JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કુલ ઉપલબ્ધ સભ્યો $8$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓ છે,તેથી કુલ વ્યક્તિઓ = $13$. આપણે $11$ સભ્યો પસંદ કરવાના છે.
$m$ માટે (ઓછામાં ઓછા $6$ પુરુષો):
શક્ય કિસ્સાઓ ($6$ પુરુષો,$5$ સ્ત્રીઓ),($7$ પુરુષો,$4$ સ્ત્રીઓ),($8$ પુરુષો,$3$ સ્ત્રીઓ) છે.
$m = \binom{8}{6} \times \binom{5}{5} + \binom{8}{7} \times \binom{5}{4} + \binom{8}{8} \times \binom{5}{3} = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
$n$ માટે (ઓછામાં ઓછી $3$ સ્ત્રીઓ):
શક્ય કિસ્સાઓ ($8$ પુરુષો,$3$ સ્ત્રીઓ),($7$ પુરુષો,$4$ સ્ત્રીઓ),($6$ પુરુષો,$5$ સ્ત્રીઓ) છે.
$n = \binom{5}{3} \times \binom{8}{8} + \binom{5}{4} \times \binom{8}{7} + \binom{5}{5} \times \binom{8}{6} = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
આમ,$m = n = 78$.

(B) ધારો કે $E = \cos^2 10^o - \cos 10^o \cos 50^o + \cos^2 50^o$.
$\frac{2}{2}$ વડે ગુણતા,$E = \frac{1}{2} (2 \cos^2 10^o - 2 \cos 10^o \cos 50^o + 2 \cos^2 50^o)$.
$2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ અને $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 20^o) - (\cos 60^o + \cos(-40^o)) + (1 + \cos 100^o)]$.
$E = \frac{1}{2} [2 + \cos 20^o - \frac{1}{2} - \cos 40^o + \cos 100^o]$.
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^o - 2 \sin 70^o \sin 30^o]$.
$\sin 30^o = \frac{1}{2}$ અને $\sin 70^o = \cos 20^o$ હોવાથી:
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^o - \cos 20^o] = \frac{3}{4}$.

(D) ધારો કે $z = \frac{\alpha + i}{\alpha - i}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,આપણને $|z| = \left| \frac{\alpha + i}{\alpha - i} \right|$ મળે છે.
કારણ કે $|\alpha + i| = \sqrt{\alpha^2 + 1}$ અને $|\alpha - i| = \sqrt{\alpha^2 + (-1)^2} = \sqrt{\alpha^2 + 1}$,તેથી $|z| = \frac{\sqrt{\alpha^2 + 1}}{\sqrt{\alpha^2 + 1}} = 1$ થાય.
સમીકરણ $|z| = 1$ એ સંકર સમતલમાં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો: $S_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A$.
$n$-મું પદ $T_n = S_n - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
$T_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A - [50(n - 1) + \frac{(n - 1)(n - 8)}{2}A]$.
$T_n = 50 + \frac{A}{2} [n^2 - 7n - (n^2 - 9n + 8)]$.
$T_n = 50 + \frac{A}{2} [2n - 8] = 50 + A(n - 4)$.
સામાન્ય તફાવત $d = T_n - T_{n-1} = [50 + A(n - 4)] - [50 + A(n - 5)] = A$.
$a_{50}$ શોધવા માટે,$T_n$ ના સૂત્રમાં $n = 50$ મૂકતા:
$a_{50} = 50 + A(50 - 4) = 50 + 46A$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(d, a_{50})$ એ $(A, 50 + 46A)$ છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{24} - \frac{y^2}{18} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 24$ અને $b^2 = 18$ છે.
અભિલંબની શરત મુજબ,$c^2 = \frac{m^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 - b^2m^2}$.
અહીં $c = 7\sqrt{3}$ હોવાથી $c^2 = 147$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $147 = \frac{m^2(24 + 18)^2}{24 - 18m^2} = \frac{1764m^2}{24 - 18m^2}$.
સાદુરૂપ આપતા: $24 - 18m^2 = 12m^2$ $\Rightarrow 30m^2 = 24$ $\Rightarrow m^2 = \frac{4}{5}$.
તેથી,$m = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 16$,તેથી $a = 4$ મળે.
પરવલયની નાભિ $S(a, 0) = (4, 0)$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવાનું એક અંત્યબિંદુ $A(at_1^2, 2at_1) = (1, 4)$ છે.
$a = 4$ હોવાથી,$4t_1^2 = 1$ $\Rightarrow t_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow t_1 = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $y > 0$).
નાભિ જીવા માટે,અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલોનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = -1$ થાય. તેથી,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -2$.
$t$ પ્રાચલ ધરાવતી નાભિ જીવાની લંબાઈ $L = a(t + \frac{1}{t})^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = t_1 = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$L = 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{1/2})^2 = 4(\frac{1}{2} + 2)^2 = 4(\frac{5}{2})^2 = 4 \times \frac{25}{4} = 25$.

(D) ધારો કે રેખાનો ઢાળ $m = \tan \theta$ છે. $P(2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x = 2 + r \cos \theta$ અને $y = 3 + r \sin \theta$ છે,જ્યાં $r = 4$ છે.
આ કિંમતો $x + y = 7$ માં મૂકતા:
$(2 + 4 \cos \theta) + (3 + 4 \sin \theta) = 7$
$4(\cos \theta + \sin \theta) = 2$
$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$
$\sin 2\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$
$\sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2m}{1 + m^2} = -\frac{3}{4}$
$8m = -3 - 3m^2 \Rightarrow 3m^2 + 8m + 3 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$
$\frac{1 - \sqrt{7}}{1 + \sqrt{7}}$ નું સંમેયીકરણ કરતા તે $\frac{-4 + \sqrt{7}}{3}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2\cos^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \sin^2 \theta) + 3\sin \theta = 0$
$2 - 2\sin^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$2\sin^2 \theta - 3\sin \theta - 2 = 0$
$(2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 2) = 0$
$\sin \theta = 2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
$\theta \in [-2\pi, 2\pi]$ માટે,$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ ના ઉકેલો:
$\theta = -\frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
ઘટકોનો સરવાળો = $(-\frac{\pi}{6}) + (-\frac{5\pi}{6}) + (\frac{7\pi}{6}) + (\frac{11\pi}{6}) = \frac{12\pi}{6} = 2\pi$.

(C) ધારો કે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $S(h, k)$ છે.
$P$ એ $x$-અક્ષ પર અને $Q$ એ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,ધારો કે $P = (a, 0)$ અને $Q = (0, b).$
મધ્યબિંદુ $S(h, k)$ માટે $h = \frac{a}{2}$ અને $k = \frac{b}{2},$ તેથી $a = 2h$ અને $b = 2k.$
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જે $\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k} = 1$ બને છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ નો સ્પર્શક હોવાથી,ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 1$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{2h})^2 + (\frac{1}{2k})^2}} = 1.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2}} = 1,$
જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$ થાય છે.
$4h^2k^2$ વડે ગુણતા,$k^2 + h^2 = 4h^2k^2$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 4x^2y^2$ અથવા $x^2 + y^2 - 4x^2y^2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ચાર વ્યક્તિઓ દ્વારા લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,$P(C) = \frac{1}{4}$,અને $P(D) = \frac{1}{8}$ છે.
લક્ષ્ય વીંધાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ પણ લક્ષ્યને વીંધી શકતું નથી})$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(\text{કોઈ નહીં}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \cdot P(\overline{C}) \cdot P(\overline{D})$.
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,અને $P(\overline{D}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$P(\text{કોઈ નહીં}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{32}$.
તેથી,લક્ષ્ય વીંધાય તેની સંભાવના $1 - \frac{7}{32} = \frac{25}{32}$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = x$ ના બિંદુ $(\alpha, \beta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y\beta = \frac{x + \alpha}{2}$ છે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પરવલય પર હોવાથી,$\beta^2 = \alpha$,તેથી સમીકરણ $y\beta = \frac{x + \beta^2}{2}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{1}{2\beta}x + \frac{\beta}{2}$ છે.
અહીં,ઢાળ $m = \frac{1}{2\beta}$ અને અંતઃખંડ $c = \frac{\beta}{2}$ છે.
આ રેખા ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 1$ નો પણ સ્પર્શક છે,જેને $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{\beta}{2})^2 = 1(\frac{1}{2\beta})^2 + \frac{1}{2}$.
$\frac{\beta^2}{4} = \frac{1}{4\beta^2} + \frac{1}{2}$.
$4\beta^2$ વડે ગુણતા: $\beta^4 = 1 + 2\beta^2$.
$\beta^4 - 2\beta^2 - 1 = 0$.
$\beta^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્ર વાપરતા: $\beta^2 = 1 + \sqrt{2}$.
$\alpha = \beta^2$ હોવાથી,$\alpha = \sqrt{2} + 1$ મળે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની દરેક બાજુમાં $n$ દડા છે.
ત્રિકોણમાં દડાઓની કુલ સંખ્યા પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $S = \frac{n(n+1)}{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$99$ દડા ઉમેરવાથી તે $(n-2)$ બાજુવાળો ચોરસ બનાવે છે.
તેથી,સમીકરણ: $\frac{n(n+1)}{2} + 99 = (n-2)^2$.
$2$ વડે ગુણતા: $n^2 + n + 198 = 2(n^2 - 4n + 4)$.
$n^2 + n + 198 = 2n^2 - 8n + 8$.
પદોને ગોઠવતા: $n^2 - 9n - 190 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 19)(n + 10) = 0$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 19$.
સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવા માટે વપરાયેલા દડાઓની સંખ્યા $\frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \times 20}{2} = 190$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + 8y - 24 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(-3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 7$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$ છે.
અહીં $d = |r_2 - r_1| = 5$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 + 6x + 8y - 24) = 0$
$3x + 4y - 10 = 0$.
બિંદુ $(6, -2)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $a-d, a, a+d$ છે.
આપેલ છે કે $(a-d) + a + (a+d) = 33$.
$3a = 33 \Rightarrow a = 11$.
વળી,$(a-d)(a)(a+d) = 1155$.
$a(a^2 - d^2) = 1155$.
$11(121 - d^2) = 1155$.
$121 - d^2 = 105$.
$d^2 = 16 \Rightarrow d = \pm 4$.
જો $d = 4$ હોય,તો પ્રથમ પદ $A = a-d = 7$. $11$ મું પદ $T_{11} = A + 10d = 7 + 10(4) = 47$.
જો $d = -4$ હોય,તો પ્રથમ પદ $A = a-d = 15$. $11$ મું પદ $T_{11} = A + 10d = 15 + 10(-4) = -25$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin\theta \sin(60^o - \theta) \sin(60^o + \theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$.
આપેલ પદાવલિ: $E = \sin\,10^o \sin\,30^o \sin\,50^o \sin\,70^o$.
પદોને ગોઠવતા: $E = \sin\,30^o \times [\sin\,10^o \sin(60^o - 10^o) \sin(60^o + 10^o)]$.
$\theta = 10^o$ માટે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $E = \sin\,30^o \times [\frac{1}{4} \sin(3 \times 10^o)]$.
$E = \sin\,30^o \times \frac{1}{4} \sin\,30^o$.
$\sin\,30^o = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$E = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

