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$x \in [-1, 0)$ માટે,$|x| = -x$ અને $[x] = -1$,તેથી $f(x) = -x - 1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$|x| = x$ અને $[x] = 0$,તેથી $f(x) = x + 0 = x$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$|x| = x$,તેથી $f(x) = x + x = 2x$.
$x \in [2, 3]$ માટે,$|x| = x$,તેથી $f(x) = x + x = 2x$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} -x-1, & -1 \leq x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2x, & 1 \leq x \leq 3 \end{cases}$.
$x=0$ પર સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ અને $f(0) = 0$. $-1 \neq 0$ હોવાથી,$f$ એ $x=0$ પર અસતત છે.
$x=1$ પર સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ અને $f(1) = 2(1) = 2$. $1 \neq 2$ હોવાથી,$f$ એ $x=1$ પર અસતત છે.
$x=2$ પર સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) = 4$ અને $f(2) = 2(2) = 4$. લક્ષ અને વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવાથી,$f$ એ $x=2$ પર સતત છે.
તેથી,$f$ માત્ર બે બિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ પર અસતત છે.

(A) ધારો કે $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા,વિકલન:
$\frac{dy}{dx} = f'(f(f(x))) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(x) + 2f(x) \cdot f'(x)$.
$x = 1$ આગળ,આપણી પાસે $f(1) = 1$ અને $f'(1) = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = f'(f(f(1))) \cdot f'(f(1)) \cdot f'(1) + 2f(1) \cdot f'(1)$.
$f(1) = 1$ હોવાથી,આ પદ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{dy}{dx} = f'(f(1)) \cdot f'(1) \cdot f'(1) + 2(1)(3)$.
$\frac{dy}{dx} = f'(1) \cdot 3 \cdot 3 + 6$.
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.

(C) $P(2, -3, 4)$ અને $Q(8, 0, 10)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{8-2} = \frac{y-(-3)}{0-(-3)} = \frac{z-4}{10-4}$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$ મળે છે.
બિંદુ $R(4, y, z)$ આ રેખા પર હોવાથી,આપણે $x=4$ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{4-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$.
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$.
$\frac{1}{3} = \frac{y+3}{3}$ પરથી $y+3 = 1$ મળે,તેથી $y = -2$.
$\frac{1}{3} = \frac{z-4}{6}$ પરથી $z-4 = 2$ મળે,તેથી $z = 6$.
આમ,$R$ ના યામ $(4, -2, 6)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $R(4, -2, 6)$ નું અંતર $\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ થાય.

(B) સમીકરણ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & k \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -k \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-k + 1) - (-2)(-2k - 3) + k(-2 - 3) = 0$
$-k + 1 + 2(-2k - 3) - 5k = 0$
$-k + 1 - 4k - 6 - 5k = 0$
$-10k - 5 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$
$k = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x - 2y - \frac{1}{2}z = 1 \Rightarrow 2x - 4y - z = 2$ $(1)$
$2x + y + z = 2$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2x - 4y - z) + (2x + y + z) = 2 + 2$
$4x - 3y = 4$
આમ,$(x, y)$ એ $4x - 3y - 4 = 0$ રેખા પર આવેલું છે.

(C) સમતલો $P_1: x + y + z - 1 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y + 4z - 5 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + 4z - 5) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + 4\lambda)z - (1 + 5\lambda) = 0$.
આ સમતલ $x - y + z = 0$ ને લંબ છે. બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ લંબ હોવાની શરત $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ છે.
તેથી,$(1 + 2\lambda)(1) + (1 + 3\lambda)(-1) + (1 + 4\lambda)(1) = 0$.
$1 + 2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 + 4(-\frac{1}{3}))z - (1 + 5(-\frac{1}{3})) = 0$.
$\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $x - z + 2 = 0$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ છે.

(C) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,$n$ વખત ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે (બધી કાંટા મળે) તેની સંભાવના $(\frac{1}{2})^n$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $P(\text{at least one head}) \ge 90\%$,જેનો અર્થ છે $1 - (\frac{1}{2})^n \ge 0.9$.
$1 - 0.9 \ge (\frac{1}{2})^n$
$0.1 \ge \frac{1}{2^n}$
$\frac{1}{10} \ge \frac{1}{2^n}$
$2^n \ge 10$.
$n=3$ માટે,$2^3 = 8 < 10$.
$n=4$ માટે,$2^4 = 16 \ge 10$.
આમ,જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $4$ છે.

