JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $2^x = t$. $2^x > 0$ હોવાથી,$t > 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $5 + |t - 1| = t(t - 2) = t^2 - 2t$ બને છે.
ગોઠવતા,$|t - 1| = t^2 - 2t - 5$ મળે.
ધારો કે $g(t) = |t - 1|$ અને $f(t) = t^2 - 2t - 5$.
આપણે $t > 0$ માટે ઉકેલો શોધીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $t \ge 1$.
$t - 1 = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$ $\Rightarrow (t - 4)(t + 1) = 0$.
$t \ge 1$ હોવાથી,$t = 4$ મળે. તેથી $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
કિસ્સો $2$: $0 < t < 1$.
$-(t - 1) = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow -t + 1 = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow t^2 - t - 6 = 0$ $\Rightarrow (t - 3)(t + 2) = 0$.
$t = 3$ કે $t = -2$ પૈકી કોઈ પણ $0 < t < 1$ નું પાલન કરતા નથી.
આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $3x^2 + 5y^2 = 32$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $6x + 10y \frac{dy}{dx} = 0$,જેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{5y}$ મળે.
બિંદુ $P(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{3(2)}{5(2)} = -\frac{3}{5}$ છે.
$P(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{3}{5}(x - 2)$ છે. $Q$ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા,$-2 = -\frac{3}{5}(x - 2)$ $\Rightarrow x - 2 = \frac{10}{3}$ $\Rightarrow x = \frac{16}{3}$. આમ,$Q = (\frac{16}{3}, 0)$.
$P(2, 2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = \frac{5}{3}$ છે.
$P(2, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{5}{3}(x - 2)$ છે. $R$ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા,$-2 = \frac{5}{3}(x - 2)$ $\Rightarrow x - 2 = -\frac{6}{5}$ $\Rightarrow x = \frac{4}{5}$. આમ,$R = (\frac{4}{5}, 0)$.
ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |x_Q - x_R| \times |y_P| = \frac{1}{2} \times |\frac{16}{3} - \frac{4}{5}| \times 2 = \frac{68}{15}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ છે કે ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2B = A + C$. $A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$B = 60^{\circ}$ હોવાથી,$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $A = 30^{\circ}$.
તેથી $C = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}$.
$c = 4$ આપેલ છે,તેથી $a = c \sin A = 4 \sin 30^{\circ} = 2$ અને $b = c \sin B = 4 \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} \times \sin 90^{\circ} = 2\sqrt{3} \text{ sq. cm}$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b = ar$ અને $c = ar^2.$
$3a, 7b, 15c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$2(7b) = 3a + 15c.$
$b$ અને $c$ ની કિંમત મૂકતા: $14(ar) = 3a + 15ar^2.$
$a \ne 0$ હોવાથી,$15r^2 - 14r + 3 = 0.$
અવયવ પાડતા: $(3r - 1)(5r - 1) = 0,$ તેથી $r = \frac{1}{3}$ અથવા $r = \frac{1}{5}.$
$0 < r \le \frac{1}{2}$ હોવાથી,બંને કિંમતો સ્વીકાર્ય છે. વિકલ્પો મુજબ,$r = \frac{1}{3}$ લેતા.
સામાન્ય તફાવત $d = 7b - 3a = 7a(\frac{1}{3}) - 3a = -\frac{2a}{3}.$
ચોથું પદ $= 15c + d = 15a(\frac{1}{3})^2 - \frac{2a}{3} = \frac{15a}{9} - \frac{2a}{3} = a.$

(A) ધારો કે આપેલ સરવાળો $S$ છે. શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k}$ છે.
સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ મળે.
પ્રથમ $15$ પદોનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{15} T_n = \sum_{n=1}^{15} \frac{n(n+1)}{2} = 680$ થાય.
આપેલ પદાવલિ $\sum_{n=1}^{15} T_n - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} n = 680 - \frac{1}{2} \times 120 = 680 - 60 = 620$ છે.

(D) આપણે પદાવલિ $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ નું નિષેધ શોધવા માંગીએ છીએ.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s)) = \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
આ $s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$ માં સરળ બને છે,જે $s \wedge (r \vee \sim s)$ છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
કારણ કે $s \wedge \sim s = \phi$ (વિરોધાભાસ),પદાવલિ $(s \wedge r) \vee \phi$ બને છે.
આમ,પરિણામ $s \wedge r$ છે.

(D) ધારો કે $z = r_1 e^{i\theta_1}$ અને $w = r_2 e^{i\theta_2}$ છે.
આપેલ છે કે $|zw| = |z||w| = r_1 r_2 = 1$,તેથી $r_2 = \frac{1}{r_1}$.
આપેલ છે કે $\arg(z) - \arg(w) = \theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\theta_1 = \theta_2 + \frac{\pi}{2}$.
હવે,$\bar{z}w = (r_1 e^{-i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા,$\bar{z}w = (1) e^{i(-\pi/2)} = \cos(-\pi/2) + i\sin(-\pi/2) = -i$.
આમ,$\bar{z}w = -i$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે,તેથી $a = 3$. સ્પર્શક $y = mx + \frac{3}{m}$ છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $8x^2 - y^2 = 8$ છે,જે $x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 8$ છે.
સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{m^2 - 8}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શકો માટે,$\frac{3}{m} = \pm \sqrt{m^2 - 8}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{9}{m^2} = m^2 - 8 \Rightarrow m^4 - 8m^2 - 9 = 0$.
$(m^2 - 9)(m^2 + 1) = 0$. $m$ વાસ્તવિક હોવાથી,$m^2 = 9$,તેથી $m = \pm 3$.
સામાન્ય સ્પર્શકો $y = 3x + 1$ અને $y = -3x - 1$ છે.
આને ઉકેલતા,છેદબિંદુ $P$ એ $(-1/3, 0)$ મળે છે.
અતિવલય $x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$ માટે,$e = \sqrt{1 + 8} = 3$.
નાભિઓ $S(3, 0)$ અને $S'(-3, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ એ $SS'$ ને $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તો $P = \left( \frac{3-3k}{k+1}, 0 \right)$.
$P(-1/3, 0)$ સાથે સરખાવતા,$\frac{3-3k}{k+1} = -\frac{1}{3}$.
$9 - 9k = -k - 1$ $\Rightarrow 8k = 10$ $\Rightarrow k = 5/4$.
આમ,ગુણોત્તર $5 : 4$ છે.

(C) $6$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,એક શિરોબિંદુ છોડીને બીજા શિરોબિંદુને પસંદ કરવાથી સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે. શક્ય સમબાજુ ત્રિકોણો $\triangle A_{1}A_{3}A_{5}$ અને $\triangle A_{2}A_{4}A_{6}$ છે.
આમ,આવા $2$ સમબાજુ ત્રિકોણો છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+x)(1-x)^{10}(1+x+x^2)^9$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)(1+x+x^2) = (1-x^3)$.
પદાવલિને આ રીતે લખો: $(1-x)(1-x^2)(1-x^3)^9$
$= (1-x-x^2+x^3)(1-x^3)^9$
$= (1-x-x^2+x^3) \sum_{k=0}^{9} \binom{9}{k} (-1)^k x^{3k}$
આપણને $x^{18}$ નો સહગુણક જોઈએ છે. આ ત્યારે મળે જ્યારે $3k = 18$,એટલે કે $k=6$.
$k=6$ ને અનુરૂપ પદ $\binom{9}{6} (-1)^6 x^{18} = 84 x^{18}$ છે.
આમ,સહગુણક $84$ છે.

