JEE Main 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) પ્રતિવર્તી એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
શરૂઆતમાં,$\eta = \frac{1}{6}$,તેથી $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6}T_1$ ...$(i)$
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62^\circ C$ (જે $62 \ K$ ને સમાન છે) ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 2\eta = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ થાય છે.
નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ છે.
આમ,$\eta' = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ મૂકતા: $1 - \frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$1 - (\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1}) = \frac{1}{3} \implies 1 - \frac{5}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$\frac{1}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K = (372 - 273)^\circ C = 99^\circ C$.
હવે,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K = (310 - 273)^\circ C = 37^\circ C$.

(A) આપેલ વેગ સદિશ $\vec v = K(y\hat i + x\hat j)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec v = v_x \hat i + v_y \hat j = \frac{dx}{dt} \hat i + \frac{dy}{dt} \hat j$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = Ky$ અને $\frac{dy}{dt} = Kx$ મળે છે.
કણનો પથ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ: $\frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{Kx}{Ky}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y \, dy = x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int y \, dy = \int x \, dx$ મળે છે.
આના પરિણામે $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C'$ મળે છે,જ્યાં $C'$ એક અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $y^2 = x^2 + C$ મળે છે,જ્યાં $C = 2C'$ એ બીજો અચળાંક છે.
આમ,પથનું સમીકરણ $y^2 = x^2 + \text{અચળાંક}$ છે.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાનું દળ $m$ છે. સળિયા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ થી $a/2$ અંતરે છે,અને સળિયા $BC$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $B$ થી $a/2$ અંતરે છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,નિલંબન બિંદુ $A$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સળિયા $AB$ ના વજનને કારણે ટોર્ક $\tau_1 = mg \cdot (a/2) \sin \theta$ છે.
સળિયા $BC$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $A$ થી આડું અંતર $(a \sin \theta + (a/2) \cos \theta)$ છે.
સંતુલન માટે,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નિલંબન બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$x_{cm} = \frac{m(a/2 \sin \theta) + m(a \sin \theta + a/2 \cos \theta)}{2m} = 0$
$(a/2) \sin \theta + a \sin \theta + (a/2) \cos \theta = 0$
$(3a/2) \sin \theta = -(a/2) \cos \theta$
મૂલ્યો લેતા,$3 \sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = 1/3$.

(A) વાયુના અણુની rms ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે, જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં સમાન તાપમાન $T = 300\, K$ પર હોવાથી, તેમની rms ઝડપનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ થશે:
$\frac{V_{rms}(\text{હિલિયમ})}{V_{rms}(\text{આર્ગોન})} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{He}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{Ar}}}} = \sqrt{\frac{M_{Ar}}{M_{He}}}$
અહીં $M_{He} = 4\, u$ અને $M_{Ar} = 40\, u$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{V_{rms}(\text{હિલિયમ})}{V_{rms}(\text{આર્ગોન})} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$.

(D) જ્યારે બ્લોકનો પ્રવેગ શૂન્ય થાય ત્યારે તે તેની મહત્તમ ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે.
આ બિંદુએ,સ્પ્રિંગ બળ લાગુ પડેલા બળ $F$ ને સંતુલિત કરે છે,તેથી $kx = F$,જે $x = \frac{F}{k}$ આપે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{\text{spring}} + W_F = \Delta K.E.$
$-\frac{1}{2}kx^2 + Fx = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
સમીકરણમાં $x = \frac{F}{k}$ મૂકતા:
$-\frac{1}{2}k\left(\frac{F}{k}\right)^2 + F\left(\frac{F}{k}\right) = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$-\frac{F^2}{2k} + \frac{F^2}{k} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$\frac{F^2}{2k} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$v_{\max}^2 = \frac{F^2}{mk}$
$v_{\max} = \frac{F}{\sqrt{mk}}$

(A) ધારો કે $L$ લંબાઈના સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_0$ છે. વિભાગ $AP$ (લંબાઈ $L/2$) નો અવરોધ $R_0/2$,વિભાગ $PQ$ (લંબાઈ $L$) નો અવરોધ $R_0$,અને વિભાગ $QB$ (લંબાઈ $L/2$) નો અવરોધ $R_0/2$ છે. વળેલા સળિયા $PQ$ ની કુલ લંબાઈ $3L/2$ છે (બે ઉભા વિભાગો $L/4$ અને એક આડો વિભાગ $L$). તેનો અવરોધ $R_{bent} = R_0/4 + R_0 + R_0/4 = 1.5R_0$ છે. મુખ્ય સળિયાના વિભાગ $PQ$ નો અવરોધ $R_0$ છે. આ બંને સમાંતરમાં હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_0 \times 1.5R_0}{R_0 + 1.5R_0} = \frac{1.5}{2.5}R_0 = 0.6R_0$ થાય. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_{AP} + R_p + R_{QB} = 0.5R_0 + 0.6R_0 + 0.5R_0 = 1.6R_0$ છે. $PQ$ વચ્ચેનો તાપમાનનો ઘટાડો $\Delta T_{PQ} = \Delta T_{total} \times \frac{R_p}{R_{eq}} = 120 \times \frac{0.6R_0}{1.6R_0} = 120 \times \frac{6}{16} = 120 \times 0.375 = 45\,^oC$ થાય.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ એ $\Delta U = Q - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
કારણ કે પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ અને અંતિમ અવસ્થા $B$ બંને માર્ગો $ACB$ અને $ADB$ માટે સમાન છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ બંને પ્રક્રિયાઓ માટે સમાન હોવો જોઈએ.
$ACB$ માર્ગ માટે:
$Q_{ACB} = 60 \, J$
$W_{ACB} = 30 \, J$
$\Delta U = Q_{ACB} - W_{ACB} = 60 - 30 = 30 \, J$
$ADB$ માર્ગ માટે:
$W_{ADB} = 10 \, J$
કારણ કે $\Delta U$ સમાન છે,$\Delta U = Q_{ADB} - W_{ADB}$
$30 = Q_{ADB} - 10$
$Q_{ADB} = 30 + 10 = 40 \, J$
આમ,$ADB$ માર્ગમાં તંત્રમાં દાખલ થતી ઉષ્મા $40 \, J$ છે.

(C) દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
જ્યારે કાર સ્થિર હોય,ત્યારે તણાવ $T_1 = Mg$. તેથી,$60 = \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$.
જ્યારે કાર $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ થાય છે. તણાવ $T_2 = M\sqrt{g^2 + a^2}$ બને છે.
તેથી,$60.5 = \sqrt{\frac{M\sqrt{g^2 + a^2}}{\mu}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{60.5}{60} = \sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{g}} = \left(\frac{g^2 + a^2}{g^2}\right)^{1/4}$.
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા: $\left(1 + \frac{0.5}{60}\right)^4 = 1 + \frac{a^2}{g^2}$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 + 4 \times \frac{0.5}{60} = 1 + \frac{a^2}{g^2}$.
$\frac{2}{60} = \frac{a^2}{g^2} \Rightarrow \frac{a^2}{g^2} = \frac{1}{30}$.
$a = \frac{g}{\sqrt{30}} \approx \frac{g}{5.47} \approx \frac{g}{5}$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10\, kg$,ખૂણો $\theta = 45^\circ$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.6$,નીચેની તરફનું બળ $F_{down} = 3\, N$,$g = 10\, ms^{-2}$.
બ્લોક નીચેની તરફ ગતિ ન કરે તે માટે,ઉપરની તરફનું બળ $P$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ અને લગાડેલા બળના નીચેની તરફના ઘટકોને સંતુલિત કરવું જોઈએ,જેમાં ઉપરની તરફ લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ બાદ કરવું પડે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફનું બળ $mg \sin \theta = 10 \times 10 \times \sin 45^\circ = 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 70.71\, N$.
લંબબળ $N = mg \cos \theta = 10 \times 10 \times \cos 45^\circ = 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 70.71\, N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = 0.6 \times 70.71 \approx 42.43\, N$.
નીચેની તરફની ગતિ રોકવા માટે,લઘુત્તમ ઉપરનું બળ $P$ આ શરત સંતોષવી જોઈએ: $P + f_{max} \geq mg \sin \theta + 3\, N$.
$P + 42.43 \geq 70.71 + 3$.
$P \geq 73.71 - 42.43 = 31.28\, N$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,લઘુત્તમ બળ $P$ નું મૂલ્ય $32\, N$ છે.

(A) જો સળિયો મુક્ત હોત,તો તેનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta L = L \alpha \Delta T$ થાત.
સળિયાને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવામાં આવતો હોવાથી,ઉષ્મીય વિકૃતિ $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ થાય.
આ વિસ્તરણને રોકવા માટે લગાડવામાં આવતું પ્રતિબળ $\text{Stress} = \frac{F}{A}$ છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $Y = \frac{F/A}{\alpha \Delta T} = \frac{F}{A \alpha \Delta T}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બ્લોક $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. અથડામણો સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દરેક અથડામણ પછી બ્લોક્સ એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે.
$1$. $A$ અને $B$ વચ્ચેની અથડામણ:
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = (m + m)v_1 = 2mv_1 \implies v_1 = v/2$.
$2$. સંયુક્ત દળ $(A+B)$ અને $C$ વચ્ચેની અથડામણ:
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $(2m)v_1 = (2m + M)v_f$.
$v_1 = v/2$ મૂકતા: $(2m)(v/2) = (2m + M)v_f \implies mv = (2m + M)v_f \implies v_f = \frac{mv}{2m + M}$.
$3$. ગતિઊર્જાનું વિશ્લેષણ:
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(2m + M)v_f^2 = \frac{1}{2}(2m + M) \left( \frac{mv}{2m + M} \right)^2 = \frac{m^2v^2}{2(2m + M)}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના $5/6$ ભાગનો વ્યય થાય છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના $1/6$ ભાગ જેટલી હોય:
$K_f = \frac{1}{6} K_i \implies \frac{m^2v^2}{2(2m + M)} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right)$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{m}{2m + M} = \frac{1}{6} \implies 6m = 2m + M \implies M = 4m \implies M/m = 4$.