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & x \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + x) - \hat{j}(3 - x) + \hat{k}(-3 - 2) = (x + 2)\hat{i} + (x - 3)\hat{j} - 5\hat{k}$.
હવે,તેનું માન $r = |\vec{a} \times \vec{b}|$ શોધો:
$r^2 = (x + 2)^2 + (x - 3)^2 + (-5)^2$
$r^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) + 25$
$r^2 = 2x^2 - 2x + 38 = 2(x^2 - x + 19)$.
કૌંસમાં રહેલા પદ માટે પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરો:
$r^2 = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + 19 - \frac{1}{4}\right) = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{4}\right) = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{2}$.
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$,તેથી $r^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{75}{2}$ છે.
તેથી,$r^2 \geq \frac{75}{2} \implies r \geq \sqrt{\frac{75}{2}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.
આમ,શરત $r \geq 5\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(C) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R=3$ છે. ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોળા અને નળાકારની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $r^2 + (h/2)^2 = R^2 = 3^2 = 9$ છે.
તેથી,$r^2 = 9 - \frac{h^2}{4}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi (9 - \frac{h^2}{4}) h = \pi (9h - \frac{h^3}{4})$ છે.
ઘનફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dV}{dh} = \pi (9 - \frac{3h^2}{4}) = 0$.
$9 = \frac{3h^2}{4} \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
આમ,મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા નળાકારની ઊંચાઈ $2\sqrt{3}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $2, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી આપણે $b = 2 + d$ અને $c = 2 + 2d$ લખી શકીએ,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & b & c \\ 4 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & b-2 & c-2 \\ 4 & b^2-4 & c^2-4 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\det(A) = (b-2)(c^2-4) - (c-2)(b^2-4)$
$= (b-2)(c-2)(c+2) - (c-2)(b-2)(b+2)$
$= (b-2)(c-2)(c+2 - b - 2) = (b-2)(c-2)(c-b)$
$b = 2+d$ અને $c = 2+2d$ મૂકતા:
$\det(A) = (d)(2d)(2d - d) = (d)(2d)(d) = 2d^3$
આપેલ છે કે $\det(A) \in [2, 16]$,તેથી $2 \le 2d^3 \le 16$,જેનો અર્થ છે $1 \le d^3 \le 8$,તેથી $1 \le d \le 2$.
કારણ કે $c = 2 + 2d$,તેથી $2(1) + 2 \le c \le 2(2) + 2$,જે $4 \le c \le 6$ આપે છે.
આમ,$c \in [4, 6]$.