(A) ધારો કે $10$ સમાન વસ્તુઓ $I$ છે અને $21$ ભિન્ન વસ્તુઓ $D_1, D_2, ..., D_{21}$ છે.
$10$ વસ્તુઓ પસંદ કરવા માટે,આપણે $21$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $k$ વસ્તુઓ અને $10$ સમાન વસ્તુઓમાંથી $(10-k)$ વસ્તુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $0 \le k \le 10$.
સમાન વસ્તુઓ હોવાથી,તેમને પસંદ કરવાની માત્ર $1$ રીત છે.
કુલ રીતો = $\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \binom{21}{0} + \binom{21}{1} + ... + \binom{21}{10}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{21} \binom{21}{k} = 2^{21}$.
$\binom{21}{k} = \binom{21}{21-k}$ હોવાથી,$\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \sum_{k=11}^{21} \binom{21}{k}$ થાય.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k}$. તો $S + S = 2^{21}$,તેથી $S = 2^{20}$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો સમીકરણ $|x + iy - i| = |x + iy - 1|$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $|x + i(y - 1)| = |(x - 1) + iy|$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$ મળે છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2$.
બંને બાજુથી $x^2, y^2$ અને $1$ દૂર કરતા,$-2y = -2x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય છે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $1$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ છે.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ ચાર અવલોકનોનો મધ્યક $11$ છે,તેથી $\sum_{i=1}^{4} x_i = 4 \times 11 = 44$.
બાકીના છ અવલોકનોનો મધ્યક $16$ છે,તેથી $\sum_{i=5}^{10} x_i = 6 \times 16 = 96$.
બધા અવલોકનોનો કુલ સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i = 44 + 96 = 140$ થાય.
માહિતીનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{140}{10} = 14$ છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\sigma^2 = \frac{2000}{10} - (14)^2 = 200 - 196 = 4$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{4} = 2$ થાય.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $375x^2 - 25x - 2 = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{25}{375} = \frac{1}{15}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{-2}{375}$ છે.
અભિવ્યક્તિ $\sum_{r=1}^{\infty} \alpha^r + \sum_{r=1}^{\infty} \beta^r = \frac{\alpha}{1-\alpha} + \frac{\beta}{1-\beta}$ થાય છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{(\alpha+\beta) - 2\alpha\beta}{1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{1}{15} + \frac{4}{375}}{1 - \frac{1}{15} - \frac{2}{375}} = \frac{\frac{25+4}{375}}{\frac{375-25-2}{375}} = \frac{29}{348} = \frac{1}{12}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $1 + \sin^4 x = \cos^2 3x$ છે.
અહીં $\sin^4 x \ge 0$ હોવાથી,ડાબી બાજુ $1 + \sin^4 x \ge 1$ થાય.
જમણી બાજુ $\cos^2 3x \le 1$ થાય.
સમાનતા માટે,$1 + \sin^4 x = 1$ અને $\cos^2 3x = 1$ હોવું જોઈએ.
$1 + \sin^4 x = 1 \implies \sin x = 0 \implies x = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
હવે $x = n\pi$ માટે $\cos^2 3x = 1$ ચકાસતા:
$\cos^2(3n\pi) = 1$ જે હંમેશા સત્ય છે.
$x \in [-\frac{5\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ અંતરાલમાં $x = n\pi$ ના મૂલ્યો:
$n = -2, -1, 0, 1, 2$ માટે $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$.
આમ,કુલ $5$ ઉકેલો મળે છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(2\cos \theta, \sqrt{3}\sin \theta)$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે,જે $2x\sec \theta - \sqrt{3}y\csc \theta = 1$ માં પરિણમે છે.
આ અભિલંબનો ઢાળ $\frac{2}{\sqrt{3}}\tan \theta$ છે.
અભિલંબ રેખા $2x + y = 4$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $-2$ છે. તેથી,$\frac{2}{\sqrt{3}}\tan \theta = -2$,જે $\tan \theta = -\sqrt{3}$ આપે છે.
$\tan \theta = -\sqrt{3}$ માટે,$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \mp \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x\cos \theta + \frac{2y\sin \theta}{\sqrt{3}} = 2$ છે.
સ્પર્શક $Q(4, 4)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$4\cos \theta + \frac{8\sin \theta}{\sqrt{3}} = 2$ મળે છે.
$\sin \theta = -\sqrt{3}\cos \theta$ મૂકતા,આપણને $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી,$P = (-1, 3/2)$.
$PQ = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (4 - 3/2)^2} = \sqrt{5^2 + (5/2)^2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y = \sin \,x \sin \,(x + 2) - \sin^2 \,(x + 1)$
$2$ વડે ગુણતા: $2y = 2 \sin \,x \sin \,(x + 2) - 2 \sin^2 \,(x + 1)$
નિત્યસમ $2 \sin \,A \sin \,B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \,x \sin \,(x + 2) = \cos(x - (x + 2)) - \cos(x + x + 2) = \cos(-2) - \cos(2x + 2) = \cos \,2 - \cos(2x + 2)$
નિત્યસમ $2 \sin^2 \,A = 1 - \cos(2A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin^2 \,(x + 1) = 1 - \cos(2(x + 1)) = 1 - \cos(2x + 2)$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2y = (\cos \,2 - \cos(2x + 2)) - (1 - \cos(2x + 2))$
$2y = \cos \,2 - 1$
અહીં $\cos \,2 < 1$ હોવાથી,$y < 0$ મળે.
આ એક આડી રેખા $y = k$ દર્શાવે છે જ્યાં $k < 0$,જે ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાંથી પસાર થાય છે.

(B) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 5 \ cm$ અને $r_2 = 12 \ cm$ છે. વર્તુળો $90^o$ ના ખૂણે છેદતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \ cm$ થાય.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2x$ ધારો. સામાન્ય જીવા કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{2} \times r_1 \times r_2 = \frac{1}{2} \times d \times x$.
$\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 13 \times x$.
$60 = 13x \implies x = \frac{60}{13}$.
તેથી,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2x = \frac{120}{13} \ cm$ થાય.

(C) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S_4 = 16$ માટે,$\frac{4}{2} \{2a + 3d\} = 16$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 3d = 8$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
$S_6 = -48$ માટે,$\frac{6}{2} \{2a + 5d\} = -48$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 5d = -16$ (સમીકરણ $2$) થાય છે.
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(2a + 5d) - (2a + 3d) = -16 - 8$,તેથી $2d = -24$,જે $d = -12$ આપે છે.
$d = -12$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2a + 3(-12) = 8$,તેથી $2a - 36 = 8$,જે $2a = 44$ આપે છે,તેથી $a = 22$.
હવે,$S_{10} = \frac{10}{2} \{2a + 9d\} = 5 \{2(22) + 9(-12)\} = 5 \{44 - 108\} = 5 \{-64\} = -320$.

(A) શરતી વિધાન $p \to (\sim q \vee r)$ અસત્ય $(F)$ ત્યારે જ હોય જ્યારે પૂર્વગ સત્ય $(T)$ હોય અને ઉત્તરગ અસત્ય $(F)$ હોય.
$1$. $p = T$
$2$. $(\sim q \vee r) = F$
વિકલ્પ $(\sim q \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,બંને ઘટકો અસત્ય હોવા જોઈએ:
$\sim q = F \implies q = T$
$r = F$
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = T, r = F$ છે.

(C) ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{99} \left[ -\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $-1 \le x < 0$ હોય તો $[x] = -1$ અને જો $-2 \le x < -1$ હોય તો $[x] = -2$.
પદ $\left[ -\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \right]$ માટે,કિંમત $-1$ ત્યારે મળે જ્યારે $-\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \ge -1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k}{100} \le 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,તેથી $k \le \frac{200}{3} \approx 66.66$.
આમ,$k = 0, 1, 2, \dots, 66$ (કુલ $67$ પદો) માટે,કિંમત $-1$ છે.
$k = 67, 68, \dots, 99$ (કુલ $33$ પદો) માટે,કિંમત $-2$ છે.
સરવાળો $= 67 \times (-1) + 33 \times (-2) = -67 - 66 = -133$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$
$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2 \sin^2 x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$
$2 \sin^2 x - \alpha \sin x + 2\alpha - 8 = 0$
આ $\sin x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 16\alpha + 64}}{4} = \frac{\alpha \pm (\alpha - 8)}{4}$
કિસ્સો $1$: $\sin x = \frac{2\alpha - 8}{4} = \frac{\alpha - 4}{2}$
કિસ્સો $2$: $\sin x = 2$ (શક્ય નથી)
ઉકેલ માટે,$-1 \leq \frac{\alpha - 4}{2} \leq 1$
$-2 \leq \alpha - 4 \leq 2$
$2 \leq \alpha \leq 6$
તેથી,$S = [2, 6]$.