(C) ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ એટલે કે ગ્રહના સ્થાન સદિશ દ્વારા સૂર્યની સાપેક્ષે એકમ સમયમાં કપાતું ક્ષેત્રફળ.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રીય વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$
જ્યાં $L$ એ ગ્રહનું કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ તેનું દળ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $1$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ શોધો: ધારો કે સસ્પેન્શન પોઈન્ટથી $m$ દળનું અંતર $x_1$ અને $m/2$ દળનું અંતર $x_2$ છે. આપેલ છે કે $x_1 + x_2 = l$. $CM$ માટે,$m x_1 = (m/2) x_2 \implies x_2 = 2x_1$. તેથી,$3x_1 = l \implies x_1 = l/3$ અને $x_2 = 2l/3$.
$2$. સસ્પેન્શન પોઈન્ટની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$: $I = m(l/3)^2 + (m/2)(2l/3)^2 = m(l^2/9) + (m/2)(4l^2/9) = ml^2/9 + 2ml^2/9 = ml^2/3$.
$3$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega$: $\omega = \sqrt{\frac{k}{I}} = \sqrt{\frac{k}{ml^2/3}} = \sqrt{\frac{3k}{ml^2}}$.
$4$. મહત્તમ કોણીય વેગ $\omega_{max}$: ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2}I\omega_{max}^2 = \frac{1}{2}k\theta_0^2 \implies \omega_{max} = \theta_0 \sqrt{\frac{k}{I}} = \theta_0 \omega$.
$5$. સરેરાશ સ્થાન પર તણાવ $T$: તણાવ કોઈપણ દળ પર કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે. $l/3$ અંતરે રહેલા $m$ દળ માટે,$T = m \omega_{max}^2 (l/3) = m (\theta_0^2 \frac{k}{I}) (l/3) = m \theta_0^2 \frac{k}{ml^2/3} \frac{l}{3} = \frac{k\theta_0^2}{l}$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2\,kg$, સ્થાન $x = 3t^2 + 5$.
સૌ પ્રથમ, સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરીને વેગ $v$ શોધો: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5) = 6t\,m/s$.
$t = 0\,s$ સમયે, વેગ $v_i = 6(0) = 0\,m/s$.
$t = 5\,s$ સમયે, વેગ $v_f = 6(5) = 30\,m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K$ જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
$W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$.
$W = \frac{1}{2}(2)(30)^2 - \frac{1}{2}(2)(0)^2$.
$W = 900 - 0 = 900\,J$.

(B) કદનો પ્રવાહ દર $Q = A \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = \sqrt{2gh}$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ છે.
આપેલ છે: $Q = 0.74\,m^3/min = \frac{0.74}{60}\,m^3/s$,ત્રિજ્યા $r = 2\,cm = 0.02\,m$,અને $g = 9.8\,m/s^2$.
છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.02)^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-4}\,m^2$ છે.
આ કિંમતોને $Q = A\sqrt{2gh}$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{0.74}{60} = (3.14 \times 4 \times 10^{-4}) \sqrt{2 \times 9.8 \times h}$.
$\frac{0.01233}{1.256 \times 10^{-3}} = \sqrt{19.6h}$.
$9.816 = \sqrt{19.6h}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $96.36 = 19.6h$.
$h = \frac{96.36}{19.6} \approx 4.92\,m$.
આમ,ઊંડાઈ આશરે $4.8\,m$ ની નજીક છે.

(B) ઉપગ્રહને $h$ ઊંચાઈ પર લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_1$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $E_1 = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$h$ ઊંચાઈ પર વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી ગતિ ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2}mv^2$ છે. કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ હોવાથી,$E_2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{R+h} \right) = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
$E_1 = E_2$ લેતા:
$\frac{GMmh}{R(R+h)} = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
બંને બાજુથી $GMm$ અને $(R+h)$ સામાન્ય પદો દૂર કરતા:
$\frac{h}{R} = \frac{1}{2} \implies h = \frac{R}{2}$.
અહીં $R = 6.4 \times 10^3 \, km$ આપેલ હોવાથી,$h = \frac{6.4 \times 10^3}{2} = 3.2 \times 10^3 \, km$ મળે છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્ય $W = Q_1 - Q_2 = Q_1(1 - T_2/T_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
એન્જિન શ્રેણીમાં હોવાથી,એન્જિન $A$ દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા એ એન્જિન $B$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા છે।
ધારો કે $Q_1$ એ $A$ ને આપેલી ઉષ્મા છે,$Q_2$ એ $A$ દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા છે,અને $Q_3$ એ $B$ દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા છે।
એન્જિન $A$ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_1 = Q_1 - Q_2$ છે।
એન્જિન $B$ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_2 = Q_2 - Q_3$ છે।
આપેલ છે કે $W_1 = W_2,$ તેથી $Q_1 - Q_2 = Q_2 - Q_3.$
કાર્નોટ એન્જિનના ગુણધર્મ મુજબ,$Q_1/T_1 = Q_2/T_2 = Q_3/T_3 = k.$
તેથી,$Q_1 = kT_1,$ $Q_2 = kT_2,$ અને $Q_3 = kT_3.$
આ કિંમતો કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $kT_1 - kT_2 = kT_2 - kT_3.$
$T_1 - T_2 = T_2 - T_3 \Rightarrow 2T_2 = T_1 + T_3.$
$T_2 = (T_1 + T_3) / 2 = (600 + 400) / 2 = 1000 / 2 = 500 \, K.$

(C) $SHM$ માં કણની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
$SHM$ માં કણની ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે $PE = KE$,તેથી:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$x^2 = A^2 - x^2$
$2x^2 = A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2}$
$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$
આમ,કણનું સ્થાન $\frac{A}{\sqrt{2}}$ હશે.

(D) ધારો કે $T$ એ દોરડામાં તણાવ છે અને $F$ એ લગાડવામાં આવેલું આડું બળ છે. $m = 10\,kg$ દળ સંતુલનમાં છે.
બળોને આડા અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
શિરોલંબ ઘટક: $T\,cos\,45^o = mg$
આડો ઘટક: $T\,sin\,45^o = F$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T\,sin\,45^o}{T\,cos\,45^o} = \frac{F}{mg}$
$\tan\,45^o = \frac{F}{mg}$
કારણ કે $\tan\,45^o = 1$,તેથી $F = mg$.
આપેલ છે કે $m = 10\,kg$ અને $g = 10\,ms^{-2}$,તેથી $F = 10 \times 10 = 100\,N$.

(C) વાયુના અણુઓનો rms વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,જો વેગ બમણો થાય,તો તાપમાન $4$ ગણું વધવું જોઈએ.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300\,K.$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 4 \times 300 = 1200\,K.$
નાઇટ્રોજન $(N_2)$ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી મુક્તતાના અંશો $f = 5.$
મોલની સંખ્યા $n = \frac{15}{28}.$
અચળ કદે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T = n \left( \frac{f}{2}R \right) (T_2 - T_1).$
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = \left( \frac{15}{28} \right) \times \left( \frac{5}{2} \times 8.3 \right) \times (1200 - 300).$
$\Delta Q = \left( \frac{15}{28} \right) \times 20.75 \times 900 \approx 10000\,J = 10\,kJ.$

(B) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $\ell = 0.5\,m$ છે. સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધરીથી $\frac{\ell}{2}$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $30^o$ ના ખૂણે હોય,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સમક્ષિતિજ સ્થિતિથી ઊંચાઈ $h = \frac{\ell}{2} \sin(30^o) = \frac{\ell}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\ell}{4}$ થાય.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ કોણીય ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$mg h = \frac{1}{2} I \omega^2$
જ્યાં $I = \frac{m\ell^2}{3}$ એ ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$mg \left( \frac{\ell}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{m\ell^2}{3} \right) \omega^2$
$g \frac{\ell}{4} = \frac{\ell^2}{6} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{6g}{4\ell} = \frac{3g}{2\ell}$
$g = 10\,ms^{-2}$ અને $\ell = 0.5\,m$ કિંમતો મૂકતા:
$\omega^2 = \frac{3 \times 10}{2 \times 0.5} = \frac{30}{1} = 30$
$\omega = \sqrt{30}\,rad\,s^{-1}$.

(C) ટોર્સનલ દોલનોની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
કેન્દ્રમાંથી લટકાવેલા $M$ દળ અને $2L$ લંબાઈના સળિયા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{M(2L)^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ છે.
તેથી,$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{ML^2/3}}$.
જ્યારે કેન્દ્રથી $L/2$ અંતરે $m$ દળના બે પદાર્થો જોડવામાં આવે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_1 + 2 \times m(L/2)^2 = \frac{ML^2}{3} + \frac{mL^2}{2}$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $f' = f - 0.20f = 0.8f$ છે.
તેથી,$0.8f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{I_2}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f}{0.8f} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1}} \Rightarrow \frac{1}{0.8} = \sqrt{\frac{ML^2/3 + mL^2/2}{ML^2/3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{0.64} = 1 + \frac{3m}{2M} \Rightarrow 1.5625 = 1 + \frac{3m}{2M}$.
$\frac{3m}{2M} = 0.5625 \Rightarrow \frac{m}{M} = 0.5625 \times \frac{2}{3} = 0.375$.
આમ,$m/M$ ગુણોત્તર $0.37$ ની નજીક છે.

(C) સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ નીચે મુજબ છે:
$LC = \frac{\text{પિચ}}{\text{વિભાગોની સંખ્યા}} = \frac{0.5\,mm}{100} = 0.005\,mm$.
વર્તુળાકાર સ્કેલનો શૂન્ય મુખ્ય રેખાની $3$ વિભાગ નીચે હોવાથી,તેમાં ધન શૂન્ય ત્રુટિ છે:
$\text{શૂન્ય ત્રુટિ} = +3 \times LC = 3 \times 0.005\,mm = 0.015\,mm$.
અવલોકિત રીડિંગ નીચે મુજબ છે:
$\text{અવલોકિત રીડિંગ} = \text{મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ} (MSR) + (\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ રીડિંગ} (CSR) \times LC)$.
$\text{અવલોકિત રીડિંગ} = 5.5\,mm + (48 \times 0.005\,mm) = 5.5\,mm + 0.240\,mm = 5.740\,mm$.
સાચી જાડાઈ અવલોકિત રીડિંગમાંથી શૂન્ય ત્રુટિ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$\text{જાડાઈ} = \text{અવલોકિત રીડિંગ} - \text{શૂન્ય ત્રુટિ}$.
$\text{જાડાઈ} = 5.740\,mm - 0.015\,mm = 5.725\,mm$.

(A) ખુલ્લી પાઇપ માટે $n$-મી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v_s}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બીજી હાર્મોનિક $(n=2)$ માટે,$f = \frac{2 v_s}{2L} = \frac{v_s}{L}.$
અહીં $v_s = 330\,m/s$ અને $L = 0.5\,m$ આપેલ છે,તેથી ઉદગમની આવૃત્તિ $f = \frac{330}{0.5} = 660\,Hz$ થાય.
વ્યક્તિ ઉદગમ તરફ ગતિ કરી રહી છે,તેથી ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અવલોકિત આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v_s + v_o}{v_s} \right)$ મળે,
જ્યાં $v_o = 10\,km/h = 10 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{9} \approx 2.78\,m/s.$
કિંમતો મૂકતા: $f' = 660 \left( \frac{330 + 2.78}{330} \right) = 660 \left( 1 + \frac{2.78}{330} \right) = 660 + 660 \times 0.00842 \approx 660 + 5.56 \approx 665.56\,Hz.$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,આવૃત્તિ $666\,Hz$ મળે છે.

