JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = e^{i\pi/6}$ અને $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} = e^{-i\pi/6}$.
તેથી,$z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5 = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$,આપણને $z = 2\cos(5\pi/6)$ મળે છે.
કારણ કે $\cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $z = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$.
અહીં,$R(z) = -\sqrt{3}$ અને $I(z) = 0$.
તેથી,$I(z) = 0$ એ સાચું વિધાન છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 10x + 12y + c = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(-5, -6)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(-5)^2 + (-6)^2 - c} = \sqrt{25 + 36 - c} = \sqrt{61 - c}$ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,બાજુની લંબાઈ $a = R\sqrt{3}$ થાય.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (R\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ છે.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $27\sqrt{3}$ હોવાથી,$\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 = 27\sqrt{3}$ મળે.
$R^2 = 27 \times \frac{4}{3} = 36$.
$R^2 = 61 - c$ હોવાથી,$61 - c = 36$ મળે.
તેથી,$c = 61 - 36 = 25$.

(D) પ્રથમ,આપેલા વિધાનોના સત્યતા મૂલ્યો તપાસો:
$P: 5$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. આ $True$ $(T)$ છે.
$Q: 7$ એ $192$ નો અવયવ છે. $192 \div 7 = 27.42...$ હોવાથી,આ $False$ $(F)$ છે.
$R: 5$ અને $7$ નો લ.સા.અ. $35$ છે. આ $True$ $(T)$ છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$A: (\sim T) \vee (F \wedge T) = F \vee F = F$.
$B: (T \wedge F) \vee (\sim T) = F \vee F = F$.
$C: (\sim T) \wedge (\sim F \wedge T) = F \wedge (T \wedge T) = F \wedge T = F$.
$D: T \vee (\sim F \wedge T) = T \vee (T \wedge T) = T \vee T = T$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4y$ અને જીવાનું સમીકરણ $x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{2} = 0$ છે.
જીવાના સમીકરણ પરથી,$y = \frac{x}{\sqrt{2}} + 4$ મળે.
આ કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 = 4(\frac{x}{\sqrt{2}} + 4) = 2\sqrt{2}x + 16$.
તેથી,$x^2 - 2\sqrt{2}x - 16 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. તો $x_1 + x_2 = 2\sqrt{2}$ અને $x_1x_2 = -16$.
બીજનો તફાવત $|x_1 - x_2| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(-16)} = \sqrt{8 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
$y$-યામનો તફાવત $|y_1 - y_2| = |\frac{x_1 - x_2}{\sqrt{2}}| = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$.
જીવાની લંબાઈ = $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{y^2}{1+r} - \frac{x^2}{1-r} = 1$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r > 1$,તો $1-r < 0$. સમીકરણ $\frac{y^2}{1+r} + \frac{x^2}{r-1} = 1$ બને છે,જે ઉપવલય છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
અહીં $a^2 = 1+r$ અને $b^2 = r-1$ હોવાથી,$e = \sqrt{1 - \frac{r-1}{r+1}} = \sqrt{\frac{2}{r+1}}$.
કિસ્સો $2$: જો $0 < r < 1$,તો $1-r > 0$. આ અતિવલય છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
અહીં $a^2 = 1+r$ અને $b^2 = 1-r$ હોવાથી,$e = \sqrt{1 + \frac{1-r}{1+r}} = \sqrt{\frac{2}{1+r}}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $^{n}C_{r} \cdot ^{n-r}C_{k-r} = ^{n}C_{k} \cdot ^{k}C_{r}$ થાય છે.
આપેલ સરવાળા માટે:
$\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{50}C_r \cdot ^{50 - r}C_{25 - r}} = \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{50}C_{25} \cdot ^{25}C_r}$.
$= ^{50}C_{25} \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}C_r}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum\limits_{r = 0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$,તેથી $\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}C_r} = 2^{25}$.
તેથી,પદાવલિ $^{50}C_{25} \cdot 2^{25}$ બને છે.
$K\left( {^{50}C_{25}} \right)$ સાથે સરખાવતા,$K = 2^{25}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$n_1 = 5$,$\bar{x} = 10$,અને $\sigma = 3$.
અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = n_1 \times \bar{x} = 5 \times 10 = 50$.
વિચરણ $\sigma^2 = 9 = \frac{\sum x_i^2}{n_1} - (\bar{x})^2$.
$9 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 100 \implies \frac{\sum x_i^2}{5} = 109 \implies \sum x_i^2 = 545$.
હવે,આપણી પાસે $6$ અવલોકનો છે: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ અને $-50$.
નવો સરવાળો $\sum x_{new} = 50 + (-50) = 0$.
નવો મધ્યક $\bar{x}_{new} = \frac{0}{6} = 0$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum x_{new}^2 = \sum x_i^2 + (-50)^2 = 545 + 2500 = 3045$.
નવું વિચરણ $\sigma_{new}^2 = \frac{\sum x_{new}^2}{n_2} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{3045}{6} - 0^2 = 507.5$.