(C) $f(x) = 5 - |x - 2|$.
$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $|x - 2| = 0$,એટલે કે $x = 2 = \alpha$.
$g(x) = |x + 1|$.
$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $x + 1 = 0$,એટલે કે $x = -1 = \beta$.
આપણે $\lim_{x \to \alpha \beta} \frac{(x - 1)(x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 6x + 8}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં $\alpha \beta = (2)(-1) = -2$ છે,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ લક્ષ $x \to 2$ લેતા જવાબ $\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $z = x + 10i$.
આપેલ છે $\frac{2z - n}{2z + n} = 2i - 1$.
$z = x + 10i$ મુકતા:
$\frac{2(x + 10i) - n}{2(x + 10i) + n} = 2i - 1$
$(2x - n) + 20i = (2i - 1)((2x + n) + 20i)$
$(2x - n) + 20i = 2i(2x + n) + 40i^2 - (2x + n) - 20i$
$(2x - n) + 20i = (2i(2x + n) - 20i) - 40 - (2x + n)$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $2x - n = -40 - (2x + n)$ $\Rightarrow$ $2x - n = -40 - 2x - n$ $\Rightarrow$ $4x = -40$ $\Rightarrow$ $x = -10$.
કાલ્પનિક ભાગ: $20 = 2(2x + n) - 20$ $\Rightarrow$ $40 = 2(2x + n)$ $\Rightarrow$ $20 = 2x + n$.
$x = -10$ ને $20 = 2x + n$ માં મુકતા:
$20 = 2(-10) + n$ $\Rightarrow$ $20 = -20 + n$ $\Rightarrow$ $n = 40$.
આમ, $n = 40$ અને $Re(z) = -10$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\left( \frac{1}{60} - \frac{x^8}{81} \right) \left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ છે.
$\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^6C_r} (2x^2)^{6-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^r = {^6C_r} 2^{6-r} (-3)^r x^{12-4r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ મેળવવા માટે:
$1$. $\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ માં $12-4r = 0 \Rightarrow r = 3$ લેતા,પદ ${^6C_3} 2^3 (-3)^3 = 20 \times 8 \times (-27) = -4320$ મળે.
તેને $\frac{1}{60}$ સાથે ગુણતા,$\frac{1}{60} \times (-4320) = -72$ મળે.
$2$. $\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ માં $12-4r = -8 \Rightarrow r = 5$ લેતા,પદ ${^6C_5} 2^1 (-3)^5 = 6 \times 2 \times (-243) = -2916$ મળે.
તેને $-\frac{1}{81}$ સાથે ગુણતા,$-\frac{1}{81} \times (-2916) = 36$ મળે.
કુલ સરવાળો $-72 + 36 = -36$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $a_1 + a_7 + a_{16} = 40$.
$A.P.$ ના $n$ માં પદના સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + (a + 6d) + (a + 15d) = 40$
$3a + 21d = 40$
$3(a + 7d) = 40$
$a + 7d = \frac{40}{3}$
આપણે પ્રથમ $15$ પદોનો સરવાળો $S_{15}$ શોધવાનો છે.
$S_{15} = \frac{15}{2} [2a + (15-1)d]$
$S_{15} = \frac{15}{2} [2a + 14d]$
$S_{15} = 15(a + 7d)$
$(a + 7d)$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_{15} = 15 \times \frac{40}{3} = 5 \times 40 = 200$.

(D) નાભિ $(0, \pm c)$ પર છે જ્યાં $c = 2$. નાભિ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલય શિરોલંબ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2a = 4$ છે,તેથી $a = 2$.
ઉપવલય માટે,$c^2 = b^2 - a^2$,જ્યાં $b$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે.
$2^2 = b^2 - 2^2$ $\Rightarrow 4 = b^2 - 4$ $\Rightarrow b^2 = 8$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} = 1$ થાય.
વિકલ્પ $(D)$ ચકાસતા: $\frac{(\sqrt{2})^2}{4} + \frac{2^2}{8} = \frac{2}{4} + \frac{4}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
આમ,બિંદુ $(\sqrt{2}, 2)$ ઉપવલય પર આવેલું છે.

(A) આપેલ છે કે $\phi \ne A \cap B \subseteq C$.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસો: જો $(A - C) \subseteq B$ હોય તો $A \subseteq B$.
ધારો કે $A = \{1, 2\}$,$B = \{2, 3\}$,$C = \{1, 2\}$.
અહીં $A \cap B = \{2\} \subseteq C$ અને $A \cap B \ne \phi$.
$A - C = \phi \subseteq B$ સત્ય છે.
પરંતુ $A = \{1, 2\} \not\subseteq B = \{2, 3\}$.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલ વિધાન સત્ય નથી.

(D) $\alpha, \beta, \gamma$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$\beta^2 = \alpha\gamma$ મળે.
આપેલ છે કે સમીકરણો $\alpha x^2 + 2\beta x + \gamma = 0$ અને $x^2 + x - 1 = 0$ ના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવાથી,બંને બીજ સામાન્ય હશે.
તેથી,$\frac{\alpha}{1} = \frac{2\beta}{1} = \frac{\gamma}{-1} = k$.
જેથી $\alpha = k$,$\beta = \frac{k}{2}$,અને $\gamma = -k$ મળે.
હવે,$\alpha(\beta + \gamma) = k(\frac{k}{2} - k) = k(-\frac{k}{2}) = -\frac{k^2}{2}$.
વળી,$\beta\gamma = (\frac{k}{2})(-k) = -\frac{k^2}{2}$.
આમ,$\alpha(\beta + \gamma) = \beta\gamma$.

(D) આપેલ વક્ર $y = (x - 2)^2 - 1$ છે,જેને $(x - 2)^2 = y + 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માંથી પરવલય $(x - 2)^2 = y + 1$ માટે સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x - 2)(x_1 - 2) = \frac{1}{2}(y + y_1 + 2)$
$2(x - 2)(x_1 - 2) = y + y_1 + 2$
$2(x_1 - 2)x - y - (4x_1 + y_1 - 6) = 0 \quad ......(i)$
આપણને આપેલ છે કે સ્પર્શજીવા રેખા $x - y - 3 = 0$ છે $\quad ......(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2(x_1 - 2)}{1} = \frac{-1}{-1} = \frac{-(4x_1 + y_1 - 6)}{-3}$
$\frac{2(x_1 - 2)}{1} = 1$ પરથી,$2x_1 - 4 = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{5}{2}$.
$\frac{-(4x_1 + y_1 - 6)}{-3} = 1$ પરથી,$4x_1 + y_1 = 9$.
$x_1 = \frac{5}{2}$ મુકતા: $4(\frac{5}{2}) + y_1 = 9$ $\Rightarrow 10 + y_1 = 9$ $\Rightarrow y_1 = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $\left( \frac{5}{2}, -1 \right)$ છે.