(C) ધારો કે રેસનું અંતર $L$ છે. કાર $A$ માટે,$L = \frac{1}{2}a_1 t_1^2$,તેથી $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{a_1}}$.
કાર $B$ માટે,$L = \frac{1}{2}a_2 t_2^2$,તેથી $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{a_2}}$.
આપેલ છે કે $t_2 - t_1 = t$,તેથી $\sqrt{2L} \left( \frac{1}{\sqrt{a_2}} - \frac{1}{\sqrt{a_1}} \right) = t \Rightarrow \sqrt{2L} \left( \frac{\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}}{\sqrt{a_1 a_2}} \right) = t$.
અંતિમ ઝડપ $v_A = a_1 t_1 = \sqrt{2a_1 L}$ અને $v_B = a_2 t_2 = \sqrt{2a_2 L}$ છે.
આપેલ છે કે $v_A - v_B = v$,તેથી $\sqrt{2L} (\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}) = v$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{v}{t} = \frac{\sqrt{2L}(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})}{\sqrt{2L} \frac{(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})}{\sqrt{a_1 a_2}}} = \sqrt{a_1 a_2}$.
તેથી,$v = \sqrt{a_1 a_2} t$.

(A) વેગના ઘટકો સ્થાનના યામોનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$v_x = \frac{dx}{dt} = -a \omega \sin \omega t$
$v_y = \frac{dy}{dt} = a \omega \cos \omega t$
$v_z = \frac{dz}{dt} = a \omega$
ઝડપ $v$ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
$v = \sqrt{(-a \omega \sin \omega t)^2 + (a \omega \cos \omega t)^2 + (a \omega)^2}$
$v = \sqrt{a^2 \omega^2 \sin^2 \omega t + a^2 \omega^2 \cos^2 \omega t + a^2 \omega^2}$
$v = \sqrt{a^2 \omega^2 (\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t) + a^2 \omega^2}$
કારણ કે $\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$v = \sqrt{a^2 \omega^2 (1) + a^2 \omega^2} = \sqrt{2 a^2 \omega^2} = \sqrt{2} a \omega$

(D) ગોળાકાર મોપ પર $x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ પહોળાઈની એક નાની રીંગ ધારો. આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2\pi x dx$ છે. મોપનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે. કારણ કે બળ $F$ સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે,આ રીંગ પર લાગતું લંબબળ $dN = (F/A) dA = (F/(\pi R^2)) \times 2\pi x dx = (2F/R^2) x dx$ થશે. આ રીંગ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $df = \mu dN = \mu (2F/R^2) x dx$ છે. પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ આ ઘર્ષણ બળને કારણે લાગતું ટોર્ક $d\tau = x df = x \times \mu (2F/R^2) x dx = (2\mu F/R^2) x^2 dx$ છે. કુલ ટોર્ક $\tau$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = R$ સુધી $d\tau$ નું સંકલન કરીએ: $\tau = \int_0^R (2\mu F/R^2) x^2 dx = (2\mu F/R^2) [x^3/3]_0^R = (2\mu F/R^2) (R^3/3) = \frac{2}{3}\mu FR$.

(C) ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ પર છે. સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
$ABOD$ ફલક $xz$-સમતલમાં છે. તેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$D(a,0,0)$,$A(a,0,a)$,અને $B(0,0,a)$ છે. $ABOD$ ફલકનું કેન્દ્ર $G$ એ તેના શિરોબિંદુઓની સરેરાશ છે: $G = (\frac{a+0}{2}, 0, \frac{a+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})$. તેથી,$\vec{r}_G = \frac{a}{2}\hat{i} + \frac{a}{2}\hat{k}$.
$BEFO$ ફલક $yz$-સમતલમાં છે. તેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$F(0,a,0)$,$E(0,a,a)$,અને $B(0,0,a)$ છે. $BEFO$ ફલકનું કેન્દ્ર $H$ એ તેના શિરોબિંદુઓની સરેરાશ છે: $H = (0, \frac{a+0}{2}, \frac{a+0}{2}) = (0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$. તેથી,$\vec{r}_H = \frac{a}{2}\hat{j} + \frac{a}{2}\hat{k}$.
$G$ થી $H$ સુધીનો સદિશ $\vec{GH} = \vec{r}_H - \vec{r}_G = (0\hat{i} + \frac{a}{2}\hat{j} + \frac{a}{2}\hat{k}) - (\frac{a}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{a}{2}\hat{k}) = -\frac{a}{2}\hat{i} + \frac{a}{2}\hat{j} = \frac{a}{2}(\hat{j} - \hat{i})$.

(B) $1$. પ્લેટફોર્મ $a = g/2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
$2$. બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ શોધી શકાય: $N - mg = ma$.
$3$. $a = g/2$ મૂકતા,આપણને $N = mg + m(g/2) = 3mg/2$ મળે છે.
$4$. સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $t$ સમયમાં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(g/2)t^2 = \frac{gt^2}{4}$ થાય.
$5$. લંબબળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = N \cdot s = (3mg/2) \cdot (gt^2/4) = \frac{3mg^2t^2}{8}$ છે.

(A) $v$ ઝડપ સાથે છોડવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $R = \frac{v^2}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળીઓ તમામ શક્ય દિશાઓમાં છોડવામાં આવતી હોવાથી,જમીન પર આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi \left( \frac{v^2}{g} \right)^2 = \frac{\pi v^4}{g^2}$ થાય.
આ સૂચવે છે કે ક્ષેત્રફળ $A \propto v^4$ છે.
આપેલ ઝડપ $v_A = 1 \ km/s$ અને $v_B = 2 \ km/s$ છે.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_A}{A_B} = \left( \frac{v_A}{v_B} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1:16$ છે.

(A) બે એકમ પદ્ધતિઓ વચ્ચે રૂપાંતર માટેનું સૂત્ર $n_2 = n_1 \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^a \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^b \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^c$ છે.
અહીં,ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-3} T^0]$ છે,તેથી $a=1, b=-3, c=0$.
આપેલ છે: $n_1 = 128$,$M_1 = 1 \ kg = 1000 \ g$,$L_1 = 1 \ m = 100 \ cm$.
નવા એકમો: $M_2 = 50 \ g$,$L_2 = 25 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$n_2 = 128 \times \left( \frac{1000 \ g}{50 \ g} \right)^1 \times \left( \frac{100 \ cm}{25 \ cm} \right)^{-3}$
$n_2 = 128 \times (20) \times (4)^{-3}$
$n_2 = 128 \times 20 \times \frac{1}{64}$
$n_2 = 2 \times 20 = 40$.

(A) ઉર્જા ફ્લક્સ (ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા) $J$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $J = \frac{1}{A} \frac{dQ}{dt} = k \frac{\Delta T}{\ell}$.
આપેલ કિંમતો:
ઉષ્મીય વાહકતા $k = 0.1\, W\, K^{-1}\, m^{-1}$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = T_1 - T_2 = 10^3 - 10^2 = 1000 - 100 = 900\, K$.
જાડાઈ $\ell = 1\, m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$J = 0.1 \times \frac{900}{1} = 90\, W\, m^{-2}$.
તેથી,ઉર્જા ફ્લક્સ $90\, W\, m^{-2}$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિન સમાન કાર્યક્ષમતા ધરાવે તે માટે,તેમની કાર્યક્ષમતા સમાન હોવી જોઈએ: $\eta_1 = \eta_2 = \eta_3 = \eta$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી:
$1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_3}{T_2} = 1 - \frac{T_4}{T_3} = \eta$.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાનનો ગુણોત્તર સમાન છે:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2} = \frac{T_4}{T_3} = k$ (જ્યાં $k = 1 - \eta$).
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$T_2 = k T_1$,$T_3 = k T_2 = k^2 T_1$,અને $T_4 = k T_3 = k^3 T_1$.
આમ,$k = (T_4 / T_1)^{1/3}$.
$k$ ની કિંમત $T_2$ અને $T_3$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$T_2 = T_1 (T_4 / T_1)^{1/3} = T_1^{2/3} T_4^{1/3} = (T_1^2 T_4)^{1/3}$.
$T_3 = T_1 (T_4 / T_1)^{2/3} = T_1^{1/3} T_4^{2/3} = (T_1 T_4^2)^{1/3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = \frac{GM_e}{r}$.
$r$ અંતરે $m$ દળના પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GM_em}{r}$ છે.
પદાર્થ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી મુક્ત થાય તે માટે,અનંત અંતરે તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા શૂન્ય હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ઉત્સર્જનના બિંદુએ તેની કુલ ઊર્જા પણ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે ઉત્સર્જન સમયે પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ છે.
કુલ ઊર્જા $E = K + U = 0$.
$K - \frac{GM_em}{r} = 0$.
$K = \frac{GM_em}{r}$.
$\frac{GM_e}{r} = v^2$ મૂકતા,આપણને $K = mv^2$ મળે છે.

(A) ટાંકીમાં પાણીના કદમાં થતો ફેરફાર એ અંદર આવતા પાણીના દર અને બહાર જતા પાણીના દરનો તફાવત છે.
$\frac{dV}{dt} = Q_{in} - Q_{out} = 0$ (કારણ કે ઊંચાઈ સ્થિર રહે છે).
$Q_{in} = 10^{-4} \, m^3 s^{-1}$.
બહાર નીકળતા પાણીનો દર ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ: $Q_{out} = a \sqrt{2gh}$, જ્યાં $a = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$ અને $g = 9.8 \, m s^{-2}$.
અંદર આવતા અને બહાર જતા પાણીના દરને સરખાવતા: $10^{-4} = 10^{-4} \sqrt{2 \times 9.8 \times h}$.
$1 = \sqrt{19.6 \times h}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 = 19.6 \times h$.
$h = \frac{1}{19.6} \approx 0.051 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $h = 0.051 \times 100 = 5.1 \, cm$.

(D) રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5 \times 10^{-3} \, kg}{1 \, m} = 5 \times 10^{-3} \, kg/m$.
તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{8.0}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{1600} = 40 \, m/s$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{40 \, m/s}{100 \, Hz} = 0.4 \, m$.
ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ જેટલું હોય છે.
અંતર $= \frac{0.4 \, m}{2} = 0.2 \, m = 20 \, cm$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ઉદગમની ઝડપ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$v_s = 34\, m/s$,તેથી $f_1 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 34} \right) = f_0 \left( \frac{340}{306} \right)$.
બીજા કિસ્સા માટે,$v_s = 17\, m/s$,તેથી $f_2 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 17} \right) = f_0 \left( \frac{340}{323} \right)$.
ગુણોત્તર $f_1/f_2$ લેતા:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{f_0 (340/306)}{f_0 (340/323)} = \frac{323}{306}$.
બંનેને $17$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{323 \div 17}{306 \div 17} = \frac{19}{18}$ મળે છે.

(C) ધારો કે લાકડાનું દળ $m_1 = 0.03\, kg$ અને ગોળીનું દળ $m_2 = 0.02\, kg$ છે. કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 0.05\, kg$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું જમીનથી સ્થાન $Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.03 \times 100 + 0.02 \times 0}{0.05} = \frac{3}{0.05} = 60\, m$ મળે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.03 \times 0 + 0.02 \times 100}{0.05} = \frac{2}{0.05} = 40\, m/s$ મળે.
અથડામણ પછી,તંત્ર $60\, m$ ની ઊંચાઈએ $40\, m/s$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે એક કણ તરીકે ગતિ કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = Y_{cm} + \frac{V_{cm}^2}{2g} = 60 + \frac{40^2}{2 \times 10} = 60 + 80 = 140\, m$ થાય.
ઇમારતની ટોચથી ઊંચાઈ $140\, m - 100\, m = 40\, m$ મળે.