(C) આપેલ છે $w = \frac{5 + 3z}{5(1 - z)}$.
$z$ માટે ઉકેલતા:
$5w(1 - z) = 5 + 3z$
$5w - 5wz = 5 + 3z$
$5w - 5 = z(3 + 5w)$
$z = \frac{5w - 5}{5w + 3}$.
$|z| < 1$ હોવાથી,$\left| \frac{5w - 5}{5w + 3} \right| < 1$.
$|5w - 5| < |5w + 3|$.
$5$ વડે ભાગતા:
$|w - 1| < |w + \frac{3}{5}|$.
આ સંકર સમતલમાં $1$ અને $-\frac{3}{5}$ ની વચ્ચેના બિંદુઓ દર્શાવે છે જે $1$ ની નજીક છે.
$1$ અને $-\frac{3}{5}$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક $x = \frac{1 - 3/5}{2} = \frac{1}{5}$ છે.
બિંદુઓ $1$ ની નજીક હોવાથી,$\text{Re}(w) > \frac{1}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $5 \text{ Re}(w) > 1$.

(D) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો $^{n}C_{r-1}, ^{n}C_{r},$ અને $^{n}C_{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{2}{15}$ અને $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$.
સૂત્ર $\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{r}{n-r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{r}{n-r+1} = \frac{2}{15}$ $\Rightarrow 15r = 2n - 2r + 2$ $\Rightarrow 2n - 17r = -2 \dots (1)$.
સૂત્ર $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{r+1}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{r+1}{n-r} = \frac{3}{14}$ $\Rightarrow 14r + 14 = 3n - 3r$ $\Rightarrow 3n - 17r = 14 \dots (2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $(3n - 17r) - (2n - 17r) = 14 - (-2) \Rightarrow n = 16$.
$(1)$ માં $n = 16$ મૂકતા: $2(16) - 17r = -2$ $\Rightarrow 32 + 2 = 17r$ $\Rightarrow 17r = 34$ $\Rightarrow r = 2$.
સહગુણકો $^{16}C_{1}, ^{16}C_{2}, ^{16}C_{3}$ છે.
$^{16}C_{1} = 16, ^{16}C_{2} = 120, ^{16}C_{3} = 560$.
સરેરાશ $= \frac{16 + 120 + 560}{3} = \frac{696}{3} = 232$.

(D) બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
રેખા $L_1: x + (a - 1)y = 1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{a - 1}$ છે.
રેખા $L_2: 2x + a^2y = 1$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{a^2}$ છે.
$m_1 m_2 = -1$ હોવાથી,$\left(-\frac{1}{a - 1}\right) \left(-\frac{2}{a^2}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{2}{a^2(a - 1)} = -1$ $\Rightarrow a^3 - a^2 + 2 = 0$.
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a + 1)(a^2 - 2a + 2) = 0$.
અહીં $a^2 - 2a + 2 = (a - 1)^2 + 1 > 0$ હોવાથી,માત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ $a = -1$ મળે છે.
$a = -1$ મુકતા:
$L_1: x - 2y = 1$.
$L_2: 2x + y = 1$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$x - 2y = 1$ $(1)$
$2x + y = 1$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4x + 2y = 2$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $5x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$.
$x = \frac{3}{5}$ ને $(2)$ માં મુકતા: $y = -\frac{1}{5}$.
છેદબિંદુ $P(\frac{3}{5}, -\frac{1}{5})$ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $OP = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.

(C) ધારો કે બે થાંભલાઓની ઊંચાઈ $h_1 = 5 \, m$ અને $h_2 = 10 \, m$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
નાના થાંભલાની ટોચથી મોટા થાંભલા પર એક આડી રેખા દોરતા,આપણને એક કાટકોણ ત્રિકોણ મળે છે જેની ઊભી બાજુની લંબાઈ $h_2 - h_1 = 10 - 5 = 5 \, m$ છે.
નાના થાંભલાની ટોચથી મોટા થાંભલાની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $15^o$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan(15^o) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{5}{x}$
$\tan(15^o) = 2 - \sqrt{3}$ હોવાથી:
$2 - \sqrt{3} = \frac{5}{x}$
$x = \frac{5}{2 - \sqrt{3}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \frac{5(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 5(2 + \sqrt{3}) \, m$.

(B) પરવલય $y^2 = 4x$ ના બિંદુ $(1, 2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $2y = 4\left(\frac{x + 1}{2}\right)$ છે,જે $y = x + 1$ થાય છે.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે અને તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 2 = -1(x - 1)$ એટલે કે $y = -x + 3$ છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે. વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |k|$. કેન્દ્ર અભિલંબ પર હોવાથી $k = -h + 3$,એટલે કે $h = 3 - k$. તેથી કેન્દ્ર $C(3 - r, r)$ છે.
કેન્દ્ર $C(3 - r, r)$ થી બિંદુ $P(1, 2)$ સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય:
$PC^2 = r^2$
$(3 - r - 1)^2 + (r - 2)^2 = r^2$
$2(r - 2)^2 = r^2$
$r^2 - 8r + 8 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = 4 \pm 2\sqrt{2}$.
નાના વર્તુળ માટે,$r = 4 - 2\sqrt{2}$ લેતા.
ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi (4 - 2\sqrt{2})^2 = 8\pi (3 - 2\sqrt{2})$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(m^2 + 1)x^2 - 3x + (m^2 + 1)^2 = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{3}{m^2 + 1}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{(m^2 + 1)^2}{m^2 + 1} = m^2 + 1$.
બીજનો સરવાળો મહત્તમ હોવા માટે,છેદ $(m^2 + 1)$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
$m^2 + 1$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે (જ્યારે $m = 0$ હોય).
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{3}{1} = 3$ અને $\alpha \beta = 0^2 + 1 = 1$.
બીજના ઘનનો તફાવત $|\alpha^3 - \beta^3| = |(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2)|$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 3^2 - 4(1) = 9 - 4 = 5$,તેથી $|\alpha - \beta| = \sqrt{5}$.
વળી,$\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta = 3^2 - 1 = 8$.
તેથી,$|\alpha^3 - \beta^3| = \sqrt{5} \times 8 = 8\sqrt{5}$.

(C) ધારો કે કુલ વસ્તી $100$ છે.
$n(A) = 25$,$n(B) = 20$,અને $n(A \cap B) = 8$.
$A$ વાંચતા પણ $B$ ન વાંચતા લોકોની સંખ્યા $n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B) = 25 - 8 = 17$.
$B$ વાંચતા પણ $A$ ન વાંચતા લોકોની સંખ્યા $n(B \setminus A) = n(B) - n(A \cap B) = 20 - 8 = 12$.
$A$ અને $B$ બંને વાંચતા લોકોની સંખ્યા $n(A \cap B) = 8$.
જાહેરાતો જોતી વસ્તીની ટકાવારી:
$= (17 \text{ ના } 30\%) + (12 \text{ ના } 40\%) + (8 \text{ ના } 50\%)$
$= (0.30 \times 17) + (0.40 \times 12) + (0.50 \times 8)$
$= 5.1 + 4.8 + 4.0 = 13.9$.

(B) શરતી વિધાન $P \Rightarrow (q \vee r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ અસત્ય હોય.
એટલે કે,$P = T$ અને $(q \vee r) = F$.
વિકલ્પ $(q \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,$q$ અને $r$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$p = T, q = F, r = F$.

(B) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = n(2n - 1) = 2n^2 - n$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 2 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$.
$n = 11$ માટે:
$S_{11} = \frac{11(12)(23)}{3} - \frac{11(12)}{2}$.
$S_{11} = 11 \times 4 \times 23 - 11 \times 6$.
$S_{11} = 1012 - 66 = 946$.

(A) આપેલ $10$ સંખ્યાઓ: $10, 22, 26, 29, 34, x, 42, 67, 70, y$ ચડતા ક્રમમાં છે.
$1$. મધ્યકની ગણતરી:
$\text{મધ્યક} = \frac{10 + 22 + 26 + 29 + 34 + x + 42 + 67 + 70 + y}{10} = 42$
$300 + x + y = 420$
$x + y = 120 \quad \dots (i)$
$2$. મધ્યસ્થની ગણતરી:
$10$ અવલોકનો માટે,મધ્યસ્થ એ $5$ માં અને $6$ ઠ્ઠા પદની સરેરાશ છે.
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{34 + x}{2} = 35$
$34 + x = 70$
$x = 36$
$3$. $y$ ની કિંમત:
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 36$ મૂકતા:
$36 + y = 120$
$y = 84$
$4$. અંતિમ ગુણોત્તર:
$\frac{y}{x} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$

(B) ધારો કે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-8, 5)$ અને $B(6, 5)$ છે. $AB$ એ લંબચોરસની બાજુ હોવાથી,$AB$ ની લંબાઈ $= |6 - (-8)| = 14$ થાય.
ધારો કે અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $D(-8, k)$ અને $C(6, k)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વિકર્ણ $AC$ (અથવા $BD$) નું મધ્યબિંદુ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{-8 + 6}{2}, \frac{5 + k}{2} \right) = \left( -1, \frac{5 + k}{2} \right)$.
કેન્દ્ર વ્યાસ $3y = x + 7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3\left( \frac{5 + k}{2} \right) = -1 + 7$
$3\left( \frac{5 + k}{2} \right) = 6$
$\frac{5 + k}{2} = 2$
$5 + k = 4$
$k = -1$.
બાજુ $BC$ ની લંબાઈ $= |5 - (-1)| = 6$ થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= AB \times BC = 14 \times 6 = 84 \text{ sq. units}$.

(C) $(1 - 3x)^{15}$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} (-3x)^k = 1 - 45x + 945x^2 - 12285x^3 + \dots$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક: $945 - 45a + b = 0 \Rightarrow 45a - b = 945$.
$x^3$ નો સહગુણક: $-12285 + 945a - 45b = 0 \Rightarrow 21a - b = 273$.
બાદબાકી કરતા $24a = 672 \Rightarrow a = 28$ મળે છે.
$a = 28$ મુકતા $b = 315$ મળે છે.