(B) આ પદ $1^\infty$ સ્વરૂપમાં છે જ્યારે $x \to 0$.
ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} \right) - f\left( 3 \right)}}{{1 + f\left( {2 - x} \right) - f\left( 2 \right)}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$.
સૂત્ર $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left( {f(x)} \right)^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)(f(x) - 1)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{f(3+x) - f(3) - f(2-x) + f(2)}{1 + f(2-x) - f(2)} \right)}$
ઘાતાંક માટે $L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
ઘાતાંક $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f'(3+x) + f'(2-x)}{1 + f(2-x) - f(2) - xf'(2-x)} = \frac{f'(3) + f'(2)}{1} = 0$.
તેથી,$L = e^0 = 1$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{x^{3}(1+x^{6})^{2 / 3}}$ છે.
આપણે કૌંસમાંથી $x^6$ સામાન્ય કાઢીને સંકલનને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{dx}{x^{3} \cdot (x^6)^{2/3} (1 + x^{-6})^{2/3}} = \int \frac{dx}{x^{3} \cdot x^4 (1 + x^{-6})^{2/3}} = \int \frac{dx}{x^7 (1 + x^{-6})^{2/3}}$.
ધારો કે $t = 1 + x^{-6}$. તો $dt = -6x^{-7} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^7} = -\frac{dt}{6}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int -\frac{1}{6} t^{-2/3} dt = -\frac{1}{6} \cdot \frac{t^{1/3}}{1/3} + C = -\frac{1}{2} t^{1/3} + C$.
$t = 1 + x^{-6} = \frac{x^6+1}{x^6}$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{2} \left( \frac{1+x^6}{x^6} \right)^{1/3} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1+x^6)^{1/3}}{x^2} + C$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $xf(x)(1+x^6)^{1/3} + C$ સાથે સરખાવતા:
$xf(x)(1+x^6)^{1/3} = -\frac{1}{2x^2} (1+x^6)^{1/3}$.
બંને બાજુ $x(1+x^6)^{1/3}$ વડે ભાગતા:
$f(x) = \frac{-1}{2x^3}$.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2}{1 - x^2}$.
આપણે $f(x)$ નો વિસ્તાર શોધવો છે.
$y(1 - x^2) = x^2$
$y - yx^2 = x^2$
$y = x^2(1 + y)$
$x^2 = \frac{y}{1 + y}$.
$x^2 \ge 0$ હોવાથી,$\frac{y}{1 + y} \ge 0$ થવું જોઈએ.
અસમતા માટે ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y \in (-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ મળે છે.
વળી,$x^2 = \frac{y}{1 + y} \neq 1$ (કારણ કે $x \neq \pm 1$),તેથી $\frac{y}{1 + y} \neq 1 \implies y \neq y + 1$,જે હંમેશા સાચું છે.
આમ,વિસ્તાર $R - [-1, 0)$ છે.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,સહપ્રદેશ $A$ એ વિસ્તાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$A = R - [-1, 0)$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{\alpha} = 3\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{\beta} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}.$
કારણ કે $\vec{\beta}_1$ એ $\vec{\alpha}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{\beta}_1 = \lambda \vec{\alpha} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j}).$
આપેલ છે કે $\vec{\beta} = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta}_2,$ તેથી $\vec{\beta}_2 = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j}) - (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = (3\lambda - 2)\hat{i} + (\lambda + 1)\hat{j} - 3\hat{k}.$
કારણ કે $\vec{\beta}_2$ એ $\vec{\alpha}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{\beta}_2 \cdot \vec{\alpha} = 0.$
$((3\lambda - 2)\hat{i} + (\lambda + 1)\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j}) = 0.$
$3(3\lambda - 2) + 1(\lambda + 1) = 0 \implies 9\lambda - 6 + \lambda + 1 = 0 \implies 10\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{1}{2}.$
આમ,$\vec{\beta}_1 = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$ અને $\vec{\beta}_2 = (\frac{3}{2} - 2)\hat{i} + (\frac{1}{2} + 1)\hat{j} - 3\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} - 3\hat{k}.$
હવે,$\vec{\beta}_1 \times \vec{\beta}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -3 \end{vmatrix}.$
$= \hat{i}(-\frac{3}{2} - 0) - \hat{j}(-\frac{9}{2} - 0) + \hat{k}(\frac{9}{4} - (-\frac{1}{4})) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{10}{4}\hat{k} = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{5}{2}\hat{k}.$
$= \frac{1}{2}(-3\hat{i} + 9\hat{j} + 5\hat{k}).$