(C) ધારો કે $MN$ એ $h$ ઊંચાઈનો ટાવર છે અને $AN = x$ એ ટાવરના પાયાથી બિંદુ $A$ નું અંતર છે.
$\Delta ANM$ માં,$\tan(45^o) = \frac{MN}{AN} = \frac{h}{x} = 1 \Rightarrow h = x$.
બિંદુ $B$ એ $A$ થી $30 \, m$ ઉપર છે,તેથી $PB = AN = x$ અને $PM = MN - NP = h - 30 = x - 30$.
$\Delta BPM$ માં,$\tan(30^o) = \frac{PM}{PB} = \frac{x - 30}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x - 30}{x} \Rightarrow x = \sqrt{3}x - 30\sqrt{3}$.
$x(\sqrt{3} - 1) = 30\sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $x = \frac{30\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{30(3 + \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{30(3 + \sqrt{3})}{2} = 15(3 + \sqrt{3}) \, m$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ છે કે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $E(-1, 1)$ અને $F(2, 3)$ છે.
$AB$ માટે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x_2 + 1}{2} = -1 \implies x_2 + 1 = -2 \implies x_2 = -3$
$\frac{y_2 + 2}{2} = 1 \implies y_2 + 2 = 2 \implies y_2 = 0$
તેથી,$B = (-3, 0)$.
$AC$ માટે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x_3 + 1}{2} = 2 \implies x_3 + 1 = 4 \implies x_3 = 3$
$\frac{y_3 + 2}{2} = 3 \implies y_3 + 2 = 6 \implies y_3 = 4$
તેથી,$C = (3, 4)$.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ જે શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ ધરાવે છે,તેનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
$G = \left( \frac{1 - 3 + 3}{3}, \frac{2 + 0 + 4}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{6}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, 2 \right)$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^{20} = \sum_{r=0}^{20} {^{20}C_r} x^r = {^{20}C_0} + {^{20}C_1} x + {^{20}C_2} x^2 + \dots + {^{20}C_{20}} x^{20} \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$20(1+x)^{19} = ^{20}C_1 + 2 \cdot ^{20}C_2 x + 3 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $x$ વડે ગુણતા:
$20x(1+x)^{19} = ^{20}C_1 x + 2 \cdot ^{20}C_2 x^2 + 3 \cdot ^{20}C_3 x^3 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{20} \dots (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$20[(1+x)^{19} + 19x(1+x)^{18}] = ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 x + 3^2 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (iv)$
સમીકરણ $(iv)$ માં $x=1$ મૂકતા:
$20[2^{19} + 19(2^{18})] = 1^2 \cdot ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20}$
$= 20 \cdot 2^{18} [2 + 19] = 20 \cdot 21 \cdot 2^{18} = 420 \cdot 2^{18}$
$A(2^\beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 420$ અને $\beta = 18$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(420, 18)$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, r)$ અથવા $(3, -r)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x-$ અક્ષને $(3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી તેનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2$ અથવા $(x - 3)^2 + (y + r)^2 = r^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 6x + 9 + y^2 \mp 2ry + r^2 = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 6x \mp 2ry + 9 = 0$ મળે.
$y-$ અંતઃખંડ $2\sqrt{f^2 - c}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = \mp r$ અને $c = 9$.
અંતઃખંડની લંબાઈ $8$ આપેલ છે,તેથી $2\sqrt{r^2 - 9} = 8$.
$\sqrt{r^2 - 9} = 4 \implies r^2 - 9 = 16 \implies r^2 = 25 \implies r = 5$.
વર્તુળોના સમીકરણો $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 9 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $(3, 10)$ બિંદુ ચકાસતા: $(3)^2 + (10)^2 - 6(3) - 10(10) + 9 = 9 + 100 - 18 - 100 + 9 = 0$.
આમ,વર્તુળ $(3, 10)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) પરવલય $y^2 = 16x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{4}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $a = 4$. તેથી,$y = mx + \frac{4}{m} \dots (i)$.
જો આ રેખા અતિવલય $xy = -4$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો $(i)$ માંથી $y$ ની કિંમત અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા $x(mx + \frac{4}{m}) = -4$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $mx^2 + \frac{4}{m}x + 4 = 0$ અથવા $m^2x^2 + 4x + 4m = 0$ થાય.
રેખા સ્પર્શક હોય તે માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ: $D = (4)^2 - 4(m^2)(4m) = 0$.
$16 - 16m^3 = 0$ $\Rightarrow m^3 = 1$ $\Rightarrow m = 1$.
$m = 1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $y = x + 4$ મળે છે,જેને $x - y + 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $5 + n$.
આપણે $3$ વિદ્યાર્થીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક છોકરો અને એક છોકરી હોય.
શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: $1$ છોકરો અને $2$ છોકરીઓ: $^5C_1 \times ^nC_2 = 5 \times \frac{n(n-1)}{2} = \frac{5n(n-1)}{2}$.
કિસ્સો $2$: $2$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી: $^5C_2 \times ^nC_1 = 10 \times n = 10n$.
કુલ પ્રકારો = $\frac{5n(n-1)}{2} + 10n = 1750$.
$2$ વડે ગુણતા: $5n(n-1) + 20n = 3500$.
$5$ વડે ભાગતા: $n(n-1) + 4n = 700$.
$n^2 - n + 4n = 700 \Rightarrow n^2 + 3n - 700 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n + 28)(n - 25) = 0$.
$n$ ધન હોવાથી,$n = 25$.

(A) રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p = 4$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
રેખા $x + y = 0$ નો ઢાળ $-1$ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $135^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઉગમબિંદુથી રેખા $L$ પરનો લંબ $x + y = 0$ સાથે $60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\alpha = 135^o \pm 60^o$.
કિસ્સો $1$: $\alpha = 135^o - 60^o = 75^o$.
$\cos 75^o = \frac{\sqrt 3 - 1}{2\sqrt 2}$ અને $\sin 75^o = \frac{\sqrt 3 + 1}{2\sqrt 2}$.
સમીકરણ $(\sqrt 3 - 1)x + (\sqrt 3 + 1)y = 8\sqrt 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 2\sin x}}{{\sqrt {{x^2} + 2\sin x + 1} - \sqrt {{{\sin }^2}x - x + 1} }}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + 2\sin x)(\sqrt {{x^2} + 2\sin x + 1} + \sqrt {{{\sin }^2}x - x + 1} )}}{{x^2 + x + 2\sin x - {{\sin }^2}x}}$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + 2\frac{\sin x}{x})(\sqrt {{x^2} + 2\sin x + 1} + \sqrt {{{\sin }^2}x - x + 1} )}}{{x + 1 + 2\frac{\sin x}{x} - \sin x \frac{\sin x}{x}}}$
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $\frac{\sin x}{x} \to 1$ અને $\sin x \to 0$:
$L = \frac{{(1 + 2(1))(1 + 1)}}{{0 + 1 + 2(1) - 0}} = \frac{6}{3} = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ $p \Rightarrow r$ એ $(\sim p) \vee r$ ને સમકક્ષ છે.
તેથી,$p \Rightarrow (\sim q)$ એ $(\sim p) \vee (\sim q)$ ને સમકક્ષ છે.
હવે,નિષેધ લાગુ કરતા: $\sim (p \Rightarrow (\sim q)) = \sim ((\sim p) \vee (\sim q))$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$.
તેથી,$\sim ((\sim p) \vee (\sim q)) = (\sim (\sim p)) \wedge (\sim (\sim q)) = p \wedge q$.
આમ,સાચો જવાબ વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) આપણે લક્ષની કિંમત મેળવીએ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x (\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{2-(1+\cos x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x (\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x}$
નિત્યસમ $\sin ^2 x = 1-\cos ^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} (1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})$
$x = 0$ મૂકતા:
$= (1+\cos 0)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos 0})$
$= (1+1)(\sqrt{2}+\sqrt{1+1})$
$= 2 \times (\sqrt{2}+\sqrt{2})$
$= 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

(A) આપેલ પદાવલિ: $[\sim(\sim p \vee q) \vee (p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r)]$.
પ્રથમ ભાગમાં ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા: $\sim(\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim q)$.
હવે પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $[(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r))]$.
જૂથના અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા: $(p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge (r \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge r$.
આને પાછું મૂકતા: $(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge \sim q) \wedge r)$.
શોષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $A \vee (A \wedge B) \equiv A$,જ્યાં $A = (p \wedge \sim q)$ અને $B = r$.
તેથી,પદાવલિ $(p \wedge \sim q)$ માં સરળ બને છે.

