જો સમીકરણોની સંહતિ $x + y + z = 5$,$x + 2y + 3z = 9$,અને $x + 3y + \alpha z = \beta$ ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $\beta - \alpha$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x+2y+3z=\alpha$
$4x+5y+6z=\beta$
$7x+8y+9z=\gamma$
સુસંગત છે. ધારો કે $|M|$ એ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે
$M=\begin{bmatrix} \alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ધારો કે $P$ એ એવું સમતલ છે જેમાં $(\alpha, \beta, \gamma)$ ના તમામ બિંદુઓ છે જેના માટે ઉપરની સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે,અને $D$ એ બિંદુ $(0,1,0)$ થી સમતલ $P$ ના અંતરનો વર્ગ છે.
$(1)$ $|M|$ નું મૂલ્ય છે
$(2)$ $D$ નું મૂલ્ય છે

સમીકરણોની સિસ્ટમ $4x + y + 2z = 5$,$x - 5y + 3z = 10$,અને $9x - 3y + 7z = 20$ ધરાવે છે

સમીકરણોની સિસ્ટમ $kx + 2y - z = 1$,$(k - 1)y - 2z = 2$,અને $(k + 2)z = 3$ નો અનન્ય ઉકેલ હોય,જો $k$ ની કિંમત કેટલી હોય?

જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$3x - y + 4z = 3$
$x + 2y - 3z = -2$
$6x + 5y + kz = -3$
ને અનંત ઉકેલો હોય,તેવી $k \in R$ ની કિંમત છે:

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $(\sin \theta) x - y + z = 0$,$x - (\cos \theta) y + z = 0$,અને $x + y + (\sin \theta) z = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $\theta$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત શોધો.