(B) $n$ મું પદ $T_n$ આ મુજબ છે:
$T_n = \frac{(2n+1) \sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k^2}$
સૂત્રો $\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ અને $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \frac{(2n+1) \times \frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
$T_n = \frac{6}{4} n(n+1) = \frac{3}{2}(n^2 + n)$
હવે,સરવાળો $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \frac{3}{2} \left[ \sum_{n=1}^{10} n^2 + \sum_{n=1}^{10} n \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} \left[ \frac{10(11)(21)}{6} + \frac{10(11)}{2} \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} [385 + 55] = \frac{3}{2} [440] = 660$

(D) Tautology એ એક એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સાચું હોય છે.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસીએ: $(p \vee q) \wedge (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \wedge \sim q) \equiv p \vee F \equiv p$. આ tautology નથી.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસીએ: $(p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q) \equiv p \wedge (q \vee \sim q) \equiv p \wedge T \equiv p$. આ tautology નથી.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસીએ: $(p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \vee q) \wedge \sim (p \wedge q)$. આ tautology નથી.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસીએ: $(p \vee q) \vee (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$. પરિણામ હંમેશા સાચું હોવાથી,આ એક tautology છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x \sin \theta - 2 \sin \theta = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\sin \theta$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -2 \sin \theta$ થાય.
આપણે પદાવલિ $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha^{-12} + \beta^{-12})(\alpha - \beta)^{24}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $\alpha^{-12} + \beta^{-12} = \frac{\beta^{12} + \alpha^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{\frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}} (\alpha - \beta)^{24}} = \frac{(\alpha \beta)^{12}}{(\alpha - \beta)^{24}}$.
કારણ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta$,તેથી $(\alpha - \beta)^{24} = ((\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta)^{12}$.
આમ,$E = \left[ \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta} \right]^{12}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{(-\sin \theta)^2 - 4(-2 \sin \theta)} \right]^{12} = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{\sin^2 \theta + 8 \sin \theta} \right]^{12}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$\sin \theta \neq 0$,તેથી $E = \left[ \frac{-2}{\sin \theta + 8} \right]^{12} = \frac{2^{12}}{(\sin \theta + 8)^{12}}$.

(D) $P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\triangle ABC$ માં,$AB=AC=100$. ધારો કે $AP = x$. $P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AP \perp BC$.
$\triangle ABP$ માં,$BP^2 = AB^2 - AP^2 = 100^2 - x^2$. તેથી $BP = \sqrt{10000 - x^2}$.
ટાવરની ઊંચાઈ $PQ = h$ છે.
$A$ આગળ ઉત્સેધકોણ $\alpha = \cot^{-1}(3\sqrt{2})$ છે,તેથી $\cot \alpha = \frac{AP}{PQ} = \frac{x}{h} = 3\sqrt{2} \implies x = 3\sqrt{2}h$.
$B$ આગળ ઉત્સેધકોણ $\beta = \csc^{-1}(2\sqrt{2})$ છે,તેથી $\csc \beta = \frac{BQ}{PQ} = \frac{\sqrt{BP^2 + h^2}}{h} = 2\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{BP^2 + h^2}{h^2} = 8 \implies BP^2 + h^2 = 8h^2 \implies BP^2 = 7h^2$.
$BP^2 = 100^2 - x^2$ મૂકતા: $10000 - x^2 = 7h^2$.
$x = 3\sqrt{2}h$ મૂકતા: $10000 - (3\sqrt{2}h)^2 = 7h^2 \implies 10000 - 18h^2 = 7h^2$.
$25h^2 = 10000 \implies h^2 = 400 \implies h = 20$.

(B) આપેલ છે કે $z = \frac{(1 + i)^2}{a - i} = \frac{2i}{a - i}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(a + i)$ વડે ગુણતા,$z = \frac{2i(a + i)}{a^2 + 1} = \frac{-2 + 2ai}{a^2 + 1}$ મળે.
માન $|z| = \frac{|2i|}{|a - i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
$|z| = \sqrt{\frac{2}{5}}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{2}{5}} \implies \frac{4}{a^2 + 1} = \frac{2}{5} \implies a^2 + 1 = 10 \implies a^2 = 9$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 3$ મળે.
$a = 3$ ને $z$ માં મૂકતા,$z = \frac{2i(3 + i)}{3^2 + 1} = \frac{6i - 2}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.
તેથી અનુબદ્ધ $\bar{z} = -\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$ થાય.

(B) $6$ અંકની સંખ્યા $abcdef$ ધારો. $11$ વડે વિભાજ્યતા માટે $|(a+c+e) - (b+d+f)|$ એ $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
બધા અંકોનો સરવાળો $0+1+2+5+7+9 = 24$ છે. ધારો કે $S_1 = a+c+e$ અને $S_2 = b+d+f$. તેથી $S_1 + S_2 = 24$ અને $S_1 - S_2 = 11k$.
$k=0$ માટે,$S_1 = S_2 = 12$.
${a, c, e}$ અને ${b, d, f}$ માટે શક્ય ગણ:
કિસ્સો $I$: ${a, c, e} = {9, 2, 1}$ અને ${b, d, f} = {7, 5, 0}$.
ગોઠવણીની કુલ રીતો $= 3! \times 3! = 36$.
કિસ્સો $II$: ${a, c, e} = {7, 5, 0}$ અને ${b, d, f} = {9, 2, 1}$.
અહીં $a \neq 0$. $a$ માટે $2$ વિકલ્પો છે,બાકીના $2$ સ્થાન માટે $2!$ રીતો અને ${b, d, f}$ માટે $3!$ રીતો.
કુલ $= 2 \times 2! \times 6 = 24$.
કુલ સંખ્યા $= 36 + 24 = 60$.

(D) રેખા $L: x - y = 0$ ને $(1, 1)$ બિંદુએ સ્પર્શતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + \lambda(x - y) = 0$ છે.
વર્તુળ $(1, -3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(1 - 1)^2 + (-3 - 1)^2 + \lambda(1 - (-3)) = 0$
$0 + 16 + 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -4$.
સમીકરણમાં $\lambda = -4$ મૂકતા:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 4(x - y) = 0$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 2 = 0$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(B) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $S_1: x^2 + y^2 + 5Kx + 2y + K = 0$ છે.
બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $S_2: x^2 + y^2 + Kx + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} = 0$ છે.
બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 + 5Kx + 2y + K) - (x^2 + y^2 + Kx + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}) = 0$
$4Kx + \frac{1}{2}y + K + \frac{1}{2} = 0$.
આ રેખા આપેલી રેખા $4x + 5y - K = 0$ ને સમાન છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{4K}{4} = \frac{1/2}{5} = \frac{K + 1/2}{-K}$ મળે છે.
$\frac{4K}{4} = \frac{1}{10}$ પરથી,આપણને $K = \frac{1}{10}$ મળે છે.
બીજી સમાનતા તપાસતા: $\frac{1}{10} = \frac{1/10 + 1/2}{-1/10} = \frac{6/10}{-1/10} = -6$.
$K = \frac{1}{10} \neq -6$ હોવાથી,$K$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે રેખાઓ સમાન હોય.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ બિંદુ $(3, -4.5)$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{3x}{a^2} - \frac{4.5y}{b^2} = 1$ થાય.
આપેલ રેખા $x - 2y = 12$ ને $\frac{x}{12} - \frac{y}{6} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\frac{3}{a^2} = \frac{1}{12}$ $\Rightarrow a^2 = 36$ $\Rightarrow a = 6$.
અને $\frac{4.5}{b^2} = \frac{1}{6} \Rightarrow b^2 = 27$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 27}{6} = 9$.

(A) આપેલ સરવાળો $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 114$ છે.
આ $6$ પદોની સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a_1$ અને અંતિમ પદ $a_{16}$ છે.
$A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(\text{પ્રથમ પદ} + \text{અંતિમ પદ})$ છે.
તેથી,$\frac{6}{2}(a_1 + a_{16}) = 114$.
$3(a_1 + a_{16}) = 114 \Rightarrow a_1 + a_{16} = 38$.
આપણે $S = a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
આ પણ $4$ પદોની સમાંતર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a_1$ અને અંતિમ પદ $a_{16}$ છે.
$S = \frac{4}{2}(a_1 + a_{16}) = 2(38) = 76$.

(A) આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = (x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$2x^2 + 2x - 4 = 20 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(x+4)(x-3) = 0$.
આવૃત્તિ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 3$ લેતા.
આવૃત્તિઓ: $16, 1, 0, 3$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 16) + (3 \times 1) + (5 \times 0) + (7 \times 3)}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$.

(B) પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ મેળવો:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x-1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x+1)(x^2+1) = (1+1)(1^2+1) = 2 \times 2 = 4$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવો:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{{{x^3} - {k^3}}}{{{x^2} - {k^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{(x-k)(x^2+xk+k^2)}{(x-k)(x+k)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{x^2+xk+k^2}{x+k} = \frac{k^2+k^2+k^2}{k+k} = \frac{3k^2}{2k} = \frac{3k}{2}$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$4 = \frac{3k}{2}$ $\Rightarrow 3k = 8$ $\Rightarrow k = \frac{8}{3}$.

(B) ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. તે $(4, -2\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1 \dots (i)$.
નિયામિકા $x = \frac{a}{e}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{a}{e} = \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{4}{\sqrt{5}}$,એટલે કે $a^2 = \frac{16e^2}{5} \dots (ii)$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરીને,$(i)$ માં $a^2$ અને $b^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2(e^2 - 1)} = 1$.
$a^2 = \frac{16e^2}{5}$ મૂકતા:
$\frac{5}{e^2} - \frac{60}{16e^2(e^2 - 1)} = 1$.
$4e^2(e^2 - 1)$ વડે ગુણતા:
$20(e^2 - 1) - 15 = 4e^2(e^2 - 1) \Rightarrow 20e^2 - 35 = 4e^4 - 4e^2$.
તેથી $4e^4 - 24e^2 + 35 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ અસમતાઓ $|x - y| \leq 2$ અને $|x + y| \leq 2$ છે.
આને $-2 \leq x - y \leq 2$ અને $-2 \leq x + y \leq 2$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ રેખાઓ $x - y = 2$,$x - y = -2$,$x + y = 2$,અને $x + y = -2$ દ્વારા સીમિત પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$) $x - y = 2$ અને $x + y = 2$ થી $(2, 0)$ મળે છે.
$2$) $x + y = 2$ અને $x - y = -2$ થી $(0, 2)$ મળે છે.
$3$) $x - y = -2$ અને $x + y = -2$ થી $(-2, 0)$ મળે છે.
$4$) $x + y = -2$ અને $x - y = 2$ થી $(0, -2)$ મળે છે.
ક્રમિક શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (દા.ત.,$(2, 0)$ અને $(0, 2)$) $\sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
બધી બાજુઓ $2\sqrt{2}$ સમાન હોવાથી અને વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોવાથી,આ પ્રદેશ એક ચોરસ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(\text{બાજુ})^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ ચોરસ એકમ છે.
આમ,આ પ્રદેશ $2\sqrt{2}$ એકમ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો ચોરસ છે.