(D) ધારો કે $I = \int \sec^{2/3} x \csc^{4/3} x \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{1}{(\cos x)^{2/3} (\sin x)^{4/3}} \, dx$.
અંશ અને છેદને $\cos^{4/3} x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1}{\frac{(\sin x)^{4/3}}{(\cos x)^{4/3}} \cdot (\cos x)^{2/3} \cdot (\cos x)^{4/3}} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{(\tan x)^{4/3} \cdot \cos^2 x} \, dx$.
$I = \int \frac{\sec^2 x}{(\tan x)^{4/3}} \, dx$.
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec^2 x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^{-4/3} \, dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{t^{-4/3 + 1}}{-4/3 + 1} + C = \frac{t^{-1/3}}{-1/3} + C = -3 t^{-1/3} + C$.
$t = \tan x$ પાછા મૂકતા:
$I = -3 \tan^{-1/3} x + C$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = d$ છે. તે $(0, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-b = d$. તે $(0, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = d$. ધારો કે $d = 1$,તો $b = -1$ અને $c = 1$. સમીકરણ $ax - y + z = 1$ મળે છે.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (a, -1, 1)$ છે અને સમતલ $y - z + 5 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ છે.
બે સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|(a)(0) + (-1)(1) + (1)(-1)|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{a^2 + 2} \sqrt{2}}$.
$\sqrt{a^2 + 2} = 2 \implies a^2 + 2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$.
જો $a = -\sqrt{2}$ લઈએ,તો સમીકરણ $-\sqrt{2}x - y + z = 1$ મળે છે. બિંદુ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ માટે: $-\sqrt{2}(\sqrt{2}) - 1 + 4 = -2 - 1 + 4 = 1$. આમ,સમતલ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^3 + ax - b$ છે.
બિંદુ $(1, -5)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી:
$-5 = (1)^3 + a(1) - b$
$-5 = 1 + a - b$
$a - b = -6$ $\dots(i)$
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + a$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, -5)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 3(1)^2 + a = 3 + a$ છે.
આપેલ રેખા $-x + y + 4 = 0$ છે,જેને $y = x - 4$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = 1$ છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(3 + a)(1) = -1$
$3 + a = -1$
$a = -4$.
$a = -4$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-4 - b = -6$
$-b = -2$
$b = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x^3 - 4x - 2$ છે.
હવે,આપણે આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
$(2, -2)$ માટે: $y = (2)^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$.
બિંદુ $(2, -2)$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,તે વક્ર પર આવેલું છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 15 - |x - 10|$.
આપણે એવા બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે જ્યાં $g(x) = f(f(x))$ વિકલનીય નથી.
$g(x) = f(f(x)) = 15 - |f(x) - 10| = 15 - |(15 - |x - 10|) - 10| = 15 - |5 - |x - 10||$.
વિધેય $f(x)$ એ $x = 10$ આગળ વિકલનીય નથી (માનાંક વિધેયનું શિરોબિંદુ).
સંયોજિત વિધેય $g(x) = f(f(x))$ એવા બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી જ્યાં $f(x)$ વિકલનીય ન હોય,અથવા જ્યાં અંદરનું વિધેય $f(x)$ ની કિંમત $10$ થાય (જે બિંદુએ બહારનું $f$ વિકલનીય નથી).
$1$. $f(x)$ એ $x = 10$ આગળ વિકલનીય નથી.
$2$. $f(x) = 10 \implies 15 - |x - 10| = 10 \implies |x - 10| = 5 \implies x - 10 = 5$ અથવા $x - 10 = -5 \implies x = 15$ અથવા $x = 5$.
આમ,જે બિંદુઓ પર $g(x)$ વિકલનીય નથી તેનો ગણ $\{5, 10, 15\}$ છે.

(C) ધારો કે $f(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી છે અને તેના સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ $x = -1, 0, 1$ છે,તેથી તેનું વિકલન $f'(x)$ એ $3$ ઘાતની બહુપદી હશે જેના બીજ $-1, 0, 1$ છે.
આમ,$f'(x) = \lambda(x + 1)(x)(x - 1) = \lambda(x^3 - x)$,જ્યાં $\lambda \neq 0$.
$f'(x)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $f(x) = \lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + \mu$ મળે છે,જ્યાં $\mu$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
આપણને ગણ $S = \{x \in R; f(x) = f(0)\}$ આપેલ છે.
$f(0) = \mu$ ને $f(x) = f(0)$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + \mu = \mu$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) = 0$ થાય છે.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^2(\frac{x^2}{4} - \frac{1}{2}) = 0$.
આનાથી $x^2 = 0$ અથવા $x^2 = 2$ મળે છે.
આમ,બીજ $x = 0, 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ છે.
ગણ $S$ માં ભિન્ન ઘટકો $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ છે.
અહીં,$0$ એ સંમેય સંખ્યા છે,અને $\sqrt{2}, -\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યાઓ છે.
તેથી,ગણ $S$ માં બે અસંમેય અને એક સંમેય સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે.