(B) આપેલ છે કે $q$ અસત્ય છે અને $p \wedge q \leftrightarrow r$ સત્ય છે.
$q \equiv F$ હોવાથી,$p \wedge q \equiv F$ થાય.
દ્વિ-શરતી વિધાન $p \wedge q \leftrightarrow r$ સત્ય હોવા માટે,$r$ નું સત્યતા મૂલ્ય $p \wedge q$ જેવું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$r \equiv F$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A)$ $p \vee r \equiv p \vee F \equiv p$,જે નિત્યસત્ય નથી.
$(B)$ $(p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) \equiv (p \wedge F)$ $\rightarrow (p \vee F) \equiv F$ $\rightarrow p$. $F \rightarrow p$ હંમેશા સત્ય હોવાથી,આ નિત્યસત્ય છે.
$(C)$ $(p \vee r)$ $\rightarrow (p \wedge r) \equiv (p \vee F)$ $\rightarrow (p \wedge F) \equiv p$ $\rightarrow F$,જે નિત્યસત્ય નથી.
$(D)$ $p \wedge r \equiv p \wedge F \equiv F$,જે વ્યાઘાત (contradiction) છે.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{50}$ છે.
આપેલ છે કે $30$ થી વિચલનોનો સરવાળો $50$ છે,તેથી:
$\sum_{i=1}^{50} (x_i - 30) = 50$
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sum_{i=1}^{50} x_i - \sum_{i=1}^{50} 30 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - (50 \times 30) = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - 1500 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i = 1550$
હવે,મધ્યક $\bar{x}$ નીચે મુજબ મળે:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{n} = \frac{1550}{50} = 31$

(A) રેખા $l_1$ નો ઢાળ $= \frac{4-2}{-3-1} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ $(h, k)$ એ $l_1$ પર હોવાથી,$(h, k)$ અને $(1, 2)$ વચ્ચેનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ થાય:
$\frac{k-2}{h-1} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k-4 = -h+1$ $\Rightarrow h+2k = 5$ ... $(i)$.
રેખા $l_2$ એ $(h, k)$ અને $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $l_1$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ થાય.
તેથી,$\frac{3-k}{4-h} = 2$ $\Rightarrow 3-k = 8-2h$ $\Rightarrow 2h-k = 5$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4h-2k = 10$ ... $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $(h+2k) + (4h-2k) = 5+10$ $\Rightarrow 5h = 15$ $\Rightarrow h = 3$.
$h=3$ ને $(i)$ માં મુકતા: $3+2k = 5$ $\Rightarrow 2k = 2$ $\Rightarrow k = 1$.
તેથી,$\frac{k}{h} = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ સંખ્યાઓ $-1, 0, 1, k$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન,$\sigma = \sqrt{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$.
અહીં,$n = 4$.
$\sigma^2 = 5 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + k^2}{4} - \left(\frac{-1 + 0 + 1 + k}{4}\right)^2$.
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \left(\frac{k}{4}\right)^2$.
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \frac{k^2}{16}$.
સમીકરણને $16$ વડે ગુણતા:
$80 = 4(2 + k^2) - k^2$.
$80 = 8 + 4k^2 - k^2$.
$72 = 3k^2$.
$k^2 = 24$.
$k > 0$ હોવાથી,$k = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(D) આપેલ અસમતા $2^{\sqrt{\sin^2 x - 2 \sin x + 5}} \cdot 2^{-2 \sin^2 y} \leq 1$ છે.
આને $2^{\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4}} \leq 2^{2 \sin^2 y}$ તરીકે લખી શકાય.
આધાર $2 > 1$ હોવાથી,$\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \leq 2 \sin^2 y$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sin x - 1)^2 \geq 0$,તેથી $\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \geq 2$.
આમ,$2 \sin^2 y \geq 2$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 y \geq 1$.
$\sin^2 y$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$\sin^2 y = 1$ એટલે કે $\sin y = \pm 1$.
$\sin^2 y = 1$ મૂકતા,$\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \leq 2$ મળે.
આથી $(\sin x - 1)^2 + 4 \leq 4$,એટલે કે $(\sin x - 1)^2 \leq 0$.
તેથી $\sin x = 1$.
આમ,$\sin x = |\sin y|$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2+4x-6y-12=0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O_1 = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4+9+12} = 5$ છે.
માગેલ વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O_1(-2, 3)$ અને સ્પર્શબિંદુ $P(1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે.
રેખા $O_1P$ નો ઢાળ $m = \frac{-1-3}{1-(-2)} = \frac{-4}{3}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P(1, -1)$ આગળ અભિલંબની રેખાનો ઢાળ $m' = \frac{-1}{-4/3} = \frac{3}{4}$ થશે.
આ અભિલંબનું સમીકરણ $y+1 = \frac{3}{4}(x-1) \Rightarrow 3x-4y-7=0$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે,જે આ રેખા પર હોવાથી $3h-4k=7$ થાય.
વળી,$(h, k)$ થી $P(1, -1)$ નું અંતર $R$ છે અને $(h, k)$ થી $(4, 0)$ નું અંતર પણ $R$ છે. તેથી,$(h-1)^2 + (k+1)^2 = (h-4)^2 + k^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $h^2-2h+1 + k^2+2k+1 = h^2-8h+16 + k^2$.
જેથી $6h+2k=14 \Rightarrow 3h+k=7$ મળે.
સમીકરણો $3h-4k=7$ અને $3h+k=7$ ઉકેલતા,$5k=0 \Rightarrow k=0$ અને $h=7/3$ મળે.
આમ,ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(7/3-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{(4/3)^2 + 1^2} = \sqrt{16/9 + 1} = 5/3$ મળે છે. (નોંધ: ગણતરી મુજબ $R=5$ સાચો જવાબ છે).

(A) સૌ પ્રથમ,$\vec{a} + \vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{j}$ અને $\vec{a} - \vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{k}$ મેળવો.
બંને સદિશોને લંબ સદિશ તેમનો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 16\hat{i} - 16\hat{j} - 8\hat{k} = 8(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
આ સદિશનું માન $8 \times 3 = 24$ છે.
$12$ માન ધરાવતો સદિશ મેળવવા માટે,આપણે તેને $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ વડે ગુણવું પડે.
તેથી,જરૂરી સદિશ $\pm 4(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$ છે.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = \sqrt{x}$,$g(x) = \tan x$,અને $h(x) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$ છે.
પ્રથમ,$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{\tan x}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\phi(x) = (h \circ (f \circ g))(x) = h(\sqrt{\tan x})$ શોધો.
$h(x)$ માં $\sqrt{\tan x}$ મૂકતા,આપણને $\phi(x) = \frac{1 - (\sqrt{\tan x})^2}{1 + (\sqrt{\tan x})^2} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan\left( \frac{\pi}{4} - x \right)$.
હવે,$\phi\left( \frac{\pi}{3} \right) = \tan\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} \right) = \tan\left( \frac{3\pi - 4\pi}{12} \right) = \tan\left( -\frac{\pi}{12} \right) = -\tan\left( \frac{\pi}{12} \right)$ ગણો.
કારણ કે $\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$,તેથી $-\tan\left( \frac{\pi}{12} \right) = \tan\left( \pi - \frac{\pi}{12} \right) = \tan\left( \frac{11\pi}{12} \right)$ થાય.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x + \csc x} dx$.
વિધેયનું સાદુરૂપ આપતા: $\frac{\cot x}{\cot x + \csc x} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\cos x}{\cos x + 1}$.
નિત્યસમ $\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{\cos x}{\cos x + 1} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = 1 - \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
હવે સંકલન કરતા: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}) dx$.
$I = [x - \tan \frac{x}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}}$.
સીમાઓ મૂકતા: $I = (\frac{\pi}{2} - \tan \frac{\pi}{4}) - (0 - \tan 0) = \frac{\pi}{2} - 1$.
આને $I = \frac{1}{2}(\pi - 2) = \frac{1}{2}(\pi + (-2))$ તરીકે લખી શકાય.
$m(\pi + n)$ સાથે સરખાવતા,$m = \frac{1}{2}$ અને $n = -2$ મળે છે.
તેથી,$m \cdot n = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$.

(C) આપેલ છે કે $B = A^{-1}$,તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(B) = \frac{1}{\det(A)}$.
પ્રથમ,શ્રેણિક $B$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$\det(B) = 5(2(-1) - 3(1)) - 2\alpha(0(-1) - \alpha(1)) + 1(0(3) - \alpha(2))$
$\det(B) = 5(-5) + 2\alpha^2 - 2\alpha = 2\alpha^2 - 2\alpha - 25$.
શરત $\det(A) + 1 = 0$ મુજબ,$\det(A) = -1$ થાય.
તેથી,$\det(B) = \frac{1}{-1} = -1$.
$\det(B)$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$2\alpha^2 - 2\alpha - 25 = -1$
$2\alpha^2 - 2\alpha - 24 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$\alpha^2 - \alpha - 12 = 0$
$(\alpha - 4)(\alpha + 3) = 0$.
$\alpha$ ના મૂલ્યો $4$ અને $-3$ મળે છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $4 + (-3) = 1$ થાય છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}=\lambda$ છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $x=3\lambda+2, y=2\lambda-1, z=-\lambda+1$ દ્વારા મળે છે.
સમતલ $2x+3y-z+13=0$ સાથેના છેદબિંદુ માટે:
$2(3\lambda+2)+3(2\lambda-1)-(-\lambda+1)+13=0$
$6\lambda+4+6\lambda-3+\lambda-1+13=0$
$13\lambda+13=0 \implies \lambda=-1$.
$\lambda=-1$ મૂકતા,આપણને $P(-1, -3, 2)$ મળે છે.
સમતલ $3x+y+4z=16$ સાથેના છેદબિંદુ માટે:
$3(3\lambda+2)+(2\lambda-1)+4(-\lambda+1)=16$
$9\lambda+6+2\lambda-1-4\lambda+4=16$
$7\lambda+9=16 \implies 7\lambda=7 \implies \lambda=1$.
$\lambda=1$ મૂકતા,આપણને $Q(5, 1, 0)$ મળે છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-3))^2 + (0 - 2)^2}$.
$PQ = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.