(D) લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,$x = 1$ આગળ અંશ $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$1^2 - a(1) + b = 0$,જે સૂચવે છે કે $1 - a + b = 0$,અથવા $b = a - 1$.
$L'Hopital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{d/dx(x^2 - ax + b)}{d/dx(x - 1)} = 3$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x - a) = 3$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $2 - a = 3$ મળે છે,તેથી $a = -1$.
કારણ કે $b = a - 1$,તેથી $b = -1 - 1 = -2$.
તેથી,$a + b = -1 + (-2) = -3$.

(A) રેખા $4x - 3y + 2 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $4x - 3y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $\frac{|\lambda|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|\lambda|}{5}$ દ્વારા મળે છે.
આ અંતર $\frac{3}{5}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{|\lambda|}{5} = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $|\lambda| = 3$,તેથી $\lambda = \pm 3$.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $4x - 3y + 3 = 0$ અને $4x - 3y - 3 = 0$ છે.
હવે,આપણે આપેલા બિંદુઓને ચકાસીએ:
વિકલ્પ $A$ માટે: $4(-\frac{1}{4}) - 3(\frac{2}{3}) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$. આ બિંદુ સમીકરણ $4x - 3y + 3 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે. અહીં $4a = 4\sqrt{2}$ હોવાથી $a = \sqrt{2}$ મળે. તેથી સ્પર્શક $y = mx + \frac{\sqrt{2}}{m}$ છે.
આ રેખાને $mx - y + \frac{\sqrt{2}}{m} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ ને પણ સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 1$ જેટલું થાય.
અંતરના સૂત્ર મુજબ: $\left| \frac{\frac{\sqrt{2}}{m}}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2}{m^2(m^2 + 1)} = 1 \Rightarrow m^4 + m^2 - 2 = 0$.
$t = m^2$ લેતા,$t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t + 2)(t - 1) = 0$. $m^2 > 0$ હોવાથી $m^2 = 1$,એટલે કે $m = \pm 1$.
$m = 1$ મૂકતા: $y = x + \sqrt{2} \Rightarrow x - y + \sqrt{2} = 0$. $ax + y = c$ સાથે સરખાવતા $a = -1$ અને $c = -\sqrt{2}$ મળે,તેથી $|c| = \sqrt{2}$.
$m = -1$ મૂકતા: $y = -x - \sqrt{2} \Rightarrow x + y = -\sqrt{2}$. $ax + y = c$ સાથે સરખાવતા $a = 1$ અને $c = -\sqrt{2}$ મળે,તેથી $|c| = \sqrt{2}$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 9y^2 = 144$ છે. $144$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 16,$ તેથી $a = 3$ અને $b = 4.$
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}.$
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા $x = \pm \frac{a}{e}$ છે.
આપેલ નિયામિકા $5x + 9 = 0$ એટલે કે $x = -\frac{9}{5}$ છે.
અહીં $\frac{a}{e} = \frac{3}{5/3} = \frac{9}{5}$ હોવાથી,નિયામિકા $x = -\frac{9}{5}$ એ નાભિ $(-ae, 0)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,નાભિ $(-3 \times \frac{5}{3}, 0) = (-5, 0)$ થાય.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r = |h| = h$ થાય (પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $h > 0$).
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt{h^2 + k^2} = r + 1 = h + 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$h^2 + k^2 = (h + 1)^2$
$h^2 + k^2 = h^2 + 2h + 1$
$k^2 = 2h + 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2x + 1$ મળે,એટલે કે $y = \sqrt{2x + 1}$ જ્યાં $x \ge 0$.

(B) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $a_6 = a + 5d = 2$,તેથી $a = 2 - 5d$.
પદો $a_1 = a = 2 - 5d$,$a_4 = a + 3d = 2 - 2d$,અને $a_5 = a + 4d = 2 - d$ છે.
ધારો કે ગુણાકાર $f(d) = a_1 a_4 a_5 = (2 - 5d)(2 - 2d)(2 - d)$ છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $f(d) = (4 - 4d - 10d + 10d^2)(2 - d) = (10d^2 - 14d + 4)(2 - d) = -10d^3 + 34d^2 - 32d + 8$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,વિકલન $f'(d) = -30d^2 + 68d - 32$ મેળવો.
$f'(d) = 0$ લેતા $\Rightarrow -2(15d^2 - 34d + 16) = 0 \Rightarrow 15d^2 - 34d + 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{30} = \frac{34 \pm 14}{30}$.
તેથી,$d_1 = \frac{8}{5}$ અને $d_2 = \frac{2}{3}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(d) = -60d + 68$.
$d = \frac{2}{3}$ માટે,$f''(\frac{2}{3}) = 28 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$d = \frac{8}{5}$ માટે,$f''(\frac{8}{5}) = -28 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
આમ,$d = \frac{8}{5}$ પર ગુણાકાર મહત્તમ થાય છે.

(A) $(x^2 + x^{-3})^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-3})^r = ^nC_r x^{2n-5r}$ છે.
$x$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $1$ લઈએ:
$2n - 5r = 1 \Rightarrow 2n = 5r + 1$.
આપેલ છે કે સહગુણક $^nC_{23}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 23$ અથવા $n-r = 23$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 23$ હોય,તો $2n = 5(23) + 1 = 116 \Rightarrow n = 58$.
કિસ્સો $2$: જો $n-r = 23$ હોય,તો $r = n-23$. આ કિંમત $2n = 5r + 1$ માં મૂકતા:
$2n = 5(n-23) + 1$ $\Rightarrow 2n = 5n - 115 + 1$ $\Rightarrow 3n = 114$ $\Rightarrow n = 38$.
$n$ ની બે શક્ય કિંમતો ($58$ અને $38$) માંથી,સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા $38$ છે.

(C) $20$ સ્તંભો એ $20$ બાજુવાળા બહુકોણના શિરોબિંદુઓ બનાવે છે.
દરેક સ્તંભની ટોચને તમામ બિન-પડોશી સ્તંભો સાથે જોડવી એટલે $20$ બાજુવાળા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવી.
$20$ માંથી $2$ સ્તંભો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_2$ છે.
$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$.
આ $190$ જોડાણોમાં બહુકોણની $20$ બાજુઓ (જે પડોશી સ્તંભોને જોડે છે) નો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,બીમ (વિકર્ણો) ની કુલ સંખ્યા $190 - 20 = 170$ છે.

(A) આપેલ છે: મધ્યક $\mu = \frac{1}{50} \sum x_i = 16$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 16$.
પ્રમાણિત વિચલનના સૂત્ર મુજબ: $\sigma^2 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - \mu^2$.
કિંમતો મૂકતા: $16^2 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 16^2$.
$\frac{1}{50} \sum x_i^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$.
આપણે $(x_i - 4)^2$ નો મધ્યક શોધવાનો છે,જે $\frac{1}{50} \sum (x_i - 4)^2$ છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{1}{50} \sum (x_i^2 - 8x_i + 16) = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 8 \left( \frac{1}{50} \sum x_i \right) + \frac{1}{50} \sum 16$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $512 - 8(16) + 16 = 512 - 128 + 16 = 400$.

(C) સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ અને $\omega^2$ એ એકમના સંકર ઘનમૂળ છે. નોંધો કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,પ્રથમ હાર $y, y, y$ બને છે.
$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$
સ્તંભની પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ \omega & y + \omega^2 - \omega & 1 - \omega \\ \omega^2 & 1 - \omega^2 & y + \omega - \omega^2 \end{array} \right|$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = y \left[ (y + \omega^2 - \omega)(y + \omega - \omega^2) - (1 - \omega)(1 - \omega^2) \right]$
$\Delta = y \left[ (y + (\omega^2 - \omega))(y - (\omega^2 - \omega)) - (1 - \omega^2 - \omega + \omega^3) \right]$
$\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^2 - \omega)^2 - (1 - (\omega^2 + \omega) + 1) \right]$
$\omega^2 + \omega = -1$ હોવાથી,$\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^4 - 2\omega^3 + \omega^2) - (1 - (-1) + 1) \right] = y \left[ y^2 - (\omega - 2 + \omega^2) - 3 \right]$
$\Delta = y \left[ y^2 - (-1 - 2) - 3 \right] = y \left[ y^2 + 3 - 3 \right] = y^3.$
આમ,જવાબ $y^3$ છે.

(C) ધારો કે $L = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \int_{6}^{f(x)} 2t \, dt$.
$f(2) = 6$ હોવાથી,સંકલન $\int_{6}^{6} 2t \, dt = 0$ થાય છે,જે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ આપે છે.
$L'\text{H\^opital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
અંશનું વિકલન: $\frac{d}{dx} \int_{6}^{f(x)} 2t \, dt = 2f(x) \cdot f'(x)$ (Leibniz ના નિયમ મુજબ).
છેદનું વિકલન: $\frac{d}{dx} (x - 2) = 1$.
તેથી,$L = \lim_{x \to 2} \frac{2f(x)f'(x)}{1} = 2f(2)f'(2)$.
$f(2) = 6$ હોવાથી,$L = 2(6)f'(2) = 12f'(2)$.