(D) ધારો કે કેન્દ્ર પર લાગતું બળ $F$ છે અને સંપર્ક બિંદુ $p$ પર ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની રેખીય ગતિ માટે: $F - f = Ma$ (જ્યાં $a$ એ રેખીય પ્રવેગ છે).
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ચાકગતિ માટે: $\tau = I\alpha$,જ્યાં $I = \frac{1}{2}MR^2$ એ નક્કર નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
તેથી,$fR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$.
નળાકાર સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$a = \alpha R$.
રેખીય ગતિના સમીકરણમાં $f = \frac{1}{2}MR\alpha$ મૂકતા: $F - \frac{1}{2}MR\alpha = M(\alpha R)$.
$F = \frac{1}{2}MR\alpha + MR\alpha = \frac{3}{2}MR\alpha$.
તેથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{2F}{3MR}$ થાય.

(B) કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ, $\text{ગુમાવેલી }\, \text{ઉષ્મા } = \text{મેળવેલી }\, \text{ઉષ્મા}$.
ધારો કે ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $S$ છે。
ધાતુનું દળ $m_m = 0.192 \, kg$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_m = 100 \, ^oC$, અંતિમ તાપમાન $T_f = 21.5 \, ^oC$.
કેલરીમીટરનું દળ $m_c = 0.128 \, kg$, વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_c = 394 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 8.4 \, ^oC$.
પાણીનું દળ $m_w = 0.240 \, kg$, વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_w = 4186 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$.
$0.192 \times S \times (100 - 21.5) = (0.128 \times 394 + 0.240 \times 4186) \times (21.5 - 8.4)$
$0.192 \times S \times 78.5 = (50.432 + 1004.64) \times 13.1$
$15.072 \times S = 13821.4432$
$S \approx 917 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $920 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$ છે।

(A) તંત્રમાં $M$ દળ અને $L = 2R$ લંબાઈનો સળિયો અને છેડા પર જોડાયેલા $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાના બે ગોળાઓ છે.
$1$. સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{rod}} = \frac{ML^2}{12} = \frac{M(2R)^2}{12} = \frac{4MR^2}{12} = \frac{1}{3}MR^2$ થાય.
$2$. દરેક ગોળા માટે,સળિયાના કેન્દ્રથી ગોળાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = R + \frac{L}{2} = R + R = 2R$ છે.
$3$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક ગોળાની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + M(2R)^2 = \frac{2}{5}MR^2 + 4MR^2 = \frac{22}{5}MR^2$ થાય.
$4$. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{rod}} + 2 \times I_{\text{sphere}} = \frac{1}{3}MR^2 + 2 \times \left( \frac{22}{5}MR^2 \right) = \frac{1}{3}MR^2 + \frac{44}{5}MR^2$ થાય.
$5$. છેદ $15$ લેતા,$I = \left( \frac{5 + 132}{15} \right) MR^2 = \frac{137}{15}MR^2$ મળે.

(A) ધારો કે સદિશોના મૂલ્યો $|\vec A| = |\vec B| = A$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec A + \vec B| = n |\vec A - \vec B|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec A + \vec B|^2 = n^2 |\vec A - \vec B|^2$ મળે.
સદિશ નિત્યસમ $|\vec A \pm \vec B|^2 = A^2 + B^2 \pm 2AB \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta = n^2 (A^2 + A^2 - 2A^2 \cos \theta)$.
$2A^2 (1 + \cos \theta) = n^2 [2A^2 (1 - \cos \theta)]$.
બંને બાજુ $2A^2$ વડે ભાગતા:
$1 + \cos \theta = n^2 (1 - \cos \theta)$.
$1 + \cos \theta = n^2 - n^2 \cos \theta$.
$\cos \theta (1 + n^2) = n^2 - 1$.
$\cos \theta = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left[ \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \right]$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial}$
આપેલ છે:
બળ $\vec F = 3\hat i - 12\hat j$
સ્થાનાંતર $\vec d = 4\hat i$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K.E._{initial} = 3\, J$
થયેલું કાર્ય $W = \vec F \cdot \vec d = (3\hat i - 12\hat j) \cdot (4\hat i) = (3 \times 4) + (-12 \times 0) = 12\, J$
પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$12 = K.E._{final} - 3$
$K.E._{final} = 12 + 3 = 15\, J$

(B) નળાકારનું કદ $V$ સૂત્ર $V = \pi R^2 h = \frac{\pi}{4} D^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $D = 12.6\, cm$,$\Delta D = 0.1\, cm$,$h = 34.2\, cm$,અને $\Delta h = 0.1\, cm$.
પ્રથમ,કદની ગણતરી કરો: $V = \frac{3.14159}{4} \times (12.6)^2 \times 34.2 \approx 4264.4\, cm^3$.
યોગ્ય સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડિંગ કરતા (આપેલ ડેટાના આધારે ત્રણ સાર્થક અંકો),$V = 4260\, cm^3$.
હવે,સાપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરો: $\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta h}{h}$.
$\Delta V = V \times (2 \times \frac{0.1}{12.6} + \frac{0.1}{34.2}) = 4264.4 \times (0.01587 + 0.00292) \approx 4264.4 \times 0.01879 \approx 80.13$.
નિપેક્ષ ત્રુટિને એક સાર્થક અંકમાં રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $\Delta V = 80\, cm^3$ મળે છે.
આમ,કદ $V = 4260 \pm 80\, cm^3$ છે.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંકમાં હોય છે,જે $f_n = (2n + 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$ અને $f_0 = 1500\, Hz$ છે.
આપણે એવા ઓવરટોન્સની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેના માટે $f_n \leq 20,000\, Hz$ થાય.
$(2n + 1) \times 1500 \leq 20,000$
$2n + 1 \leq \frac{20,000}{1500} = 13.33$
$2n \leq 12.33 \implies n \leq 6.16$.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
અહીં,$n=0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
ઓવરટોન્સ $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,કુલ $6$ ઓવરટોન્સ સાંભળી શકાય છે.

(D) ધારો કે ઉલ્કાનું દળ $m$ છે. દરેક તારાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r = d/2 = (2\times10^{11} \ m)/2 = 1\times10^{11} \ m$ છે.
બંને તારાઓને કારણે બિંદુ $O$ પર ઉલ્કાની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{2GMm}{r}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી છૂટવા માટે,$O$ આગળ ઉલ્કાની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv^2 + U = 0$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{2GMm}{r} = 0$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{4GM}{r}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 6.67\times10^{-11} \times 3\times10^{31}}{1\times10^{11}}}$
$v = \sqrt{4 \times 6.67 \times 3 \times 10^9}$
$v = \sqrt{80.04 \times 10^9} = \sqrt{8.004 \times 10^{10}}$
$v \approx 2.83 \times 10^5 \ m/s$.

(B) અચળ દબાણે (સમદાબી પ્રક્રિયા) થતી આદર્શ વાયુની પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = P\Delta V$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણ માટે $P\Delta V = nR\Delta T$ થાય.
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $n = 0.5\, mol$
વાયુ અચળાંક $R = 8.31\, J/mol\cdot K$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 90\,^oC - 20\,^oC = 70\, K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = nR\Delta T$
$W = 0.5 \times 8.31 \times 70$
$W = 290.85\, J$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,થયેલ કાર્ય આશરે $291\, J$ છે.

(D) કોઈપણ સમય $t$ પર કણનું સ્થાન એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $t = 0$ થી $t = 5\,s$ સુધીનું છે.
$1$. $t = 0$ થી $t = 2\,s$ સુધી,આલેખ એ $2\,s$ પાયો અને $2\,m/s$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે. ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\,m$.
$2$. $t = 2\,s$ થી $t = 4\,s$ સુધી,આલેખ એ $2\,s$ પહોળાઈ અને $2\,m/s$ ઊંચાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે. ક્ષેત્રફળ = $2 \times 2 = 4\,m$.
$3$. $t = 4\,s$ થી $t = 5\,s$ સુધી,આલેખ એ $1\,s$ પહોળાઈ અને $3\,m/s$ ઊંચાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે. ક્ષેત્રફળ = $1 \times 3 = 3\,m$.
$t = 5\,s$ પર કુલ સ્થાન = $2 + 4 + 3 = 9\,m$.

(A) કિલકિત બિંદુ $P$ ની આસપાસનું કુલ ટોર્ક $\tau$ એ બે દળોને કારણે લાગતા ટોર્કના તફાવત દ્વારા મળે છે.
$\tau = (5M_0g)(l) - (2M_0g)(2l) = 5M_0gl - 4M_0gl = M_0gl$.
કિલકિત બિંદુ $P$ ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ બંને દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$I = (5M_0)(l)^2 + (2M_0)(2l)^2 = 5M_0l^2 + 8M_0l^2 = 13M_0l^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha = \frac{M_0gl}{13M_0l^2} = \frac{g}{13l}$.

(A) ધારો કે મૂલ્યો $P = 2F$ અને $Q = 3F$ છે. બે સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ નું પરિણામી બળ $R_1$ નીચે મુજબ મળે: $R_1^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $R_1^2 = (2F)^2 + (3F)^2 + 2(2F)(3F) \cos \theta = 4F^2 + 9F^2 + 12F^2 \cos \theta = F^2(13 + 12 \cos \theta)$.
જ્યારે બળ $Q$ ને બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું બળ $Q' = 2Q = 6F$ થાય છે. નવું પરિણામી બળ $R_2 = 2R_1$ હોવાથી,$R_2^2 = 4R_1^2$ થાય.
નવું પરિણામી બળ $R_2$ માટે: $R_2^2 = P^2 + (Q')^2 + 2P(Q') \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $R_2^2 = (2F)^2 + (6F)^2 + 2(2F)(6F) \cos \theta = 4F^2 + 36F^2 + 24F^2 \cos \theta = F^2(40 + 24 \cos \theta)$.
$R_2^2 = 4R_1^2$ ને સરખાવતા: $F^2(40 + 24 \cos \theta) = 4 \times F^2(13 + 12 \cos \theta)$.
$4F^2$ વડે ભાગતા: $10 + 6 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$.
$-3 = 6 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = -1/2$.
તેથી,$\theta = 120^o$.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,ડાયોડ સમાંતર જોડાણમાં છે. જે ડાયોડનો થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ ઓછો હશે તે પહેલા વહન કરશે.
કિસ્સો $1$: શરૂઆતમાં,$Ge$ ડાયોડ (થ્રેશોલ્ડ $0.3 \, V$) વહન કરે છે.
આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{01} = 12 \, V - 0.3 \, V = 11.7 \, V$.
કિસ્સો $2$: જો $Ge$ ડાયોડનું જોડાણ ઉલટાવવામાં આવે,તો તે રિવર્સ બાયસ થશે અને વહન કરશે નહીં. હવે,$Si$ ડાયોડ (થ્રેશોલ્ડ $0.7 \, V$) વહન કરશે.
આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{02} = 12 \, V - 0.7 \, V = 11.3 \, V$.
$V_0$ ના મૂલ્યમાં થતો ફેરફાર $\Delta V_0 = |V_{01} - V_{02}| = |11.7 \, V - 11.3 \, V| = 0.4 \, V$ છે.