(D) સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + \lambda \hat{k}$,અને $\vec{c} = \lambda \hat{i} + \hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે:
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \\ \lambda & 0 & 1 \end{bmatrix} \right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\det = 1(1 - 0) - \lambda(0 - \lambda^2) + 1(0 - \lambda) = 1 + \lambda^3 - \lambda$
તેથી,$V(\lambda) = |\lambda^3 - \lambda + 1|$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,ધારો કે $f(\lambda) = \lambda^3 - \lambda + 1$. વિકલન કરતા $f'(\lambda) = 3\lambda^2 - 1 = 0$ લેતા:
$\lambda^2 = \frac{1}{3} \implies \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ બિંદુઓ પર $f(\lambda)$ ની કિંમત તપાસતા:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 0.615$.
$\lambda = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 1.385$.
ઘનફળ $V = |f(\lambda)|$ હોવાથી,આપણે $|f(\lambda)|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ છીએ. $f(\lambda)$ એ $\lambda < -1$ માટે શૂન્ય થાય છે,જ્યાં ઘનફળ $V = 0$ થાય છે,જે ન્યૂનતમ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ $\lambda^3 - \lambda + 1 = 0$ નું બીજ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = A$.
આપેલ છે કે $B$ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $B^T = -B$.
આપણને આપેલ છે કે $A + B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \quad (1)$.
બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$(A + B)^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}^T \implies A^T + B^T = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^T = A$ અને $B^T = -B$ મૂકતા,આપણને $A - B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \quad (2)$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2A = \begin{bmatrix} 2+2 & 3+5 \\ 5+3 & -1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 8 & -2 \end{bmatrix} \implies A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$2B = \begin{bmatrix} 2-2 & 3-5 \\ 5-3 & -1-(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \implies B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(0) + (4)(1) & (2)(-1) + (4)(0) \\ (4)(0) + (-1)(1) & (4)(-1) + (-1)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & -4 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0$
$dx$ વડે ભાગતા ($dx \neq 0$ ધારીને):
$y^2 - x^3 - xy \frac{dy}{dx} = 0$
$xy \frac{dy}{dx} - y^2 = -x^3$
$x$ વડે ભાગતા:
$y \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^2 = -x^2$ ......$(i)$
ધારો કે $y^2 = v$,તેથી $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,એટલે કે $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = -x^2$
$\frac{dv}{dx} - \frac{2}{x} v = -2x^2$ ......$(ii)$
આ $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = -2x^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
ઉકેલ $v \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + c$ છે.
$v \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-2x^2) \cdot \frac{1}{x^2} dx + c$
$\frac{v}{x^2} = \int -2 dx + c$
$\frac{v}{x^2} = -2x + c$
$v = y^2$ હોવાથી,$\frac{y^2}{x^2} = -2x + c$.
$y^2 = -2x^3 + cx^2$,જેનો અર્થ છે કે $y^2 - 2x^3 + cx^2 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} \alpha & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -\alpha \\ \alpha & -2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(1(3) - (-2)(-\alpha)) - 1(2(3) - \alpha(-\alpha)) + 3(2(-2) - \alpha(1)) = 0$
$\alpha(3 - 2\alpha) - 1(6 + \alpha^2) + 3(-4 - \alpha) = 0$
$3\alpha - 2\alpha^2 - 6 - \alpha^2 - 12 - 3\alpha = 0$
$-3\alpha^2 - 18 = 0$
$-3(\alpha^2 + 6) = 0$
$\alpha^2 + 6 = 0$
કારણ કે $\alpha \in \mathbb{R}$,$\alpha^2$ હંમેશા અઋણ હોય,તેથી $\alpha^2 + 6 \geq 6$. આમ,$\alpha$ ની કોઈ પણ વાસ્તવિક કિંમત આ સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,ગણ $S$ એ ખાલી ગણ છે.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\tan x + \tan \alpha}{\tan x - \tan \alpha} dx$ છે.
નિત્યસમ $\tan x \pm \tan \alpha = \frac{\sin(x \pm \alpha)}{\cos x \cos \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin(x + \alpha) / (\cos x \cos \alpha)}{\sin(x - \alpha) / (\cos x \cos \alpha)} dx = \int \frac{\sin(x + \alpha)}{\sin(x - \alpha)} dx$.
ધારો કે $t = x - \alpha$,તેથી $x = t + \alpha$ અને $dx = dt$. આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sin(t + 2\alpha)}{\sin t} dt$.
$\sin(t + 2\alpha) = \sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int \frac{\sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha}{\sin t} dt$
$I = \int \cos 2\alpha dt + \int \cot t \sin 2\alpha dt$
$I = t \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \ln |\sin t| + C$.
$t = x - \alpha$ પાછું મૂકતા:
$I = (x - \alpha) \cos 2\alpha + \ln |\sin (x - \alpha)| \sin 2\alpha + C$.
આને $A(x) \cos 2\alpha + B(x) \sin 2\alpha + C$ સાથે સરખાવતા,$A(x) = x - \alpha$ અને $B(x) = \ln |\sin (x - \alpha)|$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4\lambda x$ અને રેખા $y = \lambda x$ ના સમીકરણો આપેલા છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = \lambda x$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\lambda x)^2 = 4\lambda x$
$\lambda^2 x^2 - 4\lambda x = 0$
$\lambda x(\lambda x - 4) = 0$
કારણ કે $\lambda > 0$,તેથી $x = 0$ અને $x = \frac{4}{\lambda}$ મળે છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{4/\lambda} (\sqrt{4\lambda x} - \lambda x) dx = \frac{1}{9}$
$A = 2\sqrt{\lambda} \int_{0}^{4/\lambda} \sqrt{x} dx - \lambda \int_{0}^{4/\lambda} x dx$
$A = 2\sqrt{\lambda} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4/\lambda} - \lambda \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4/\lambda}$
$A = \frac{4}{3} \sqrt{\lambda} \left( \frac{4}{\lambda} \right)^{3/2} - \frac{\lambda}{2} \left( \frac{4}{\lambda} \right)^2$
$A = \frac{4}{3} \sqrt{\lambda} \cdot \frac{8}{\lambda \sqrt{\lambda}} - \frac{\lambda}{2} \cdot \frac{16}{\lambda^2}$
$A = \frac{32}{3\lambda} - \frac{8}{\lambda} = \frac{32 - 24}{3\lambda} = \frac{8}{3\lambda}$
આપેલ છે કે $A = \frac{1}{9}$,તેથી:
$\frac{8}{3\lambda} = \frac{1}{9}$
$3\lambda = 72$
$\lambda = 24$

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$[\sin \theta ]x + [-\cos \theta ]y = 0 \dots (1)$
$[\cot \theta ]x + y = 0 \dots (2)$
કિસ્સો $I$: જ્યારે $\theta \in \left( \frac{\pi }{2}, \frac{2\pi }{3} \right)$
$\sin \theta \in \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right) \implies [\sin \theta ] = 0$
$-\cos \theta \in \left( 0, \frac{1}{2} \right) \implies [-\cos \theta ] = 0$
$\cot \theta \in \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, 0 \right) \implies [\cot \theta ] = -1$
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$0x + 0y = 0$
$-x + y = 0$
પ્રથમ સમીકરણ તમામ $(x, y)$ માટે સંતોષાય છે,અને બીજું સમીકરણ $y = x$ સૂચવે છે. આમ,સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $\theta \in \left( \pi, \frac{7\pi}{6} \right)$
$\sin \theta \in \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \implies [\sin \theta ] = -1$
$-\cos \theta \in \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right) \implies [-\cos \theta ] = 0$
$\cot \theta \in (\sqrt{3}, \infty) \implies [\cot \theta ] = k$,જ્યાં $k \in \{1, 2, 3, \dots\}$
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$-x + 0y = 0 \implies x = 0$
$kx + y = 0 \implies k(0) + y = 0 \implies y = 0$
આમ,સંહતિને અનન્ય ઉકેલ $(0, 0)$ છે.