(C) સમીકરણોની સિસ્ટમનો શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & k & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(k - 2) - 3(1 - (-4)) - 1(-1 - 2k) = 0$
$2k - 4 - 3(5) + 1 + 2k = 0$
$4k - 18 = 0 \Rightarrow 4k = 18 \Rightarrow k = \frac{9}{2}$
$k = \frac{9}{2}$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$(1) 2x + 3y - z = 0$
$(2) x + \frac{9}{2}y - 2z = 0$
$(3) 2x - y + z = 0$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(2x + 3y - z) - (2x - y + z) = 0 \Rightarrow 4y - 2z = 0 \Rightarrow z = 2y \Rightarrow \frac{y}{z} = \frac{1}{2}$
$z = 2y$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 3y - 2y = 0 \Rightarrow 2x + y = 0 \Rightarrow \frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\frac{z}{x} = \frac{2y}{-0.5y} = -4$
હવે,અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + k = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 4 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$.
ગુણધર્મ $\cot^{-1}(u) = \tan^{-1}(\frac{1}{u})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$I = \int_{0}^{1} x \tan^{-1}\left(\frac{1}{1 - x^2 + x^4}\right) dx$.
આપણે દલીલને $\frac{x^2 - (x^2 - 1)}{1 + x^2(x^2 - 1)}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$I = \int_{0}^{1} x \left[ \tan^{-1}(x^2) - \tan^{-1}(x^2 - 1) \right] dx$.
ધારો કે $x^2 = t$,તો $2x dx = dt$,તેથી $x dx = \frac{1}{2} dt$.
જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=1, t=1$.
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t - 1) dt$.
બીજા સંકલન પર $\int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(a - t) dt$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(1 - t - 1) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(-t) dt$.
કારણ કે $\tan^{-1}(-t) = -\tan^{-1}(t)$:
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt$.
ખંડશઃ સંકલન કરતા: $\int \tan^{-1}(t) dt = t \tan^{-1}(t) - \int \frac{t}{1+t^2} dt = t \tan^{-1}(t) - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)$.
$0$ થી $1$ સુધી મૂલ્ય શોધતા:
$I = [1 \cdot \tan^{-1}(1) - \frac{1}{2} \ln(2)] - [0 - 0] = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ છે.
$\cos x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 6x \sec x$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\tan x$ અને $Q = 6x \sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{-\ln(\sec x)} = \frac{1}{\sec x} = \cos x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cos x = \int (6x \sec x) \cdot \cos x dx = \int 6x dx = 3x^2 + C$.
$y(\frac{\pi}{3}) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C$,તેથી $0 = \frac{\pi^2}{3} + C$,એટલે કે $C = -\frac{\pi^2}{3}$.
આમ,$y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = -\frac{3\pi^2}{12} = -\frac{\pi^2}{4}$.
$y = -\frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\pi^2}{2\sqrt{3}}$.

(B) ધારો કે $t$ સમયે પાણીની ઊંડાઈ $h$ છે અને પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ છે.
અર્ધ-શીર્ષકોણ $\theta = \tan^{-1}(1/2)$ આપેલ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{h}{2}$.
શંકુમાં પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ છે.
$r = \frac{h}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \frac{dh}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 5 \ m^3/min$ અને $h = 10 \ m$,આ કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{\pi (10)^2}{4} \frac{dh}{dt}$
$5 = \frac{100\pi}{4} \frac{dh}{dt}$
$5 = 25\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{25\pi} = \frac{1}{5\pi} \ m/min$.

(B) ધારો કે રેખા $L: \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z}{4} = \lambda$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3\lambda - 2, 1, 4\lambda)$ છે.
ધારો કે $D$ એ $A(1, -1, 2)$ થી રેખા $L$ પરનો લંબપાદ છે. $D$ એ $L$ પર હોવાથી,$D = (3\lambda - 2, 1, 4\lambda)$.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AD} = (3\lambda - 2 - 1)\hat{i} + (1 - (-1))\hat{j} + (4\lambda - 2)\hat{k} = (3\lambda - 3)\hat{i} + 2\hat{j} + (4\lambda - 2)\hat{k}$.
$\vec{AD} \perp \vec{v}$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda - 3) + 0(2) + 4(4\lambda - 2) = 0$
$9\lambda - 9 + 16\lambda - 8 = 0$
$25\lambda = 17 \implies \lambda = \frac{17}{25}$.
$\lambda$ ની કિંમત $\vec{AD}$ માં મૂકતા:
$\vec{AD} = (3(\frac{17}{25}) - 3)\hat{i} + 2\hat{j} + (4(\frac{17}{25}) - 2)\hat{k} = -\frac{24}{25}\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{18}{25}\hat{k}$.
વેધ $AD$ ની લંબાઈ $= |\vec{AD}| = \sqrt{(-\frac{24}{25})^2 + 2^2 + (\frac{18}{25})^2} = \sqrt{\frac{576}{625} + 4 + \frac{324}{625}} = \sqrt{\frac{136}{25}} = \frac{2\sqrt{34}}{5}$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{2\sqrt{34}}{5} = \sqrt{34}$.

(D) આપેલ છે કે $A^T A = 3I_3$.
$A^T A$ ની ગણતરી કરતા:
$A^T A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & 1 \\ 2x & y & -1 \\ 2x & -y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2x & 2x \\ 2y & y & -y \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4y^2+1 & 2y^2-1 & -2y^2+1 \\ 2y^2-1 & 4x^2+y^2+1 & 4x^2-y^2-1 \\ -2y^2+1 & 4x^2-y^2-1 & 4x^2+y^2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
ઘટકોને સરખાવતા:
$1$) $4y^2 + 1 = 3 \Rightarrow 4y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$) $4x^2 + y^2 + 1 = 3 \Rightarrow 4x^2 + \frac{1}{2} + 1 = 3 \Rightarrow 4x^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow x^2 = \frac{3}{8} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$.
$3$) $4x^2 - y^2 - 1 = 0 \Rightarrow 4(\frac{3}{8}) - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 0$ (સંતોષાય છે).
$4$) $2y^2 - 1 = 0 \Rightarrow 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0$ (સંતોષાય છે).
$x = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$ અને $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$(x, y)$ ની $2 \times 2 = 4$ શક્ય જોડીઓ મળે છે.
શરત $x \neq y$ તપાસતા: $\sqrt{\frac{3}{8}} \approx 0.612$ અને $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ હોવાથી,બધી $4$ જોડીઓ $x \neq y$ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,આવા $4$ મેટ્રિક્સ શક્ય છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 5$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x = 5$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ.
$LHL = \lim_{x \to 5^-} f(x) = a|\pi - 5| + 1 = a(5 - \pi) + 1$ (કારણ કે $5 > \pi$,તેથી $|\pi - 5| = 5 - \pi$).
$RHL = \lim_{x \to 5^+} f(x) = b|\pi - 5| + 3 = b(5 - \pi) + 3$.
$f(5) = a|\pi - 5| + 1 = a(5 - \pi) + 1$.
$LHL$ અને $RHL$ ને સરખાવતા:
$a(5 - \pi) + 1 = b(5 - \pi) + 3$.
પદોને ગોઠવતા:
$a(5 - \pi) - b(5 - \pi) = 3 - 1$.
$(a - b)(5 - \pi) = 2$.
તેથી,$a - b = \frac{2}{5 - \pi}$.

(D) આપેલ છે $f(x) = [x] - [\frac{x}{4}]$.
$x = 4$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} [x] - \lim_{x \to 4^+} [\frac{x}{4}] = 4 - 1 = 3$.
$x = 4$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} [x] - \lim_{x \to 4^-} [\frac{x}{4}] = 3 - 0 = 3$.
વળી,$f(4) = [4] - [\frac{4}{4}] = 4 - 1 = 3$.
અહીં $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^-} f(x) = f(4) = 3$ હોવાથી,વિધેય $f$ એ $x = 4$ આગળ સતત છે.

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) dx = e^{\sec x} f(x) + C$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) = \frac{d}{dx} (e^{\sec x} f(x))$.
જમણી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) = e^{\sec x} \cdot \sec x \tan x \cdot f(x) + e^{\sec x} f'(x)$.
બંને બાજુ $e^{\sec x}$ વડે ભાગતા:
$\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x \tan x f(x) + f'(x)$.
$f'(x)$ માટે ગોઠવતા:
$f'(x) = \sec x + \sec x \tan x + \sec^2 x + \tan x f(x) - \sec x \tan x f(x)$.
જો આપણે $f(x) = \sec x + \tan x$ લઈએ,તો $f'(x) = \sec x \tan x + \sec^2 x$ મળે છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા તે સાબિત થાય છે. તેથી,$f(x) = \sec x + \tan x + c$.
વિકલ્પોને જોતા,$f(x) = \sec x + \tan x + \frac{1}{2}$ એ યોગ્ય પસંદગી છે.

(D) સમતલો $P_1: x + y + z - 6 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y + z + 5 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y + z - 6) + \lambda(2x + 3y + z + 5) = 0$
$x(1 + 2\lambda) + y(1 + 3\lambda) + z(1 + \lambda) + (-6 + 5\lambda) = 0$.
સમતલ $P$ એ $xy$-સમતલને લંબ હોવાથી (જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{k} = (0, 0, 1)$ છે),સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 + 3\lambda, 1 + \lambda)$ એ $\vec{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{n} \cdot \vec{k} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $1 + \lambda = 0$,એટલે કે $\lambda = -1$.
સમીકરણમાં $\lambda = -1$ મુકતા:
$x(1 - 2) + y(1 - 3) + z(1 - 1) + (-6 - 5) = 0$
$-x - 2y - 11 = 0$,અથવા $x + 2y + 11 = 0$.
બિંદુ $(0, 0, 256)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|1(0) + 2(0) + 0(256) + 11|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2}} = \frac{11}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{11}{\sqrt{5}}$.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{1}{4 - x^2} + \log(x^3 - x)$ છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,બે શરતો એકસાથે સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $4 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
$2$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $x^3 - x > 0$.
અસમતાનું અવયવીકરણ કરતા: $x(x^2 - 1) > 0 \implies x(x - 1)(x + 1) > 0$.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$x(x - 1)(x + 1) > 0$ માટેનો ઉકેલ $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ મળે છે.
હવે,આપણે તે બિંદુઓને બાકાત રાખવા પડશે જ્યાં છેદ શૂન્ય થાય છે ($x = 2$ અને $x = -2$).
કારણ કે $x = -2$ એ અંતરાલ $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ માં નથી,તેથી આપણે ફક્ત $x = 2$ ને બાકાત રાખવાની જરૂર છે.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ છે.

(B) આ પ્રદેશ પરવલય $x = \frac{y^2}{2}$ અને રેખા $x = y + 4$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે。
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $\frac{y^2}{2} = y + 4$ લો。
$y^2 = 2y + 8 \Rightarrow y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$, તેથી $y = 4$ અને $y = -2$.
$y = 4$ માટે, $x = 8$ અને $y = -2$ માટે, $x = 2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-2}^{4} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$ દ્વારા મળે છે。
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) dy$.
$A = \left[ \frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6} \right]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6})$.
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3}) = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3})$.
$A = \frac{72 - 32}{3} - \frac{-18 + 4}{3} = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18$ $sq. units$.