(A) હાઈડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ અને મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$
$He^+$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} \, eV$
$E_2 = -13.6 \times \frac{4}{4} \, eV$
$E_2 = -13.6 \, eV$.

(C) આપેલ છે: પ્રાઇમરી વોલ્ટેજ $V_{P} = 2300\,V$,સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_{S} = 230\,V$,પ્રાઇમરી પ્રવાહ $I_{P} = 5\,A$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 90\% = 0.9$.
ટ્રાન્સફોર્મરની કાર્યક્ષમતા એ આઉટપુટ પાવર $(P_{S})$ અને ઇનપુટ પાવર $(P_{P})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\eta = \frac{P_{S}}{P_{P}} \Rightarrow P_{S} = \eta \times P_{P}$.
પાવર $P = V \times I$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$V_{S} \times I_{S} = 0.9 \times (V_{P} \times I_{P})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$230 \times I_{S} = 0.9 \times 2300 \times 5$.
$I_{S}$ માટે ઉકેલતા:
$I_{S} = \frac{0.9 \times 2300 \times 5}{230} = 0.9 \times 10 \times 5 = 45\,A$.
તેથી,આઉટપુટ પ્રવાહ $45\,A$ છે.

(D) આપેલ છે કે,વસ્તુ અંતર $u = -10\, cm$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = +10\, cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{10} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{2}{10} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 5\, cm$ મળે છે.
જ્યારે $t = 1.5\, cm$ જાડાઈ અને $\mu = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ સ્ત્રોતની આગળ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુના સ્થાનમાં થતું આભાસી સ્થાનાંતર $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu}) = 1.5(1 - \frac{1}{1.5}) = 1.5(1 - \frac{2}{3}) = 1.5(\frac{1}{3}) = 0.5\, cm$ મળે છે.
વસ્તુ અસરકારક રીતે લેન્સની નજીક આવે છે,તેથી નવું વસ્તુ અંતર $u' = -(10 - 0.5) = -9.5\, cm$ થાય છે.
નવું પ્રતિબિંબ સ્થાન $v'$ શોધવા માટે ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-9.5} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{5} - \frac{1}{9.5} = \frac{9.5 - 5}{47.5} = \frac{4.5}{47.5}$.
આમ,$v' = \frac{47.5}{4.5} \approx 10.55\, cm$ મળે છે.
પડદાના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર $d = v' - v = 10.55 - 10 = 0.55\, cm$ લેન્સથી દૂર તરફ હશે.

(B) અવરોધક માટેનો કલર કોડ છે: લાલ (Red),જાંબલી (Violet),નારંગી (Orange),સિલ્વર (Silver).
કાર્બન અવરોધકના કલર કોડ ટેબલ મુજબ:
$1$. પ્રથમ રંગ (લાલ) પ્રથમ અંક દર્શાવે છે: $2$.
$2$. બીજો રંગ (જાંબલી) બીજો અંક દર્શાવે છે: $7$.
$3$. ત્રીજો રંગ (નારંગી) ગુણક (multiplier) દર્શાવે છે: $10^3$.
$4$. ચોથો રંગ (સિલ્વર) ટોલરન્સ દર્શાવે છે: $\pm 10\%$.
તેથી,અવરોધનું મૂલ્ય $R = 27 \times 10^3 \,\Omega \pm 10\%$ છે.
$R = 27 \times 1000 \,\Omega \pm 10\% = 27000 \,\Omega \pm 10\%$.
$R = 27 \,k\Omega \pm 10\%$.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = n e A v_d$.
અહીં,$I = 1.5 \, A$,$n = 9 \times 10^{28} \, m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,અને $A = 5 \, mm^2 = 5 \times 10^{-6} \, m^2$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1.5 = (9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (5 \times 10^{-6}) \times v_d$.
$1.5 = (9 \times 1.6 \times 5) \times 10^{28-19-6} \times v_d$.
$1.5 = 72 \times 10^3 \times v_d$.
$v_d = \frac{1.5}{72 \times 10^3} = \frac{1.5}{72} \times 10^{-3} \, m/s$.
$v_d \approx 0.0208 \times 10^{-3} \, m/s = 0.0208 \, mm/s$.
આમ,$v$ નું મૂલ્ય $0.02 \, mm/s$ ની નજીક છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણો આંતરતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ આકૃતિમાં, ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગો $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી કારણ કે પ્રવાહ સ્થાન સદિશને સમાંતર છે।
બે ચાપની ત્રિજ્યા $r_1 = 3 \, cm + 2 \, cm = 5 \, cm = 0.05 \, m$ અને $r_2 = 3 \, cm = 0.03 \, m$ છે। આંતરેલો ખૂણો $\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \, \text{રેડિયન}$ છે।
બે ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં છે। પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = B_2 - B_1 = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r_2} - \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r_1} = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi} \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{10^{-7} \times 10 \times \frac{\pi}{4}}{1} \left( \frac{1}{0.03} - \frac{1}{0.05} \right)$
$B = 10^{-6} \times \frac{\pi}{4} \left( \frac{5 - 3}{0.15} \right) = 10^{-6} \times \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{0.15} = 10^{-6} \times \frac{\pi}{0.3} = \frac{\pi}{3} \times 10^{-5} \approx 1.047 \times 10^{-5} \, T$.
આમ, મૂલ્ય $1.0 \times 10^{-5} \, T$ ની નજીક છે।

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત રીંગના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k Q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર જ્યાં મહત્તમ હોય તે અંતર $h$ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ: $\frac{dE}{dx} = 0$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \right] = \frac{(x^2 + R^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(x^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2x}{(x^2 + R^2)^3} = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(x^2 + R^2) - 3x^2 = 0$ મળે છે,જે $R^2 - 2x^2 = 0$ આપે છે.
તેથી,$x^2 = R^2/2$,જેનો અર્થ છે કે $x = R/\sqrt{2}$.
આમ,મહત્તમ મૂલ્ય $h = R/\sqrt{2}$ અંતરે મળે છે.

(B) મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર આ મુજબ છે: $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = 4$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 4\sqrt{I_1} - 4\sqrt{I_2}$.
પદોને ગોઠવતા: $5\sqrt{I_2} = 3\sqrt{I_1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25I_2 = 9I_1$.
તેથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{25}{9}$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્ક ફંક્શન $\phi$ છે. આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{1240}{\lambda} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_1 = 350 \ nm$ માટે,$E_1 = \frac{1240}{350} \approx 3.543 \ eV$.
$\lambda_2 = 540 \ nm$ માટે,$E_2 = \frac{1240}{540} \approx 2.296 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{max} = E - \phi$.
ધારો કે $v_1$ અને $v_2$ મહત્તમ ઝડપ છે. આપેલ છે કે $v_1 = 2v_2$,તેથી $KE_1 = 4 KE_2$.
$3.543 - \phi = 4(2.296 - \phi)$.
$3.543 - \phi = 9.184 - 4\phi$.
$3\phi = 9.184 - 3.543 = 5.641$.
$\phi = \frac{5.641}{3} \approx 1.88 \ eV$.
સૌથી નજીકની કિંમત $1.8 \ eV$ છે.

(B) પ્રવાહી-કાચની સપાટી પર પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત થાય તે માટે,આપાતકોણ $\theta$ એ બ્રુસ્ટરના નિયમનું પાલન કરવું જોઈએ: $\tan \theta = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.5}{\mu}$.
જો પ્રકાશ કોઈપણ આપાતકોણ $i$ માટે ક્યારેય સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત ન થતો હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે બ્રુસ્ટર કોણ $\theta_B$ એ પ્રવાહી-કાચની સપાટી માટેના ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જેથી બ્રુસ્ટર શરત પૂરી થાય તે પહેલાં જ આંતરિક પરાવર્તન થઈ જાય.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ એ $\sin \theta_c = \frac{1.5}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (ધારી લઈએ કે $\mu > 1.5$). જોકે,પ્રકાશ હવા માંથી પ્રવાહીમાં પ્રવેશતો હોવાથી,પ્રવાહીમાં વક્રીભવનકોણ $\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય હવા-પ્રવાહી સપાટીના ક્રાંતિકોણ દ્વારા મર્યાદિત છે. જો પ્રકાશ હવામાંથી $90^{\circ}$ ના ખૂણે આપાત થાય,તો $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$.
આમ,આપણે $\tan \theta_B \ge \tan \theta_{max}$ ની જરૂર છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta_B = \frac{1.5}{\mu}$ અને $\sin \theta_{max} = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\cos \theta_{max} = \sqrt{1 - \frac{1}{\mu^2}} = \frac{\sqrt{\mu^2 - 1}}{\mu}$.
તેથી,$\tan \theta_{max} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$.
$\frac{1.5}{\mu} \ge \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ લેતા,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2.25}{\mu^2} \ge \frac{1}{\mu^2 - 1}$.
$2.25(\mu^2 - 1) \ge \mu^2 \Rightarrow 2.25\mu^2 - 2.25 \ge \mu^2 \Rightarrow 1.25\mu^2 \ge 2.25$.
$\mu^2 \ge \frac{2.25}{1.25} = \frac{9}{5} \Rightarrow \mu \ge \frac{3}{\sqrt{5}}$.

(C) $n$-પ્રકારના અર્ધવાહકની વાહકતા $\sigma$ એ $\sigma = ne\mu_e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,$e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ છે,અને $\mu_e$ એ ઇલેક્ટ્રોન મોબિલિટી છે.
આપેલ છે: $n = 10^{19} \ m^{-3}$,$\mu_e = 1.6 \ m^2/(V \cdot s)$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\sigma = (10^{19}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (1.6) = 1.6 \times 1.6 = 2.56 \ \Omega^{-1} \cdot m^{-1}$.
અવરોધકતા $\rho$ એ વાહકતાનો વ્યસ્ત છે: $\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{2.56} \approx 0.39 \ \Omega \cdot m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,કિંમત $0.4 \ \Omega \cdot m$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે, વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8\, m/s)$.
તેથી, $B = \frac{E}{c} = \frac{6.3}{3 \times 10^8} = 2.1 \times 10^{-8}\, T$.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ સદિશ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તરંગ $+x$ દિશામાં $(\hat i)$ ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $+y$ દિશામાં $(\hat j)$ છે, તેથી $\hat i = \hat j \times \hat B$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની દિશા $+z$ દિશા $(\hat k)$ માં હોવી જોઈએ, કારણ કે $\hat j \times \hat k = \hat i$ થાય છે.
આમ, $\vec{B} = 2.1 \times 10^{-8}\,\hat k\,T$ મળે છે.