(C) ધારો કે કુલ સમસ્યાઓની સંખ્યા $n = 50$ છે.
સમસ્યા ઉકેલવાની સંભાવના $p = \frac{4}{5}$ છે.
સમસ્યા ન ઉકેલવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{5}$ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવી છે કે ઉમેદવાર બે કરતા ઓછી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં અસમર્થ છે,જેનો અર્થ છે કે ન ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓની સંખ્યા $(X)$ $0$ અથવા $1$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = ^{n}C_{k} q^{k} p^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = ^{50}C_{0} \left( \frac{1}{5} \right)^{0} \left( \frac{4}{5} \right)^{50} = 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{50} = \left( \frac{4}{5} \right)^{50}$
$P(X = 1) = ^{50}C_{1} \left( \frac{1}{5} \right)^{1} \left( \frac{4}{5} \right)^{49} = 50 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49} = 10 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X < 2) = \left( \frac{4}{5} \right)^{50} + 10 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$
$= \left( \frac{4}{5} \right)^{49} \left( \frac{4}{5} + 10 \right)$
$= \left( \frac{4}{5} \right)^{49} \left( \frac{4 + 50}{5} \right)$
$= \frac{54}{5} \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$

(B) સમતલ બિંદુ $(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$-3$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) - 1(y-1) - 1(z-0) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y - z = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(2, 1, 4)$ થી સમતલ $x - y - z = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2 - 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ મળે છે.

(D) બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$1$. ડબલેટ માટે: પરિણામો $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે. આવા $6$ પરિણામો છે.
સંભાવના $P(\text{doublet}) = \frac{6}{36}$. નફો $= +15$.
$2$. સરવાળો $9$ થવા માટે: પરિણામો $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ છે. આવા $4$ પરિણામો છે.
સંભાવના $P(\text{sum } 9) = \frac{4}{36}$. નફો $= +12$.
$3$. અન્ય કોઈ પણ પરિણામ માટે: પરિણામોની સંખ્યા $36 - (6 + 4) = 26$ છે.
સંભાવના $P(\text{other}) = \frac{26}{36}$. નુકસાન $= -6$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x_i p_i = (15 \times \frac{6}{36}) + (12 \times \frac{4}{36}) + (-6 \times \frac{26}{36})$
$E(X) = \frac{90}{36} + \frac{48}{36} - \frac{156}{36} = \frac{90 + 48 - 156}{36} = \frac{-18}{36} = -\frac{1}{2}$.
પરિણામ ઋણ હોવાથી,તે $\frac{1}{2}$ $Rs.$ નું નુકસાન દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) ધારો કે $y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}} \right)$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x + 1}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x - \tan(\frac{\pi}{4})}}{{1 + \tan x \cdot \tan(\frac{\pi}{4})}}} \right)$.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right)$.
અહીં $x \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$ હોવાથી,$x - \frac{\pi }{4} \in \left( {-\frac{\pi }{4}, \frac{\pi }{4}} \right)$,જે $\tan^{-1}$ ના મુખ્ય વિસ્તારમાં છે.
તેથી,$y = x - \frac{\pi }{4}$.
હવે,આપણે $u = \frac{x}{2}$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન શોધવાનું છે.
$u = \frac{x}{2}$ હોવાથી,$x = 2u$ થાય.
$y$ માં $x$ ની કિંમત મૂકતા,$y = 2u - \frac{\pi }{4}$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(2u - \frac{\pi }{4}) = 2$.

(B) બે સમતલો $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ અને $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{A_1x + B_1y + C_1z + D_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2z + D_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સમતલો $2x - y + 2z - 4 = 0$ અને $x + 2y + 2z - 2 = 0$ માટે,સમીકરણ:
$\frac{2x - y + 2z - 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \pm \frac{x + 2y + 2z - 2}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\frac{2x - y + 2z - 4}{3} = \pm \frac{x + 2y + 2z - 2}{3}$
$2x - y + 2z - 4 = \pm(x + 2y + 2z - 2)$.
કિસ્સો $I$ (ધન ચિહ્ન):
$2x - y + 2z - 4 = x + 2y + 2z - 2$
$x - 3y - 2 = 0$.
કિસ્સો $II$ (ઋણ ચિહ્ન):
$2x - y + 2z - 4 = -(x + 2y + 2z - 2)$
$2x - y + 2z - 4 = -x - 2y - 2z + 2$
$3x + y + 4z - 6 = 0$.
સમીકરણ $3x + y + 4z - 6 = 0$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$(2, -4, 1)$ માટે: $3(2) + (-4) + 4(1) - 6 = 6 - 4 + 4 - 6 = 0$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ સંકલન $\int_{\alpha}^{\alpha+1} \frac{dx}{(x+\alpha)(x+\alpha+1)} = \log_{e}\left(\frac{9}{8}\right)$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(x+\alpha)(x+\alpha+1)} = \frac{1}{x+\alpha} - \frac{1}{x+\alpha+1}$.
બંને પદોનું સંકલન કરતા:
$\int_{\alpha}^{\alpha+1} \left( \frac{1}{x+\alpha} - \frac{1}{x+\alpha+1} \right) dx = \left[ \log_{e}|x+\alpha| - \log_{e}|x+\alpha+1| \right]_{\alpha}^{\alpha+1} = \left[ \log_{e}\left| \frac{x+\alpha}{x+\alpha+1} \right| \right]_{\alpha}^{\alpha+1}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$\log_{e}\left( \frac{2\alpha+1}{2\alpha+2} \right) - \log_{e}\left( \frac{2\alpha}{2\alpha+1} \right) = \log_{e}\left( \frac{(2\alpha+1)^2}{2\alpha(2\alpha+2)} \right) = \log_{e}\left( \frac{9}{8} \right)$.
તર્કને સરખાવતા:
$\frac{(2\alpha+1)^2}{4\alpha(\alpha+1)} = \frac{9}{8} \Rightarrow 8(4\alpha^2 + 4\alpha + 1) = 9(4\alpha^2 + 4\alpha)$.
$32\alpha^2 + 32\alpha + 8 = 36\alpha^2 + 36\alpha \Rightarrow 4\alpha^2 + 4\alpha - 8 = 0$.
$\alpha^2 + \alpha - 2 = 0 \Rightarrow (\alpha+2)(\alpha-1) = 0$.
આમ,$\alpha = 1$ અથવા $\alpha = -2$. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $-2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\theta \in (0, \frac{\pi}{3})$.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & 1 + \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1 + 4 \cos 6\theta \end{array} \right| = 0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0$.
સ્તંભની પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 2 & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$2(1 - 0) - 0 + (-1)(0 - 4 \cos 6\theta) = 0$.
$2 + 4 \cos 6\theta = 0$.
$4 \cos 6\theta = -2 \Rightarrow \cos 6\theta = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\theta \in (0, \frac{\pi}{3})$,તેથી $6\theta \in (0, 2\pi)$.
$\cos 6\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow 6\theta = \frac{2\pi}{3}$ અથવા $6\theta = \frac{4\pi}{3}$.
$\theta = \frac{\pi}{9}$ અથવા $\theta = \frac{2\pi}{9}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\theta = \frac{\pi}{9}$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = \frac{x}{x^2-3}$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-3)(1) - x(2x)}{(x^2-3)^2} = \frac{x^2-3-2x^2}{(x^2-3)^2} = \frac{-(x^2+3)}{(x^2-3)^2}$.
રેખા $2x + 6y - 11 = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,$(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{-(\alpha^2+3)}{(\alpha^2-3)^2} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3(\alpha^2+3) = (\alpha^2-3)^2$.
ધારો કે $t = \alpha^2$. તો $3t + 9 = t^2 - 6t + 9 \Rightarrow t^2 - 9t = 0$.
કારણ કે $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$,$\alpha^2 \neq 0$,તેથી $\alpha^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \pm 3$.
જો $\alpha = 3$,તો $\beta = \frac{3}{3^2-3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
જો $\alpha = -3$,તો $\beta = \frac{-3}{(-3)^2-3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
હવે,$|6\alpha + 2\beta|$ ની ગણતરી કરીએ:
બિંદુ $(3, 1/2)$ માટે,$|6(3) + 2(1/2)| = |18 + 1| = 19$.
બિંદુ $(-3, -1/2)$ માટે,$|6(-3) + 2(-1/2)| = |-18 - 1| = |-19| = 19$.
આમ,$|6\alpha + 2\beta| = 19$.