(C) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{r}$ ના દિક-ખૂણાઓ $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
એકમ સદિશના દિક-કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,જે સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \theta = 1$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ અને $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $\theta \in (0, \pi)$,જો $\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\theta = \frac{\pi}{3}$. જો $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $\theta = \frac{2\pi}{3}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{2\pi}{3}$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે $P$ એ $(x_1, y_1, z_1)$ છે. $Q(0, -1, -3)$ એ સમતલ $3x - y + 4z - 2 = 0$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,રેખા $PQ$ સમતલને લંબ છે.
સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર $(3, -1, 4)$ છે.
રેખા $PQ$ એ $Q(0, -1, -3)$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x-0}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z+3}{4} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k, -k-1, 4k-3)$ છે. $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ સમતલ પર આવેલું છે.
$M = (\frac{3k}{2}, \frac{-k-2}{2}, \frac{4k-6}{2})$. સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3(\frac{3k}{2}) - (\frac{-k-2}{2}) + 4(\frac{4k-6}{2}) = 2$.
$9k + k + 2 + 16k - 24 = 4 \implies 26k = 26 \implies k = 1$.
આમ,$M = (1.5, -1, 1)$. સદિશ $\vec{QP} = 2\vec{QM} = 2(1.5, 0, 4) = (3, 0, 8)$.
$P = Q + (3, 0, 8) = (3, -1, 5)$.
હવે,$\vec{QR} = (3-0, -1-(-1), -2-(-3)) = (3, 0, 1)$ અને $\vec{QP} = (3, 0, 8)$.
$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{QP} \times \vec{QR}|$.
$\vec{QP} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 21\hat{j}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |21\hat{j}| = 10.5$.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 1}{-1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $C$ એ $(\lambda, 1, -\lambda - 1)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $P(\beta, 0, \beta)$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 0, -1)$ છે.
સદિશ $\vec{PC} = (\lambda - \beta, 1 - 0, -\lambda - 1 - \beta) = (\lambda - \beta, 1, -\lambda - \beta - 1)$ છે.
કારણ કે $PC$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PC} \cdot \vec{v} = 0$:
$(\lambda - \beta)(1) + (1)(0) + (-\lambda - \beta - 1)(-1) = 0$
$\lambda - \beta + \lambda + \beta + 1 = 0$
$2\lambda + 1 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{2}$.
આમ,બિંદુ $C$ એ $(-\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2})$ છે.
લંબ $PC$ ની લંબાઈ $\sqrt{(\beta - (-\frac{1}{2}))^2 + (0 - 1)^2 + (\beta - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\beta + \frac{1}{2})^2 + 1 + (\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2}$.
$2(\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
$(\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
$\beta + \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\beta + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \beta = 0$ (અસ્વીકાર્ય,કારણ કે $\beta \neq 0$).
કિસ્સો $2$: $\beta + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies \beta = -1$.
તેથી,$\beta = -1$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જરૂરી છે.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ મેળવીએ:
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{1+x} + 1$ વડે ગુણતા:
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ મેળવીએ:
$LHL = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin((p+1)x) + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin((p+1)x)}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (p+1) + 1 = p+2$.
$f(0) = q$ હોવાથી,સાતત્ય માટે $LHL = RHL = f(0)$ થવું જોઈએ:
$p + 2 = 1/2 \implies p = 1/2 - 2 = -3/2$.
$q = 1/2$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(p, q) = (-3/2, 1/2)$ મળે છે.

(D) પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયક ${\Delta _1}$ નું વિસ્તરણ કરતા:
${\Delta _1} = x(-x^2 - 1) - \sin \theta (x \sin \theta - \cos \theta ) + \cos \theta (\sin \theta + x \cos \theta )$
$= -x^3 - x - x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + x \cos^2 \theta$
$= -x^3 - x + x(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta ) + 2 \sin \theta \cos \theta$
$= -x^3 - x + x \cos 2\theta + \sin 2\theta$
તે જ રીતે,${\Delta _2}$ માટે,આપણે ${\Delta _1}$ ના પદમાં $\theta$ ની જગ્યાએ $2\theta$ મૂકીએ છીએ:
${\Delta _2} = -x^3 - x + x \cos 4\theta + \sin 4\theta$
આમ,સરવાળો ${\Delta _1} + {\Delta _2} = -2x^3 - 2x + x(\cos 2\theta + \cos 4\theta ) + (\sin 2\theta + \sin 4\theta )$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \sec^2 x$ અને $Q = \tan x \sec^2 x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{\tan x}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot e^{\tan x} = \int (\tan x \sec^2 x) e^{\tan x} dx + C$ છે.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^2 x dx$.
સંકલન $\int t e^t dt = t e^t - e^t + C$ થાય છે.
તેથી,$y e^{\tan x} = e^{\tan x} (\tan x - 1) + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = e^0 (0 - 1) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1$.
આમ,$y = \tan x - 1 + e^{-\tan x}$.
$x = -\frac{\pi}{4}$ માટે,$\tan x = -1$.
$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1 - 1 + e^{-(-1)} = e - 2$.

(A) આપણે $x = c$ આગળ $g(x) = |f(x)|$ ની વિકલનીયતા વિકલનના વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને તપાસીએ:
$g'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{|f(c + h)| - |f(c)|}{h}$
$f(c) = 0$ હોવાથી,આ પદ નીચે મુજબ સાદું રૂપ ધારણ કરે છે:
$g'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{|f(c + h)|}{h}$
વિકલનની વ્યાખ્યા $f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h)}{h}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$g'(c) = \lim_{h \to 0} \left| \frac{f(c + h)}{h} \right| \cdot \frac{|h|}{h} = |f'(c)| \cdot \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$
જો $f'(c) = 0$ હોય,તો $g'(c) = 0 \cdot (\pm 1) = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $g(x)$ એ $x = c$ આગળ વિકલનીય છે.
જો $f'(c) \neq 0$ હોય,તો લક્ષ $\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી ($h > 0$ માટે તે $1$ અને $h < 0$ માટે $-1$ છે),તેથી $g(x)$ એ $x = c$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,જો $f'(c) = 0$ હોય તો $g(x)$ એ $x = c$ આગળ વિકલનીય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^2$ અને $S = [0, 4]$.
પ્રથમ,$g(S) = \{x \in R : x^2 \in [0, 4]\} = \{x \in R : x^2 \leq 4\} = [-2, 2]$ શોધો.
હવે,$f(g(S)) = f([-2, 2]) = [0, 4] = S$ ની ગણતરી કરો.
$f(S) = f([0, 4]) = [0, 16]$ ની ગણતરી કરો.
વિકલ્પ $A$ તપાસો: $f(g(S)) = [0, 4]$ અને $f(S) = [0, 16]$,તેથી $f(g(S)) \neq f(S)$. આ વિધાન સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ તપાસો: $f(g(S)) = [0, 4] = S$. આ વિધાન સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ તપાસો: $g(f(S)) = g([0, 16]) = \{x \in R : x^2 \in [0, 16]\} = [-4, 4]$. કારણ કે $[-4, 4] \neq [0, 4]$,તેથી $g(f(S)) \neq S$. આ વિધાન સાચું છે.
વિકલ્પ $D$ તપાસો: $g(f(S)) = [-4, 4]$ અને $g(S) = [-2, 2]$. આમ,$g(f(S)) \neq g(S)$. તેથી,વિધાન $g(f(S)) = g(S)$ સાચું નથી.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,ત્રીજું સમીકરણ એ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ધારો કે ત્રીજું સમીકરણ $L_3 = a L_1 + b L_2$ છે.
$x + 3y + \lambda z = \mu = a(x + y + z - 5) + b(x + 2y + 2z - 6)$.
$x, y, z$ ના સહગુણકો અને અચળ પદની સરખામણી કરતા:
$a + b = 1$ ($x$ નો સહગુણક)
$a + 2b = 3$ ($y$ નો સહગુણક)
$a + 2b = \lambda$ ($z$ નો સહગુણક)
$5a + 6b = \mu$ (અચળ પદ)
પ્રથમ બે સમીકરણો ઉકેલતા:
$(a + 2b = 3)$ માંથી $(a + b = 1)$ બાદ કરતા $b = 2$ મળે છે.
$a + b = 1$ માં $b = 2$ મૂકતા $a = -1$ મળે છે.
હવે,$\lambda$ અને $\mu$ શોધો:
$\lambda = a + 2b = -1 + 2(2) = 3$.
$\mu = 5a + 6b = 5(-1) + 6(2) = -5 + 12 = 7$.
તેથી,$\lambda + \mu = 3 + 7 = 10$.

(A) $h(x) = f(g(x))$
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
આપેલ છે $f(x) = e^x - x$,તેથી $f'(x) = e^x - 1$.
આપેલ છે $g(x) = x^2 - x$,તેથી $g'(x) = 2x - 1$.
આમ,$h'(x) = (e^{x^2 - x} - 1)(2x - 1)$.
વિધેય $h(x)$ વધતું હોય તે માટે $h'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $(e^{x^2 - x} - 1)(2x - 1) \geq 0$.
કિસ્સો $1$: બંને અવયવો અ-ઋણ હોય.
$e^{x^2 - x} - 1 \geq 0 \Rightarrow e^{x^2 - x} \geq 1 \Rightarrow x^2 - x \geq 0 \Rightarrow x(x - 1) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.
$2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$.
છેદગણ: $x \in [1, \infty)$.
કિસ્સો $2$: બંને અવયવો અ-ધન હોય.
$e^{x^2 - x} - 1 \leq 0 \Rightarrow x^2 - x \leq 0 \Rightarrow x \in [0, 1]$.
$2x - 1 \leq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$.
છેદગણ: $x \in [0, \frac{1}{2}]$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,$x$ નો ગણ $[0, \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \,dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે વિધેય $f(x) = [\sin 2x(1 + \cos 3x)]$ માટે $f(2\pi - x) = [\sin(4\pi - 2x)(1 + \cos(6\pi - 3x))] = [-\sin 2x(1 + \cos 3x)]$ થાય છે.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} [f(x) + f(a-x)] \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x$ માટે જ્યાં $\sin 2x(1 + \cos 3x)$ પૂર્ણાંક ન હોય,ત્યાં $[t] + [-t] = -1$ થાય છે.
કારણ કે વિધેય અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં લગભગ દરેક જગ્યાએ પૂર્ણાંક નથી,તેથી:
$2I = \int_{0}^{2\pi} ( [\sin 2x(1 + \cos 3x)] + [-\sin 2x(1 + \cos 3x)] ) \,dx$
$2I = \int_{0}^{2\pi} -1 \,dx = -2\pi$.
તેથી,$I = -\pi$.

(A) આપેલ પદને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{1}{n} \left( \frac{n+r}{n} \right)^{1/3}$
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\int\limits_0^1 (1+x)^{1/3} dx$
સંકલન કરતા:
$= \left[ \frac{(1+x)^{4/3}}{4/3} \right]_0^1 = \frac{3}{4} (2^{4/3} - 1)$

(D) ધારો કે $B$ એ છોકરો અને $G$ એ છોકરી દર્શાવે છે. દરેક પરિવારમાં બે બાળકો છે,તેથી કુલ $4$ બાળકો છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બધા બાળકો છોકરીઓ છે. $E = \{GGGG\}$,તેથી $n(E) = 1$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછી બે છોકરીઓ છે.
$n(F) = n(\text{બરાબર 2 છોકરીઓ}) + n(\text{બરાબર 3 છોકરીઓ}) + n(\text{બરાબર 4 છોકરીઓ})$
$n(F) = ^4C_2 + ^4C_3 + ^4C_4 = 6 + 4 + 1 = 11$.
શરતી સંભાવના $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$.
$E \subset F$ હોવાથી,$n(E \cap F) = n(E) = 1$.
તેથી,$P(E|F) = \frac{1}{11}$.