(D) ધારો કે $x=0$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = +Q$ છે,$x=d/2$ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને $x=d$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = +Q$ છે.
$q$ દ્વારા $Q_1$ પર લાગતું બળ $F_q = \frac{k Q q}{(d/2)^2} = \frac{4 k Q q}{d^2}$ છે (જો $q$ ઋણ હોય તો તે $q$ ની દિશામાં હશે).
$Q_2$ દ્વારા $Q_1$ પર લાગતું બળ $F_{Q_2} = \frac{k Q Q}{d^2} = \frac{k Q^2}{d^2}$ છે (બંને ધન હોવાથી તે $Q_2$ થી દૂરની દિશામાં હશે).
$Q_1$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,આ બળોના મૂલ્યો સમાન અને દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ:
$F_q + F_{Q_2} = 0$
$\frac{4 k Q q}{d^2} + \frac{k Q^2}{d^2} = 0$
$4 k Q q = -k Q^2$
$4 q = -Q$
$q = -\frac{Q}{4}$

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \ell$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{\ell}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\rho \ell^2}{V}$.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \ell^2$ થાય.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta \ell}{\ell}$ મળે છે.
લંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta \ell}{\ell} \times 100 = 0.5\%$ આપેલ છે.
તેથી,અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.5\% = 1\%$ થાય.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
નમૂના $A$ માટે: $R_A = \lambda_A N_A = 10\, mCi$ ... $(1)$
નમૂના $B$ માટે: $R_B = \lambda_B N_B = 20\, mCi$ ... $(2)$
આપેલ છે કે $N_A = 2 N_B$ ... $(3)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા: $\frac{\lambda_A N_A}{\lambda_B N_B} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
$N_A = 2 N_B$ મૂકતા: $\frac{\lambda_A (2 N_B)}{\lambda_B N_B} = \frac{1}{2} \implies 2 \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{1}{2} \implies \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{1}{4}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{T_{1/2, A}}{T_{1/2, B}} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A} = 4$.
આનો અર્થ એ છે કે $T_{1/2, A} = 4 \times T_{1/2, B}$.
વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $C$ માં $20/5 = 4$ મળે છે,જે સાચું છે.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi(t) = B(t) \cdot A = A \cdot B_0 \sin(50 \pi t)$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -A \cdot B_0 \cdot (50 \pi) \cos(50 \pi t)$ છે.
લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I(t) = \frac{\varepsilon}{R} = -\frac{A \cdot B_0 \cdot 50 \pi}{R} \cos(50 \pi t)$ છે.
લૂપમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $q = \int_{0}^{t} I(t) dt = \frac{1}{R} [\Phi(0) - \Phi(t)]$ છે.
$t = 0$ સમયે, $\Phi(0) = 0$.
$t = 10 \, ms = 0.01 \, s$ સમયે, $\Phi(0.01) = A \cdot B_0 \sin(0.5 \pi) = A \cdot B_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{3.5 \times 10^{-3} \times 0.4}{10} = 0.14 \times 10^{-3} \, C = 0.14 \, mC$.

(D) અનંત લંબાઈના તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
જ્યારે $M = I_L \pi a^2$ (જ્યાં $I_L$ એ લૂપનો પ્રવાહ છે) જેટલી ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતો નાનો લૂપ અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું બળ $F = \nabla (M \cdot B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $1/r$ ના પ્રમાણમાં બદલાય છે,તેથી ક્ષેત્રનો ગ્રેડિયન્ટ $1/r^2$ ના પ્રમાણમાં બદલાય છે.
આમ,તારને કારણે લૂપ પર લાગતું બળ (અથવા તેનાથી ઉલટું) $M \times (B \text{ નો ગ્રેડિયન્ટ})$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
$F \propto M \times \frac{1}{d^2} \propto (I_L a^2) \times \frac{1}{d^2}$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,આપણે $a$ અને $d$ પરની નિર્ભરતા જોઈએ છીએ. બળ $a^2/d^2$ ના પ્રમાણમાં છે,જે $(a/d)^2$ ને સમાન છે.

(A) ડાબી બાજુથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક નાની પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. ડાયલેક્ટ્રિક ભાગની ઊંચાઈ $y = (d/a)x$ છે.
આ પટ્ટી શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે: એક હવા સાથે (જાડાઈ $d-y$) અને એક ડાયલેક્ટ્રિક સાથે (જાડાઈ $y$).
હવાના ભાગનું કેપેસિટન્સ $dC_1 = \frac{\varepsilon_0 a dx}{d-y}$ અને ડાયલેક્ટ્રિક ભાગનું $dC_2 = \frac{K\varepsilon_0 a dx}{y}$ છે.
પટ્ટીનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $dC$ આ રીતે મળે છે: $\frac{1}{dC} = \frac{1}{dC_1} + \frac{1}{dC_2} = \frac{d-y}{\varepsilon_0 a dx} + \frac{y}{K\varepsilon_0 a dx} = \frac{Kd - Ky + y}{K\varepsilon_0 a dx} = \frac{Kd - (K-1)y}{K\varepsilon_0 a dx}$.
આમ,$dC = \frac{K\varepsilon_0 a dx}{Kd - (K-1)(d/a)x}$.
$x=0$ થી $x=a$ સુધી સંકલન કરતા:
$C = \int_0^a \frac{K\varepsilon_0 a dx}{Kd - \frac{(K-1)d}{a}x} = \frac{K\varepsilon_0 a}{d} \int_0^a \frac{dx}{K - \frac{(K-1)}{a}x}$.
ધારો કે $u = K - \frac{(K-1)}{a}x$,તો $du = -\frac{(K-1)}{a} dx$.
$C = \frac{K\varepsilon_0 a}{d} \left( -\frac{a}{K-1} \right) [\ln(K - \frac{(K-1)}{a}x)]_0^a = \frac{-K\varepsilon_0 a^2}{d(K-1)} [\ln(1) - \ln(K)] = \frac{K\varepsilon_0 a^2}{d(K-1)} \ln K$.

(B) ચુંબકીય પદાર્થની કોઅર્સિવિટી એ તેને સંપૂર્ણપણે વિચુંબકીત કરવા માટે જરૂરી ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ છે.
લાંબા સોલેનોઈડ માટે,તેની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = n \cdot I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 0.2 \, m$
આંટાની સંખ્યા $N = 100$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5.2 \, A$
સૌ પ્રથમ,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા શોધો: $n = \frac{N}{L} = \frac{100}{0.2} = 500 \, turns/m$.
હવે,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાની ગણતરી કરો: $H = n \cdot I = 500 \times 5.2 = 2600 \, A/m$.
આમ,ગજિયા ચુંબકની કોઅર્સિવિટી $2600 \, A/m$ છે.

(B) ધારો કે નોડ $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નોડ $C$ એ $2 \, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા ગ્રાઉન્ડ $(0 \, V)$ સાથે જોડાય છે.
નોડ $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
$\frac{20 - V}{2} + \frac{10 - V}{4} = \frac{V - 0}{2}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$2(20 - V) + (10 - V) = 2V$
$40 - 2V + 10 - V = 2V$
$50 - 3V = 2V$
$5V = 50$
$V = 10 \, V$
$2 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{V - 0}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, A$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ પર,$R_{A,0} = R_{B,0} = R_0$ છે.
સમય $t$ પર એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર $\frac{R_B}{R_A} = \frac{R_0 e^{-\lambda_B t}}{R_0 e^{-\lambda_A t}} = e^{-(\lambda_B - \lambda_A)t}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ગુણોત્તર $e^{-3t}$ છે.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\lambda_B - \lambda_A = 3$ મળે છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $T_{A,1/2} = \ln 2$,તેથી $\lambda_A = \frac{\ln 2}{\ln 2} = 1$.
$\lambda_A$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\lambda_B - 1 = 3 \Rightarrow \lambda_B = 4$.
કારણ કે $\lambda_B = \frac{\ln 2}{T_{B,1/2}}$,તેથી $4 = \frac{\ln 2}{T_{B,1/2}}$ મળે.
આમ,$T_{B,1/2} = \frac{\ln 2}{4}$ થાય.

(D) મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $U_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $U_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંબંધ $B = \frac{E}{c}$ અને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $U_B$ ના સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$U_B = \frac{(E/c)^2}{2 \mu_0} = \frac{E^2}{2 \mu_0 c^2}$.
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મૂકતા:
$U_B = \frac{E^2}{2 \mu_0 (1 / \mu_0 \varepsilon_0)} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$.
તેથી,$U_E = U_B$ થાય છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow v = \frac{qBr}{m}$.
જ્યારે કણ વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રોની અસર હેઠળ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે,એટલે કે વિદ્યુત બળ ચુંબકીય બળને સંતુલિત કરે છે: $qE = qvB \Rightarrow E = vB$.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા: $E = \left(\frac{qBr}{m}\right)B = \frac{qB^2r}{m}$.
દળ $m$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $m = \frac{qB^2r}{E}$.
અહીં $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$B = 0.5 \, T$,$r = 0.5 \times 10^{-2} \, m$,અને $E = 100 \, V/m$ આપેલ છે.
$m = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (0.5)^2 \times (0.5 \times 10^{-2})}{100} = 2.0 \times 10^{-24} \, kg$.

(A) $q_1$ નું સ્થાન $\vec{r}_1 = (1, 0)$ અને $q_2$ નું સ્થાન $\vec{r}_2 = (4, 0)$ છે. બિંદુ $P$ એ $(0, 3)$ પર છે.
સ્થાનાંતર સદિશો $\vec{r}_{P1} = -\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{r}_{P2} = -4\hat{i} + 3\hat{j}$ છે.
અંતર $r_1 = \sqrt{10} \, m$ અને $r_2 = 5 \, m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{kq_1}{r_1^3}\vec{r}_{P1} + \frac{kq_2}{r_2^3}\vec{r}_{P2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{E} = 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \left[ \frac{\sqrt{10}}{(\sqrt{10})^3}(-\hat{i} + 3\hat{j}) + \frac{-25}{5^3}(-4\hat{i} + 3\hat{j}) \right]$.
$\vec{E} = 9 \times 10^3 \left[ \frac{1}{10}(-\hat{i} + 3\hat{j}) - \frac{1}{5}(-4\hat{i} + 3\hat{j}) \right]$.
$\vec{E} = 9000 \left[ 0.7\hat{i} - 0.3\hat{j} \right] = (63\hat{i} - 27\hat{j}) \times 10^2 \, V/m$.