(D) આપેલ ગણ $S = \{x \in R : x^2+30 \leq 11x\}$ છે.
અસમતા ઉકેલતા: $x^2-11x+30 \leq 0$.
$(x-5)(x-6) \leq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [5, 6]$.
હવે,વિધેય $f(x) = 3x^3-18x^2+27x-40$ લો.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 9x^2-36x+27 = 9(x^2-4x+3) = 9(x-1)(x-3)$.
અંતરાલ $x \in [5, 6]$ માટે,$(x-1)$ અને $(x-3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
જેથી $f(x)$ એ અંતરાલ $[5, 6]$ પર વધતું વિધેય છે.
મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x = 6$ પર મળે છે.
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40 = 3(216) - 18(36) + 162 - 40 = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.

(A) કારણ કે $f(x)$ એ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ પર સતત છે,તેથી તે $x=\frac{\pi}{4}$ પર પણ સતત હોવું જોઈએ.
તેથી,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$k = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{2} \cos x - 1)}{\frac{d}{dx}(\cot x - 1)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \sin x}{-\operatorname{cosec}^2 x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x}{\operatorname{cosec}^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ મુકતા:
$k = \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4})}{\operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan \theta}{\sqrt{2 k \sec \theta}} d \theta$.
$= \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \sqrt{\cos \theta} d \theta$.
$= \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos \theta}} d \theta$.
ધારો કે $\cos \theta = t$,તેથી $-\sin \theta d \theta = dt$,એટલે કે $\sin \theta d \theta = -dt$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{3}$,ત્યારે $t = \frac{1}{2}$.
$I = \frac{-1}{\sqrt{2 k}} \int_{1}^{\frac{1}{2}} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{\frac{1}{2}}^{1} t^{-\frac{1}{2}} dt$.
$I = \frac{1}{\sqrt{2 k}} [2\sqrt{t}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{2}{\sqrt{2 k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
આપેલ છે કે $I = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{k} = \sqrt{2}$,તેથી $k = 2$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^a f(x) g(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a h(x) dx = \int_0^a h(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^a f(a-x) g(a-x) dx$.
આપેલ છે કે $f(x) = f(a-x)$ અને $g(a-x) = 4 - g(x)$,તેથી:
$I = \int_0^a f(x) (4 - g(x)) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - \int_0^a f(x) g(x) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - I$.
$2I = 4 \int_0^a f(x) dx$.
$I = 2 \int_0^a f(x) dx$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{2}{x^2} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\log |y| = -\frac{2}{x} + c$ મળે છે.
વક્ર $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=1$ અને $y=1$ મૂકતા:
$\log |1| = -\frac{2}{1} + c \implies 0 = -2 + c \implies c = 2$.
સામાન્ય ઉકેલમાં $c=2$ મૂકતા,આપણને $\log |y| = -\frac{2}{x} + 2$ મળે છે.
$x$ વડે ગુણતા,$x \log |y| = -2 + 2x = 2(x-1)$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2}{x}\right)y = x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા: $1(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \implies 1 = \frac{1}{4} + C \implies C = \frac{3}{4}$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$ અથવા $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$ છે.
હવે,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{(\frac{1}{2})^2}{4} + \frac{3}{4(\frac{1}{2})^2} = \frac{1/4}{4} + \frac{3}{4(1/4)} = \frac{1}{16} + 3 = \frac{1 + 48}{16} = \frac{49}{16}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2y \log_e(2x) = \log_e(4) + 2x - 2y$
$2y \log_e(2x) + 2y = 2x + 2 \log_e(2)$
$y(1 + \log_e(2x)) = x + \log_e(2)$
$y = \frac{x + \log_e(2)}{1 + \log_e(2x)}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log_e(2x)) \cdot 1 - (x + \log_e(2)) \cdot \frac{1}{x}}{(1 + \log_e(2x))^2}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - \frac{x + \log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - 1 - \frac{\log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log_e(2x) - \log_e(2)}{x}$

(D) ધારો કે $I = \int \frac{3 x^{13}+2 x^{11}}{\left(2 x^4+3 x^2+1\right)^4} d x$.
અંશ અને છેદને $x^{16}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{3 x^{-3}+2 x^{-5}}{\left(2+3 x^{-2}+x^{-4}\right)^4} d x$.
ધારો કે $u = 2+3 x^{-2}+x^{-4}$.
તેથી $du = (-6 x^{-3}-4 x^{-5}) d x = -2(3 x^{-3}+2 x^{-5}) d x$.
તેથી,$(3 x^{-3}+2 x^{-5}) d x = -\frac{1}{2} du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-1/2}{u^4} du = -\frac{1}{2} \int u^{-4} du = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{-3}}{-3} \right) + C = \frac{1}{6 u^3} + C$.
$u$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{1}{6(2+3 x^{-2}+x^{-4})^3} + C = \frac{1}{6(\frac{2x^4+3x^2+1}{x^4})^3} + C = \frac{x^{12}}{6(2 x^4+3 x^2+1)^3} + C$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{5x^8 + 7x^6}{(x^2 + 1 + 2x^7)^2} dx$.
સંકલનની અંદર અંશ અને છેદને $x^{14}$ વડે ભાગતા:
$f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8}}{(x^{-5} + x^{-7} + 2)^2} dx$.
ધારો કે $t = x^{-5} + x^{-7} + 2$. તો $dt = (-5x^{-6} - 7x^{-8}) dx$,જેનો અર્થ છે કે $-(5x^{-6} + 7x^{-8}) dx = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = -\int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} + C$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$f(x) = \frac{x^7}{1 + x^2 + 2x^7} + C$.
આપેલ છે કે $f(0) = 0$,તેથી $0 = \frac{0}{1} + C$,એટલે કે $C = 0$.
આમ,$f(x) = \frac{x^7}{x^2 + 1 + 2x^7}$.
$x = 1$ માટે કિંમત શોધતા:
$f(1) = \frac{1^7}{1^2 + 1 + 2(1)^7} = \frac{1}{1 + 1 + 2} = \frac{1}{4}$.

(D) ધારો કે $X \sim B(n, p)$.
આપેલ છે કે મધ્યક $np = 8$ અને વિચરણ $npq = 4$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$8q = 4$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$ અને $p = \frac{1}{2}$.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 8$ માં મૂકતા,આપણને $n = 16$ મળે છે.
આપણે $P(X \leqslant 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{1}{2^{16}}$.
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = \frac{16}{2^{16}}$.
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{120}{2^{16}}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \leqslant 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$.
આને $\frac{k}{2^{16}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 137$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-3}{1}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+4, 2\lambda+5, \lambda+3)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ બિંદુ સમતલ $x+y+z=2$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2\lambda+4) + (2\lambda+5) + (\lambda+3) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,તેથી $\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-2) + 4 = 0$,
$y = 2(-2) + 5 = 1$,
$z = (-2) + 3 = 1$.
છેદબિંદુ $(0, 1, 1)$ છે.
હવે,ચકાસો કે કયો વિકલ્પ બિંદુ $(0, 1, 1)$ નું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $\frac{0-1}{1} = -1$,$\frac{1-3}{2} = -1$,$\frac{1+4}{-5} = -1$.
બધા ગુણોત્તર $-1$ સમાન હોવાથી,બિંદુ $(0, 1, 1)$ વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલી રેખા પર આવેલું છે.