(D) $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = (2, 1, 0)$ છે.
જેમ કે $G$ એ $BM$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $\left( \frac{3+2+1}{3}, \frac{0+10+2}{3}, \frac{-1+6+1}{3} \right) = (2, 4, 2)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{OG} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{OA} = 3\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OA} = (2)(3) + (4)(0) + (2)(-1) = 6 - 2 = 4$ છે.
માન $|\overrightarrow{OG}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ છે.
માન $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ છે.
આમ,$\cos(\angle GOA) = \frac{\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OG}| |\overrightarrow{OA}|} = \frac{4}{(2\sqrt{6})(\sqrt{10})} = \frac{4}{2\sqrt{60}} = \frac{2}{2\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x^2 - 2x + 10)^2} = \int \frac{dx}{((x - 1)^2 + 9)^2}$.
$x - 1 = 3 \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 3 \sec^2 \theta d\theta$ મળે.
સંકલન $\int \frac{3 \sec^2 \theta d\theta}{(9 \tan^2 \theta + 9)^2} = \int \frac{3 \sec^2 \theta d\theta}{81 \sec^4 \theta} = \frac{1}{27} \int \cos^2 \theta d\theta$ થશે.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{54} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{1}{54} (\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) + C$ મળે.
$\tan \theta = \frac{x - 1}{3}$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{x - 1}{3} \right)$.
વળી,$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left( \frac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9}} \right) \left( \frac{3}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9}} \right) = \frac{6(x - 1)}{x^2 - 2x + 10}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{1}{54} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x - 1}{3} \right) + \frac{3(x - 1)}{x^2 - 2x + 10} \right) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{1}{54}$ અને $f(x) = 3(x - 1)$ મળે છે.

(B) નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$x[(-3x)(x+2) - (x-3)(2x)] - (-6)[2(x+2) - (x-3)(-3)] + (-1)[2(2x) - (-3x)(-3)] = 0$
$x[-3x^2 - 6x - (2x^2 - 6x)] + 6[2x + 4 - (-3x + 9)] - 1[4x - 9x] = 0$
$x[-3x^2 - 6x - 2x^2 + 6x] + 6[2x + 4 + 3x - 9] - 1[-5x] = 0$
$x[-5x^2] + 6[5x - 5] + 5x = 0$
$-5x^3 + 30x - 30 + 5x = 0$
$-5x^3 + 35x - 30 = 0$
$-5$ વડે ભાગતા,આપણને $x^3 - 7x + 6 = 0$ મળે છે.
આ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સ્વરૂપનું ત્રિઘાત સમીકરણ છે,જ્યાં $a=1, b=0, c=-7, d=6$.
બીજનો સરવાળો $-b/a = -0/1 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(-1, 2, 6)$ છે અને રેખા પરનું બિંદુ $A(2, 3, -4)$ છે. સદિશ $\vec{AP}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{AP} = (-1 - 2)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (6 - (-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$.
રેખા સદિશ $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $P$ નું રેખાથી લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AP} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{AP} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 - (-6)) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$.
હવે,તેનું માન $|\vec{AP} \times \vec{b}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$.
સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
તેથી,$d = \sqrt{\frac{2989}{61}} = \sqrt{49} = 7$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \log_e(\sin x)$ અને $g(x) = \sin^{-1}(e^{-x})$.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $(fog)(x) = f(g(x)) = \log_e(\sin(\sin^{-1}(e^{-x})))$ શોધો.
કારણ કે $\sin(\sin^{-1}(u)) = u$,તેથી $(fog)(x) = \log_e(e^{-x}) = -x$.
આપેલ છે કે $b = (fog)(\alpha)$,તેથી $b = -\alpha$.
હવે,વિકલન $(fog)'(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1$ શોધો.
આપેલ છે કે $a = (fog)'(\alpha)$,તેથી $a = -1$.
હવે,$a = -1$ અને $b = -\alpha$ ની કિંમતો વિકલ્પોમાં મૂકો.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $a\alpha^2 - b\alpha - a = (-1)\alpha^2 - (-\alpha)\alpha - (-1) = -\alpha^2 + \alpha^2 + 1 = 1$.
તેથી,$a\alpha^2 - b\alpha - a = 1$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે કે $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા,$\cos(\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2}) = \cos \alpha$ મળે.
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha$.
પદોને ગોઠવતા: $\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha - \frac{xy}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1 - x^2)(1 - \frac{y^2}{4}) = (\cos \alpha - \frac{xy}{2})^2$.
$1 - \frac{y^2}{4} - x^2 + \frac{x^2y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha + \frac{x^2y^2}{4}$.
$1 - \frac{y^2}{4} - x^2 = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$4 - y^2 - 4x^2 = 4 \cos^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$.
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos^2 \alpha$.
કારણ કે $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$,તેથી:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin^2 \alpha$.

(D) ધારો કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ છે અને બરફના પડની જાડાઈ $h$ છે.
બરફ સહિત ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા $R = 10 + h$ છે.
બરફના પડનું ઘનફળ $V$ એ બરફ સાથેના ગોળાના ઘનફળ અને લોખંડના દડાના ઘનફળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$V = \frac{4}{3}\pi (10 + h)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$
સમય $t$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3(10 + h)^2 \cdot \frac{dh}{dt} = 4\pi (10 + h)^2 \frac{dh}{dt}$
આપેલ છે કે બરફ $50 \, cm^3/min$ ના દરે ઓગળે છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$.
સમીકરણમાં $h = 5 \, cm$ અને $\frac{dV}{dt} = -50$ મૂકતા:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (225) \frac{dh}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
આમ,બરફની જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1} = \lambda$ પરનું બિંદુ $P$ એ $(2\lambda + 1, -\lambda - 1, \lambda)$ છે.
લંબપાદ $Q$ એ બંને સમતલો $x + y + z = 3$ અને $x - y + z = 3$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ બંને સમતલોના છેદબિંદુ શોધી શકીએ છીએ.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x + y + z) + (x - y + z) = 3 + 3 \Rightarrow 2x + 2z = 6 \Rightarrow x + z = 3$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x + y + z) - (x - y + z) = 3 - 3 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$.
$Q$ એ બંને સમતલોની છેદરેખા પર હોવાથી,તેના યામ $y = 0$ અને $z = 3 - x$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,$Q$ ના યામ $(x, 0, 3 - x)$ સ્વરૂપમાં છે.
$PQ$ એ સમતલ $x + y + z = 3$ ને લંબ હોવાથી,સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{PQ} = (x - (2\lambda + 1), 0 - (-\lambda - 1), 3 - x - \lambda) = (x - 2\lambda - 1, \lambda + 1, 3 - x - \lambda)$.
$\vec{PQ} = k(1, 1, 1)$ હોવાથી,$x - 2\lambda - 1 = \lambda + 1 = 3 - x - \lambda$.
$\lambda + 1 = 3 - x - \lambda$ પરથી,$2\lambda + x = 2$.
$x - 2\lambda - 1 = \lambda + 1$ પરથી,$x - 3\lambda = 2$.
$2\lambda + x = 2$ અને $x - 3\lambda = 2$ ને ઉકેલતા,બાદબાકી કરતા: $5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ ને $x - 3\lambda = 2$ માં મૂકતા,$x = 2$ મળે છે.
તેથી,$Q$ ના યામ $(2, 0, 3 - 2) = (2, 0, 1)$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sec^{2/3} x \csc^{4/3} x \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^{2/3} x \sin^{4/3} x} \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^{2/3} x \sin^{2/3} x \cdot \sin^{2/3} x} \, dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{(\sin x \cos x)^{2/3} \cdot \sin^{2/3} x} \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\tan^{2/3} x \cdot \sin^2 x} \, dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sec^2 x}{\tan^{2/3} x} \, dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x \, dx = dt$.
જ્યારે $x = \pi/6$,ત્યારે $t = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3} = 3^{-1/2}$.
જ્યારે $x = \pi/3$,ત્યારે $t = \tan(\pi/3) = \sqrt{3} = 3^{1/2}$.
$I = \int_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}} t^{-2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{1/3}}{1/3} \right]_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}} = 3 \left[ t^{1/3} \right]_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}}$
$I = 3 \left( (3^{1/2})^{1/3} - (3^{-1/2})^{1/3} \right) = 3 \left( 3^{1/6} - 3^{-1/6} \right)$
$I = 3^{1 + 1/6} - 3^{1 - 1/6} = 3^{7/6} - 3^{5/6}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = 2x + x^2 \tan x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ છે.
બંને બાજુ $I$.$F$. વડે ગુણતા,આપણને $y \sec x = \int (2x + x^2 \tan x) \sec x dx$ મળે છે.
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x \tan x dx$.
નોંધો કે $\frac{d}{dx}(x^2 \sec x) = 2x \sec x + x^2 \sec x \tan x$ થાય છે.
તેથી,$y \sec x = x^2 \sec x + C$.
$\sec x$ વડે ભાગતા,$y = x^2 + C \cos x$ મળે છે.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = 0^2 + C \cos(0) \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$y = x^2 + \cos x$.
હવે,$y' = 2x - \sin x$.
$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2\left( \frac{\pi}{4} \right) - \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2\left( -\frac{\pi}{4} \right) - \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) - y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમતલ $2x - y + 2z + 3 = 0$ છે.
પ્રથમ,સમતલ $4x - 2y + 4z + \lambda = 0$ ને $2x - y + 2z + \frac{\lambda}{2} = 0$ તરીકે લખો.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સમતલ માટે,અંતર $\frac{|\frac{\lambda}{2} - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{1}{3}$ છે.
$\frac{|\frac{\lambda - 6}{2}|}{3} = \frac{1}{3} \implies |\lambda - 6| = 2$.
તેથી,$\lambda - 6 = 2$ અથવા $\lambda - 6 = -2$,જે $\lambda = 8$ અથવા $\lambda = 4$ આપે છે.
બીજા સમતલ $2x - y + 2z + \mu = 0$ માટે,અંતર $\frac{|\mu - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{2}{3}$ છે.
$\frac{|\mu - 3|}{3} = \frac{2}{3} \implies |\mu - 3| = 2$.
તેથી,$\mu - 3 = 2$ અથવા $\mu - 3 = -2$,જે $\mu = 5$ અથવા $\mu = 1$ આપે છે.
$\lambda + \mu$ ની મહત્તમ કિંમત $8 + 5 = 13$ છે.