(C) આપેલ છે: $L = 20\,mH = 20 \times 10^{-3}\,H,$ $C = 120\,\mu F = 120 \times 10^{-6}\,F,$ $R = 60\,\Omega,$ $V_{rms} = 24\,V,$ $f = 50\,Hz,$ $t = 60\,s.$
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ: $X_L = 2\pi fL = 2\pi \times 50 \times 20 \times 10^{-3} = 2\pi \approx 6.28\,\Omega.$
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ: $X_C = \frac{1}{2\pi fC} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 120 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.012\pi} \approx 26.53\,\Omega.$
ઇમ્પીડન્સ: $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{60^2 + (26.53 - 6.28)^2} = \sqrt{3600 + (20.25)^2} = \sqrt{3600 + 410.06} = \sqrt{4010.06} \approx 63.33\,\Omega.$
વ્યય થતો પાવર: $P = I_{rms}^2 R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{24}{63.33}\right)^2 \times 60 \approx (0.379)^2 \times 60 \approx 0.1436 \times 60 \approx 8.616\,W.$
વ્યય થતી ઉર્જા: $E = P \times t = 8.616 \times 60 \approx 516.96\,J \approx 5.17 \times 10^2\,J.$

(D) પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
અહીં $d = 0.320 \, mm = 0.320 \times 10^{-3} \, m$ અને $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$ આપેલ છે.
$\theta = 30^\circ$ પર મહત્તમ પથ તફાવત $\Delta X_{\max} = d \sin 30^\circ = 0.320 \times 10^{-3} \times 0.5 = 0.16 \times 10^{-3} \, m$ છે.
મહત્તમ ક્રમ $n = \frac{\Delta X_{\max}}{\lambda} = \frac{0.16 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{0.16 \times 10^6}{500} = 320$ મળે છે.
ગાળો $-30^\circ \le \theta \le 30^\circ$ હોવાથી,આપણે $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 320$ માટે પ્રકાશિત શલાકાઓ જોઈ શકીએ છીએ.
તેથી,પ્રકાશિત શલાકાઓની કુલ સંખ્યા $2n + 1 = 2(320) + 1 = 641$ થાય.

(B) ધારો કે બે અરીસાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપાત કિરણ બીજા અરીસા $(M_2)$ ને સમાંતર છે. તેથી,પ્રથમ અરીસા $(M_1)$ પર આપાતકોણ $\theta$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,$(M_1)$ પરથી પરાવર્તન કોણ પણ $\theta$ છે.
આ પરાવર્તિત કિરણ બીજા અરીસા $(M_2)$ પર આપાત થાય છે.
બે અરીસાઓ અને પ્રકાશના કિરણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,બીજા અરીસા પરનો ખૂણો $\theta$ છે (કારણ કે પરાવર્તિત કિરણ પ્રથમ અરીસા $(M_1)$ ને સમાંતર છે).
આમ,ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $\theta + \theta + \theta = 180^o$ થાય છે.
$3\theta = 180^o$
$\theta = 60^o.$

(A) કાર્બન અવરોધકો માટે કલર કોડ રંગોના ક્રમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
$1$. લીલો (Green) અંક $5$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. નારંગી (Orange) અંક $3$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. પીળો (Yellow) ગુણક $10^4$ ને અનુરૂપ છે.
$4$. સોનેરી (Golden) રંગ $\pm 5\%$ ની ટોલરન્સ દર્શાવે છે.
આમ,અવરોધનું મૂલ્ય $R = 53 \times 10^4 \, \Omega \pm 5\%$ છે.
ગણતરી કરતા: $R = 530,000 \, \Omega = 530 \, K\Omega$.
તેથી,$R = 530 \, K\Omega \pm 5\%$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $L$ લંબાઈની એક વર્તુળાકાર લૂપ માટે,ત્રિજ્યા $R$ એ $L = 2\pi R$ દ્વારા મળે છે,તેથી $R = \frac{L}{2\pi}$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_L = \frac{\mu_0 i}{2R} = \frac{\mu_0 i}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{L}$ છે.
$N$ આંટાવાળી કોઈલ માટે,લંબાઈ $L = N(2\pi R')$,તેથી ત્રિજ્યા $R' = \frac{L}{2\pi N} = \frac{R}{N}$ થાય.
કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C = \frac{N \mu_0 i}{2R'} = \frac{N \mu_0 i}{2(R/N)} = \frac{N^2 \mu_0 i}{2R}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_L}{B_C} = \frac{\mu_0 i / 2R}{N^2 \mu_0 i / 2R} = \frac{1}{N^2}$ મળે છે.

(B) કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ ગોળાના કદ પર કદ વિદ્યુતભાર ઘનતાના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Q = \int_0^R \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
$\rho(r) = \frac{A}{r^2} e^{-2r/a}$ મુકતા:
$Q = \int_0^R \left( \frac{A}{r^2} e^{-2r/a} \right) (4\pi r^2) dr = 4\pi A \int_0^R e^{-2r/a} dr$
સંકલન કરતા:
$Q = 4\pi A \left[ \frac{e^{-2r/a}}{-2/a} \right]_0^R = 4\pi A \left( -\frac{a}{2} \right) (e^{-2R/a} - e^0)$
$Q = -2\pi aA (e^{-2R/a} - 1) = 2\pi aA (1 - e^{-2R/a})$
$R$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$1 - e^{-2R/a} = \frac{Q}{2\pi aA}$
$e^{-2R/a} = 1 - \frac{Q}{2\pi aA}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-\frac{2R}{a} = \log \left( 1 - \frac{Q}{2\pi aA} \right)$
$R = -\frac{a}{2} \log \left( 1 - \frac{Q}{2\pi aA} \right) = \frac{a}{2} \log \left( \frac{1}{1 - \frac{Q}{2\pi aA}} \right)$

(C) કેપેસિટરને $d/2$ જાડાઈના બે શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે.
પ્રથમ અડધા ભાગ માટે (જાડાઈ $d/2$),આપણી પાસે $L^2/2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે સમાંતર કેપેસિટર છે:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 K_1 (L^2/2)}{d/2} + \frac{\varepsilon_0 K_3 (L^2/2)}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} (K_1 + K_3)$.
બીજા અડધા ભાગ માટે (જાડાઈ $d/2$),આપણી પાસે $L^2/2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે સમાંતર કેપેસિટર છે:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 K_2 (L^2/2)}{d/2} + \frac{\varepsilon_0 K_4 (L^2/2)}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} (K_2 + K_4)$.
આ બે ભાગ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{\varepsilon_0 L^2 (K_1 + K_3)} + \frac{d}{\varepsilon_0 L^2 (K_2 + K_4)}$.
વળી,$C = \frac{\varepsilon_0 K L^2}{d}$ હોવાથી:
$\frac{d}{\varepsilon_0 K L^2} = \frac{d}{\varepsilon_0 L^2} \left( \frac{1}{K_1 + K_3} + \frac{1}{K_2 + K_4} \right)$.
$\frac{1}{K} = \frac{(K_2 + K_4) + (K_1 + K_3)}{(K_1 + K_3)(K_2 + K_4)}$.
તેથી,$K = \frac{(K_1 + K_3)(K_2 + K_4)}{K_1 + K_2 + K_3 + K_4}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_0 [\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega_1 = 3.14 \times 10^7 c$ અને $\omega_2 = 6.28 \times 10^7 c$ છે.
$\omega = 2\pi \nu$ હોવાથી,આવૃત્તિઓ $\nu_1 = \frac{3.14 \times 10^7 c}{2\pi} = 0.5 \times 10^7 c$ અને $\nu_2 = \frac{6.28 \times 10^7 c}{2\pi} = 1.0 \times 10^7 c$ છે.
મહત્તમ આવૃત્તિ $\nu_{\max} = 1.0 \times 10^7 \times (3 \times 10^8) = 3 \times 10^{15} \ Hz$ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu_{\max} = (6.63 \times 10^{-34} \ J\cdot s) \times (3 \times 10^{15} \ Hz) = 1.989 \times 10^{-18} \ J$ છે.
તેને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{1.989 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 12.43 \ eV$ મળે છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max} = E - \phi = 12.43 \ eV - 4.7 \ eV = 7.73 \ eV$ થાય. નજીકનો વિકલ્પ $7.72 \ eV$ છે.

(A) અવરોધો $R_3$ અને $R_4$ શ્રેણીમાં છે. આ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{upper} = \frac{V_{R4}}{R_4} = \frac{5\,V}{500\,\Omega} = 0.01\,A$ છે.
ઉપરની શાખા $(R_3 + R_4)$ અને $R_2$ ના સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V_p = I_{upper} \times (R_3 + R_4) = 0.01\,A \times (100\,\Omega + 500\,\Omega) = 0.01 \times 600 = 6\,V$ છે.
$R_1$ પરનો વોલ્ટેજ $V_{R1} = V_{total} - V_p = 18\,V - 6\,V = 12\,V$ છે.
$R_1$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = \frac{V_{R1}}{R_1} = \frac{12\,V}{400\,\Omega} = 0.03\,A$ છે.
$I_{total} = I_{upper} + I_{R2}$ હોવાથી,$R_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{R2} = I_{total} - I_{upper} = 0.03\,A - 0.01\,A = 0.02\,A$ છે.
છેલ્લે,$R_2$ નું મૂલ્ય $R_2 = \frac{V_p}{I_{R2}} = \frac{6\,V}{0.02\,A} = 300\,\Omega$ થશે.

(C) સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = \frac{c}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$f = \frac{3 \times 10^8\,m/s}{800 \times 10^{-9}\,m} = \frac{3 \times 10^8}{8 \times 10^{-7}} = 0.375 \times 10^{15}\,Hz = 3.75 \times 10^{14}\,Hz$.
ઉપલબ્ધ સિગ્નલ બેન્ડવિડ્થ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિના $1\%$ છે,તેથી $\text{Bandwidth} = 0.01 \times f = 0.01 \times 3.75 \times 10^{14}\,Hz = 3.75 \times 10^{12}\,Hz$.
$6\,MHz$ $(6 \times 10^6\,Hz)$ બેન્ડવિડ્થ ધરાવતા $TV$ સિગ્નલો માટે સમાવી શકાતી ચેનલોની સંખ્યા $n = \frac{\text{Total Bandwidth}}{\text{Bandwidth per channel}}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{3.75 \times 10^{12}}{6 \times 10^6} = 0.625 \times 10^6 = 6.25 \times 10^5$.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ઇલેક્ટ્રોન માટે ઉર્જા $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times (7.5 \times 10^{-12})^2} \ J$.
ગણતરી કરતા, $E \approx 4.3 \times 10^{-15} \ J$ મળે છે।
આ ઉર્જાને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{4.3 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 26875 \ eV = 26.8 \ keV$.
તેથી, નજીકનો વિકલ્પ $25 \ keV$ છે।

(C) પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{AB} + r} = \frac{\varepsilon}{12r + r} = \frac{\varepsilon}{13r}$ છે.
લંબાઈ $AJ$ (જ્યાં $AJ = x$) પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{AJ} = I \times R_{AJ}$ છે.
તારનો અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$R_{AJ} = \frac{x}{L} \times 12r$ થાય.
તેથી,$V_{AJ} = \left(\frac{\varepsilon}{13r}\right) \times \left(\frac{x}{L} \times 12r\right) = \frac{12\varepsilon x}{13L}$ મળે.
ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય આવર્તન માટે,$AJ$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ કોષ $C$ ના $emf$ $(\varepsilon/2)$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{12\varepsilon x}{13L} = \frac{\varepsilon}{2}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{12x}{13L} = \frac{1}{2}$
$24x = 13L$
$x = \frac{13}{24}L$.