(C) આપેલ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1 + 2\lambda, -1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\lambda \in \mathbb{R}$.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $x + 2y + 3z = 15$ માં મૂકતા:
$(1 + 2\lambda) + 2(-1 + 3\lambda) + 3(2 + 4\lambda) = 15$
$1 + 2\lambda - 2 + 6\lambda + 6 + 12\lambda = 15$
$20\lambda + 5 = 15$
$20\lambda = 10$
$\lambda = \frac{1}{2}$
$\lambda = \frac{1}{2}$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$P = (1 + 2(\frac{1}{2}), -1 + 3(\frac{1}{2}), 2 + 4(\frac{1}{2})) = (2, \frac{1}{2}, 4)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $P(2, \frac{1}{2}, 4)$ નું અંતર $\sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2 + 4^2}$ થાય.
$= \sqrt{4 + \frac{1}{4} + 16} = \sqrt{20 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થાય છે.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1+2+3+\dots+(n-1) \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 78 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ $(n-1)$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{(n-1)n}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{n(n-1)}{2} = 78 \Rightarrow n^2 - n - 156 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n-13)(n+12) = 0$. $n$ ધન હોવાથી,$n = 13$ મળે.
આપણે $A = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શોધવાનો છે.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,તેનો વ્યસ્ત $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & -13 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx$.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} dx$.
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (1 - \sin x \cos x) dx$.
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (1 - \frac{1}{2} \sin 2x) dx$.
$2I = [x + \frac{1}{4} \cos 2x]_{0}^{\pi / 2}$.
$2I = (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} \cos \pi) - (0 + \frac{1}{4} \cos 0)$.
$2I = (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}) - (0 + \frac{1}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$.
$I = \frac{\pi - 1}{4}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$.
$x$ વડે ભાગતા,સુરેખ વિકલ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
અહીં,$P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$.
વ્યાપક ઉકેલ: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$.
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$.
શરત $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 \cdot (1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$.
$C$ ની કિંમત વ્યાપક ઉકેલમાં મૂકતા:
$y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$.

(D) પ્રથમ,બિંદુઓ $(1, f(1))$ અને $(-1, f(-1))$ ના યામ શોધો.
$f(1) = (1)^3 - (1)^2 - 2(1) = 1 - 1 - 2 = -2$.
$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) = -1 - 1 + 2 = 0$.
$(1, -2)$ અને $(-1, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{-2 - 0}{2} = -1$.
વક્ર $y = f(x)$ ના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 - 2x) = 3x^2 - 2x - 2$.
સ્પર્શક રેખાખંડને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$3x^2 - 2x - 2 = -1$.
$3x^2 - 2x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^2 - 3x + x - 1 = 0$.
$3x(x - 1) + 1(x - 1) = 0$.
$(3x + 1)(x - 1) = 0$.
આમ,$x = 1$ અથવા $x = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$S = \left\{ -\frac{1}{3}, 1 \right\}$.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x)f(y)$ અને $f(1) = 2$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે તમામ $x \in \mathbb{N}$ માટે $f(x) = 2^x$ થાય.
આપેલ સરવાળો $\sum\limits_{k = 1}^{10} {f(a + k)} = 16(2^{10} - 1)$ છે.
$f(x) = 2^x$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\sum\limits_{k = 1}^{10} {2^{a + k}} = 16(2^{10} - 1)$
$2^a(2^1 + 2^2 + ... + 2^{10}) = 16(2^{10} - 1)$
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે:
$2^a \cdot \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 16(2^{10} - 1)$
$2^a \cdot 2(2^{10} - 1) = 16(2^{10} - 1)$
બંને બાજુ $2(2^{10} - 1)$ વડે ભાગતા:
$2^a = \frac{16}{2} = 8$
$2^a = 2^3$
તેથી,$a = 3$.

(C) આપેલ પ્રદેશ પરવલય $y = x^2$ અને રેખા $y = x + 2$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $x^2 = x + 2$ લઈએ છીએ.
આનાથી $x^2 - x - 2 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 2)(x + 1) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$ અને $x = -1$.
ક્ષેત્રફળ એ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલ સંકલન છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - x^2) dx$
$= [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$
$= (\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3})$
$= (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})$
$= (6 - \frac{8}{3}) - (\frac{3 - 12 + 2}{6})$
$= \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})$
$= \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ ચોરસ એકમ.