(C) આ પ્રદેશ $y = 2^x$ અને $y = x + 1$ (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $x \ge 0$ હોવાથી,$|x + 1| = x + 1$) દ્વારા $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} ((x + 1) - 2^x) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + x - \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{1}$
સીમાઓ મૂકતા:
$A = \left( \frac{1^2}{2} + 1 - \frac{2^1}{\ln 2} \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 - \frac{2^0}{\ln 2} \right)$
$A = \left( \frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{\ln 2} \right) - \left( 0 + 0 - \frac{1}{\ln 2} \right)$
$A = \frac{3}{2} - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2}$
$A = \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln 2}$

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & \lambda & -\lambda \\ 3 & 2 & -4 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(-4\lambda - (-2\lambda)) - 1(-16 - (-3\lambda)) + 1(8 - 3\lambda) = 0$
$D = (-4\lambda + 2\lambda) - (-16 + 3\lambda) + (8 - 3\lambda) = 0$
$-2\lambda + 16 - 3\lambda + 8 - 3\lambda = 0$
$-8\lambda + 24 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$ માટે: $\lambda^2 - \lambda - 6 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$. અહીં,$\lambda = 3$ એ બીજ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,$n$ વખત ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > \frac{99}{100}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 - \frac{99}{100} > \left(\frac{1}{2}\right)^n$,એટલે કે $\frac{1}{100} > \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
આ $2^n > 100$ ને સમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2^6 = 64$ અને $2^7 = 128$.
તેથી,$128 > 100$ હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $7$ છે.

(C) ધારો કે $t = x^2$,તેથી $dt = 2x dx$,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{1}{2} dt$.
આપણે સંકલનને $\int x^4 \cdot e^{-x^2} \cdot x dx = \int t^2 \cdot e^{-t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^2 e^{-t} dt$ તરીકે લખી શકીએ.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા,$u = t^2$ અને $dv = e^{-t} dt$ લેતા,$du = 2t dt$ અને $v = -e^{-t}$ મળે.
$\frac{1}{2} \int t^2 e^{-t} dt = \frac{1}{2} [ -t^2 e^{-t} - \int (-e^{-t}) 2t dt ] = \frac{1}{2} [ -t^2 e^{-t} + 2 \int t e^{-t} dt ]$.
ફરીથી $\int t e^{-t} dt$ માટે ખંડશઃ સંકલન કરતા,$u = t$ અને $dv = e^{-t} dt$ લેતા:
$\int t e^{-t} dt = -t e^{-t} - \int (-e^{-t}) dt = -t e^{-t} - e^{-t}$.
કિંમતો પાછી મૂકતા: $\frac{1}{2} [ -t^2 e^{-t} + 2(-t e^{-t} - e^{-t}) ] = (-\frac{1}{2} t^2 - t - 1) e^{-t} + c$.
$t = x^2$ મૂકતા: $g(x) = -\frac{x^4}{2} - x^2 - 1$.
તેથી,$g(-1) = -\frac{(-1)^4}{2} - (-1)^2 - 1 = -\frac{1}{2} - 1 - 1 = -\frac{5}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt = (x - 2)g(x)$ છે.
આપણે $\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt}{x - 2}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $f(2) = 6$,આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે. લોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt}{\frac{d}{dx} (x - 2)}$.
લીબનીઝના સંકલન નિયમ મુજબ,અંશનું વિકલન $4(f(x))^3 \cdot f'(x)$ થાય છે.
તેથી,$\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{4(f(x))^3 \cdot f'(x)}{1} = 4(f(2))^3 \cdot f'(2)$.
આપેલ કિંમતો $f(2) = 6$ અને $f'(2) = \frac{1}{48}$ મૂકતા:
$\lim_{x \to 2} g(x) = 4 \cdot (6)^3 \cdot \frac{1}{48} = 4 \cdot 216 \cdot \frac{1}{48} = \frac{864}{48} = 18$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{2x^3 - 1}{x^4 + x} \,dx$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{2x - \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x}} \,dx$.
ધારો કે $t = x^2 + \frac{1}{x}$.
તેથી $dt = (2x - \frac{1}{x^2}) \,dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t} \,dt = \log_e |t| + C$.
$t = x^2 + \frac{1}{x} = \frac{x^3 + 1}{x}$ પાછા મૂકતા:
$I = \log_e \left| \frac{x^3 + 1}{x} \right| + C$.

(D) આપેલ છે $f(x) = x\sqrt{kx - x^2}$.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$kx - x^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે $x(k - x) \geq 0$. $x \in [0, 3]$ માટે,આના માટે $k \geq 3$ જરૂરી છે.
વિકલન $f'(x) = \sqrt{kx - x^2} + x \cdot \frac{k - 2x}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{2(kx - x^2) + kx - 2x^2}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{3kx - 4x^2}{2\sqrt{kx - x^2}}$.
$f(x)$ એ $[0, 3]$ પર વધતું વિધેય હોવા માટે,આપણે $x \in (0, 3)$ માટે $f'(x) \geq 0$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ છે $3kx - 4x^2 \geq 0$,અથવા $x(3k - 4x) \geq 0$.
$x > 0$ હોવાથી,આપણને $3k - 4x \geq 0$,અથવા $k \geq \frac{4x}{3}$ ની જરૂર છે.
આ શરત $[0, 3]$ માં તમામ $x$ માટે સાચી હોવા માટે,$k$ એ $[0, 3]$ પર $\frac{4x}{3}$ ની મહત્તમ કિંમત જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ,જે $\frac{4(3)}{3} = 4$ છે.
આમ,$m = 4$.
હવે,$k = 4$ માટે,$f(x) = x\sqrt{4x - x^2}$.
$[0, 3]$ પર મહત્તમ કિંમત $M$ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = \frac{12x - 4x^2}{2\sqrt{4x - x^2}} = \frac{2x(3 - x)}{\sqrt{4x - x^2}}$ તપાસીએ.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x = 3$ છે. $f(0) = 0$ અને $f(3) = 3\sqrt{4(3) - 3^2} = 3\sqrt{12 - 9} = 3\sqrt{3}$ હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $M = 3\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$(m, M) = (4, 3\sqrt{3})$.

(B) આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં પરવલય $y^2 = 4x$ અને રેખા $x + y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x = 1 - y$ ને $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4(1 - y) \implies y^2 + 4y - 4 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.
$y \ge 0$ હોવાથી,$y = 2\sqrt{2} - 2$. તેથી $x = 1 - y = 1 - (2\sqrt{2} - 2) = 3 - 2\sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{3-2\sqrt{2}} 2\sqrt{x} dx + \int_{3-2\sqrt{2}}^{1} (1 - x) dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{3-2\sqrt{2}} + \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{3-2\sqrt{2}}^{1}$.
$= \frac{4}{3} (3-2\sqrt{2})^{3/2} + \left( (1 - 1/2) - ((3-2\sqrt{2}) - \frac{(3-2\sqrt{2})^2}{2}) \right)$.
અહીં $(3-2\sqrt{2}) = (\sqrt{2}-1)^2$ છે,તેથી $(3-2\sqrt{2})^{3/2} = (\sqrt{2}-1)^3 = 5\sqrt{2} - 7$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{8}{3}\sqrt{2} - \frac{10}{3}$.
આમ,$a = \frac{8}{3}$ અને $b = -\frac{10}{3}$.
$a - b = \frac{8}{3} - (-\frac{10}{3}) = \frac{18}{3} = 6$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ મળે છે.
$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y^2}$ અને $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$ છે.
ધારો કે $t = -\frac{1}{y}$,તો $dt = \frac{1}{y^2} dy$. વળી,$\frac{1}{y} = -t$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\int (-t) e^t dt = - (t e^t - e^t) = e^t(1 - t) = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y})$ મળે છે.
આમ,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) + C$.
આપેલ છે કે $x=1$ ત્યારે $y=1$,તેથી $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.
તેથી,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) - e^{-1}$.
$y=2$ માટે,$x e^{-1/2} = e^{-1/2}(1 + 1/2) - e^{-1} = \frac{3}{2} e^{-1/2} - e^{-1}$.
$e^{-1/2}$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{3}{2} - e^{-1/2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે સીડીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર $x$ છે અને સીડીના ઉપરના છેડાની જમીનથી ઊંચાઈ $y$ છે. સીડીની લંબાઈ $L = 2 \ m = 200 \ cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 200^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે ઉપરનો છેડો $25 \ cm/sec$ ના દરે નીચે સરકે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -25 \ cm/sec$.
જ્યારે $y = 1 \ m = 100 \ cm$ હોય,ત્યારે $x^2 + 100^2 = 200^2$ પરથી $x^2 = 40000 - 10000 = 30000$ મળે,તેથી $x = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \ cm$.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(100\sqrt{3}) \frac{dx}{dt} + (100)(-25) = 0$.
$(100\sqrt{3}) \frac{dx}{dt} = 2500$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{2500}{100\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}} \ cm/sec$.

(C) આપેલ સમીકરણ ${e^y} + xy = e$ છે.
$x = 0$ આગળ,${e^y} + 0 = e \implies {e^y} = e \implies y = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$.
$(0, 1)$ બિંદુએ,${e^1} \frac{dy}{dx} + 0 + 1 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$.
હવે,${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
${e^y} \frac{d^2y}{dx^2} + {e^y} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 0$.
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ મૂકતા:
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left( -\frac{1}{e} \right)^2 + 0 + 2 \left( -\frac{1}{e} \right) = 0$.
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$.
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $\left( -\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2} \right)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1} \left( \frac{12}{13} \right)$ અને $\beta = \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right)$.
તેથી $\sin \alpha = \frac{12}{13} \implies \cos \alpha = \sqrt{1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2} = \frac{5}{13}$.
અને $\sin \beta = \frac{3}{5} \implies \cos \beta = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \frac{4}{5}$.
સૂત્ર $\sin^{-1} x - \sin^{-1} y = \sin^{-1} (x \sqrt{1 - y^2} - y \sqrt{1 - x^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{-1} \left( \frac{12}{13} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{12}{13} \times \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{48}{65} - \frac{15}{65} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{33}{65} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\sin^{-1} \left( \frac{33}{65} \right) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{33}{65} \right)$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\cos^{-1} x = \sin^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^{-1} \left( \frac{33}{65} \right) = \cos^{-1} \sqrt{1 - \left( \frac{33}{65} \right)^2} = \cos^{-1} \left( \frac{56}{65} \right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left( \frac{56}{65} \right)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.