(A) $LOS$ કોમ્યુનિકેશન માટે મહત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર: $d = \sqrt{2R h_T} + \sqrt{2R h_R}$ છે.
આપેલ છે:
ટ્રાન્સમીટર ટાવરની ઊંચાઈ $h_T = 140\, m$
રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_R = 40\, m$
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6.4 \times 10^6\, m$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 140} + \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 40}$
$d = \sqrt{1792 \times 10^6} + \sqrt{512 \times 10^6}$
$d = (42.33 \times 10^3) + (22.63 \times 10^3)$
$d = 64.96 \times 10^3\, m \approx 65\, km$.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R = 18\,\Omega$ છે.
જ્યારે તારને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે ત્રણ સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = \frac{18}{3} = 6\,\Omega$ થાય છે.
જ્યારે આપણે કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચે અવરોધ માપીએ છીએ,ત્યારે ત્રિકોણની એક બાજુ એક શાખા બનાવે છે,અને બાકીની બે બાજુઓ (શ્રેણીમાં જોડાયેલી) બીજી શાખા બનાવે છે.
પ્રથમ શાખાનો અવરોધ,$R_1 = 6\,\Omega$.
બીજી શાખાનો અવરોધ,$R_2 = 6\,\Omega + 6\,\Omega = 12\,\Omega$.
આ બે શાખાઓ પસંદ કરેલા શિરોબિંદુઓ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2+1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$R_{eq} = 4\,\Omega$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ શલાકાનો ક્રમ છે.
અહીં $\theta$ નાનું હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta = \frac{1}{40}\, rad$.
આપેલ છે કે $d = 0.1\, mm = 10^{-4}\, m$.
તેથી શરત $d \theta = n \lambda$ થાય,એટલે કે $\lambda = \frac{d \theta}{n}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{10^{-4} \times (1/40)}{n} = \frac{10^{-4}}{40n} = \frac{10^{-5}}{4n} = \frac{2500\, nm}{n}$.
$\lambda$ દ્રશ્યમાન પ્રકાશની રેન્જ ($380\, nm$ થી $740\, nm$) માં હોવા માટે:
જો $n=4$ લઈએ,તો $\lambda = \frac{2500}{4} = 625\, nm$.
જો $n=5$ લઈએ,તો $\lambda = \frac{2500}{5} = 500\, nm$.
આ બંને મૂલ્યો $625\, nm$ અને $500\, nm$ દ્રશ્યમાન પ્રકાશની રેન્જમાં છે. તેથી,તરંગલંબાઈઓ $625\, nm$ અને $500\, nm$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 1 \cdot \cos(0.125 \times 1) \hat{i} = \cos(0.125) \hat{i} \text{ T}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = 10^{-2} \hat{i} \text{ A} \cdot \text{m}^2$ સાથેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = -M B \cos(0.125)$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટને ઉલટાવવા માટે, નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}' = -10^{-2} \hat{i} \text{ A} \cdot \text{m}^2$ થશે.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = -\vec{M}' \cdot \vec{B} = -(-10^{-2}) \cos(0.125) = 10^{-2} \cos(0.125)$ છે.
કરેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = 10^{-2} \cos(0.125) - (-10^{-2} \cos(0.125)) = 2 \times 10^{-2} \cos(0.125) \text{ J}$ છે.
$\cos(0.125) \approx 0.992$ નો ઉપયોગ કરતા, $W = 2 \times 10^{-2} \times 0.992 = 0.01984 \text{ J} \approx 0.02 \text{ J}$ મળે છે.

(C) કેપેસિટરને ત્રણ સમાંતર કેપેસિટરમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A' = A/3$ અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ સમાન છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો છે:
$C_{net} = C_1 + C_2 + C_3$
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરના સૂત્ર $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{K_{eq} \epsilon_0 A}{d} = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/3)}{d} + \frac{K_2 \epsilon_0 (A/3)}{d} + \frac{K_3 \epsilon_0 (A/3)}{d}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{\epsilon_0 A}{3d}$ ને દૂર કરતા:
$K_{eq} = \frac{K_1 + K_2 + K_3}{3}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$K_{eq} = \frac{10 + 12 + 14}{3} = \frac{36}{3} = 12$
આમ,સમતુલ્ય ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $12$ છે.

(D) ધારો કે કવચો પરના વિદ્યુતભાર $Q_1, Q_2, Q_3$ છે અને પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે. $\sigma$ સમાન હોવાથી,$\sigma = \frac{Q_1}{4\pi a^2} = \frac{Q_2}{4\pi b^2} = \frac{Q_3}{4\pi c^2}$.
તેથી,$Q_1 = 4\pi a^2 \sigma$,$Q_2 = 4\pi b^2 \sigma$,$Q_3 = 4\pi c^2 \sigma$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 4\pi \sigma (a^2 + b^2 + c^2)$,તેથી $\sigma = \frac{Q}{4\pi (a^2 + b^2 + c^2)}$.
$r < a$ માટે સ્થિતિમાન દરેક કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (\frac{Q_1}{a} + \frac{Q_2}{b} + \frac{Q_3}{c})$.
$Q_1, Q_2, Q_3$ ની કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (\frac{4\pi a^2 \sigma}{a} + \frac{4\pi b^2 \sigma}{b} + \frac{4\pi c^2 \sigma}{c}) = \frac{\sigma}{\epsilon_0} (a + b + c)$.
$\sigma$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 (a^2 + b^2 + c^2)} (a + b + c)$.

(A) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = \frac{R}{\mu_1 - 1}$ મળે છે.
સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -\frac{R}{\mu_2 - 1}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $f_1 = 2f_2$,તેથી $\frac{1}{f_1} = \frac{1}{2f_2}$ અથવા $\frac{2}{f_1} = \frac{1}{f_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \left( \frac{\mu_1 - 1}{R} \right) = -\left( \frac{\mu_2 - 1}{R} \right)$.
$2\mu_1 - 2 = -\mu_2 + 1$,તેથી $2\mu_1 + \mu_2 = 3$.

(C) આપેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી, અંતિમ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $P$ અને $Q$ છે.
$P = \overline{X} + Y$
$Q = \overline{X \cdot \overline{Y}}$
આઉટપુટ $R$ એ $NOR$ ઓપરેશન દ્વારા મળે છે: $R = \overline{P + Q}$.
$P$ અને $Q$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$R = \overline{(\overline{X} + Y) + (\overline{X \cdot \overline{Y}})}$
ડી મોર્ગનના નિયમ $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = (\overline{\overline{X} + Y}) \cdot (\overline{\overline{X \cdot \overline{Y}}})$
$R = (X \cdot \overline{Y}) \cdot (X \cdot \overline{Y})$
$R = X \cdot \overline{Y}$
$R = 1$ મેળવવા માટે, $X = 1$ અને $\overline{Y} = 1$ હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $Y = 0$.
તેથી, ઇનપુટ મૂલ્યો $X = 1$ અને $Y = 0$ હોવા જોઈએ.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_0)$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E_0 = B_0 \times c$
આપેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમીકરણ પરથી,કંપવિસ્તાર $B_0$ છે:
$B_0 = 100 \times 10^{-6} \, T$
પ્રકાશની ઝડપ $c$ નીચે મુજબ છે:
$c = 3 \times 10^8 \, m/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_0 = (100 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^8)$
$E_0 = 100 \times 3 \times 10^{8-6}$
$E_0 = 300 \times 10^2$
$E_0 = 3 \times 10^4 \, N/C$

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ છે, જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $N(0) = 1600$ અને $N(8) = 100$.
$100 = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$4 = \frac{8}{T_{1/2}} \implies T_{1/2} = 2 \, s$.
હવે, $t = 6 \, s$ સમયે, પસાર થયેલ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{6}{2} = 3$ છે.
તેથી, કાઉન્ટ રેટ $N(6) = 1600 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1600}{8} = 200 \, \text{કાઉન્ટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ (ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) સૂત્ર $\varepsilon = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$v$ એ વેગ છે,અને $l$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વેગ સદિશ બંનેને લંબ વાહકની લંબાઈ છે.
અહીં,વેગ સદિશ $\vec{v} = 6\hat{j} \, m/s$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 0.1\hat{k} \, T$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B} = (6\hat{j}) \times (0.1\hat{k}) = 0.6\hat{i} \, V/m$ દ્વારા મળે છે.
$x-$ અક્ષને લંબ સપાટીઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ (જે $d = 2\, cm = 0.02\, m$ અંતરે છે) $V = E \times d$ છે.
$V = 0.6 \, V/m \times 0.02 \, m = 0.012 \, V$.
મિલીવોલ્ટ $(mV)$ માં રૂપાંતર કરતા,આપણને $V = 0.012 \times 1000 \, mV = 12 \, mV$ મળે છે.

(A) ડાયપોલની અક્ષ પરના બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુ બંને ડાયપોલની અક્ષ પર હોવાથી,$\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ થશે.
ધારો કે બિંદુ ડાયપોલ $A$ થી $x$ અંતરે છે. તો ડાયપોલ $B$ થી તેનું અંતર $(R - x)$ થશે.
આ બિંદુએ ડાયપોલ $A$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_A = \frac{k(4qa)}{x^2}$ (મૂલ્ય લેતા).
આ બિંદુએ ડાયપોલ $B$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_B = \frac{k(2qa)}{(R - x)^2}$.
સ્થિતિમાનને સરખાવતા:
$\frac{k(4qa)}{x^2} = \frac{k(2qa)}{(R - x)^2}$
$\frac{2}{x^2} = \frac{1}{(R - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{R - x}$
$\sqrt{2}(R - x) = x$
$\sqrt{2}R - \sqrt{2}x = x$
$\sqrt{2}R = x(1 + \sqrt{2})$
$x = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{2} + 1}$

(C) ધારો કે બે કોષો વચ્ચેના જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $0 \ V$ છે।
તો ડાબા કોષના ડાબા છેડા પરનો પોટેન્શિયલ $-10 \ V$ અને જમણા કોષના જમણા છેડા પરનો પોટેન્શિયલ $-10 \ V$ થશે।
જોકે, ઉપરના વાયર પરનો પોટેન્શિયલ $0 \ V$ ધારવો સરળ છે।
તો નીચેના વાયર પરનો પોટેન્શિયલ (બે કોષોની વચ્ચે) ડાબી બાજુની સાપેક્ષે $10 \ V$ અને જમણી બાજુની સાપેક્ષે $10 \ V$ થશે।
અવરોધ $R_1$ $(20 \ \Omega)$ માટે: તેની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત $10 \ V - 0 \ V = 10 \ V$ છે। તેથી, પ્રવાહ $I_1 = V/R_1 = 10 \ V / 20 \ \Omega = 0.5 \ A$।
અવરોધ $R_2$ $(20 \ \Omega)$ માટે: નીચેના જમણા નોડ પરનો પોટેન્શિયલ $10 \ V$ છે (જમણા કોષને કારણે)। ઉપરના નોડ પરનો પોટેન્શિયલ $10 \ V$ છે (જમણા કોષને કારણે)। તેથી, $R_2$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત $10 \ V - 10 \ V = 0 \ V$ છે। તેથી, પ્રવાહ $I_2 = 0 \ A$।
આમ, પ્રવાહો અનુક્રમે $0.5 \ A$ અને $0 \ A$ છે।