(B) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $A(h, k)$ છે. અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $B(0, 2)$ અને $C(4, 3)$ છે. લંબકેન્દ્ર $H$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ $\times BC$ નો ઢાળ $= -1$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - 2}{4 - 0} = \frac{1}{4}$.
$AH$ નો ઢાળ $= \frac{k - 0}{h - 0} = \frac{k}{h}$.
તેથી,$\frac{k}{h} \times \frac{1}{4} = -1 \implies k = -4h$.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $\times AC$ નો ઢાળ $= -1$.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{k - 3}{h - 4}$.
$BH$ નો ઢાળ $= \frac{2 - 0}{0 - 0}$ અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ રેખા $x = 0$).
આમ,$AC$ સમક્ષિતિજ રેખા હોવી જોઈએ,તેથી $k = 3$.
$k = -4h$ માં $k = 3$ મૂકતા,$3 = -4h$,તેથી $h = -\frac{3}{4}$.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-\frac{3}{4}, 3)$ છે,જે બીજા ચરણમાં આવેલું છે.

(A) આપેલ છે કે $\angle A + \angle B = 120^{\circ}$ અને $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{a}{b} = 2+\sqrt{3}$.
$\angle B = 120^{\circ} - A$ હોવાથી,$\frac{\sin A}{\sin(120^{\circ}-A)} = 2+\sqrt{3}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$\cot A = \sqrt{3}-2$ મળે છે.
આથી,$A = 105^{\circ}$ અને $B = 15^{\circ}$.
તેથી,ગુણોત્તર $A : B = 105^{\circ} : 15^{\circ} = 7 : 1$ થાય.

(A) $f_4(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{4} = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$
$f_6(x) = \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{6} = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)}{6} = \frac{1 - 3\sin^2 x \cos^2 x}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$
$f_4(x) - f_6(x) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x)$
$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 103 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{9 + 16 + 103} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(3 \pm 8, -4 \pm 8)$ એટલે કે $(11, 4), (11, -12), (-5, 4), (-5, -12)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ શિરોબિંદુઓના અંતર:
$\sqrt{11^2 + 4^2} = \sqrt{137}$
$\sqrt{11^2 + (-12)^2} = \sqrt{265}$
$\sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{41}$
$\sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13$
સૌથી નાનું અંતર $\sqrt{41}$ છે.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_i$ છે. કુલ $30$ વસ્તુઓ છે.
$10$ વસ્તુઓનું મૂલ્ય $\frac{1}{2} - d$,$10$ વસ્તુઓનું મૂલ્ય $\frac{1}{2}$,અને $10$ વસ્તુઓનું મૂલ્ય $\frac{1}{2} + d$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{10(\frac{1}{2} - d) + 10(\frac{1}{2}) + 10(\frac{1}{2} + d)}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{1}{30} [10(\frac{1}{2} - d - \frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2} + d - \frac{1}{2})^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{30} [10(-d)^2 + 10(0)^2 + 10(d)^2] = \frac{20d^2}{30} = \frac{2d^2}{3}$.
આપેલ છે કે $\sigma^2 = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{2d^2}{3} = \frac{4}{3}$.
$2d^2 = 4 \Rightarrow d^2 = 2$.
તેથી,$|d| = \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે બે વર્તુળોના કેન્દ્રો $A$ અને $B$ છે. સમાન ત્રિજ્યા હોવાથી,ધારો કે ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળો $D(0, 1)$ અને $E(0, -1)$ માં છેદે છે.
પ્રથમ વર્તુળનું કેન્દ્ર $A(-h, 0)$ અને બીજાનું $B(h, 0)$ ધારો.
વર્તુળ $A(-h, 0)$ નું સમીકરણ $(x+h)^2 + y^2 = r^2$ છે. તે $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$h^2 + 1 = r^2$ મળે.
$(0, 1)$ આગળનો સ્પર્શક $AD$ ને લંબ છે. $AD$ નો ઢાળ $\frac{1}{h}$ છે,તેથી સ્પર્શકનો ઢાળ $-h$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = -h(x - 0)$ એટલે કે $y = -hx + 1$ છે.
આ રેખા બીજા વર્તુળના કેન્દ્ર $B(h, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = -h(h) + 1$,એટલે કે $h^2 = 1$,તેથી $h = 1$.
કેન્દ્રો $A(-1, 0)$ અને $B(1, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $1 - (-1) = 2$ થાય.

(B) આપેલ પદાવલિ સંચયના ગુણાકારનો સરવાળો છે:
$^{20}C_r ^{20}C_0 + ^{20}C_{r-1} ^{20}C_1 + ... + ^{20}C_0 ^{20}C_r = ^{40}C_r$
આ વેન્ડરમોન્ડના નિત્યસમ (Vandermonde's Identity) પર આધારિત છે,જે મુજબ $\sum_{k=0}^{r} {^nC_k} {^mC_{r-k}} = ^{n+m}C_r$.
અહીં,$n=20$ અને $m=20$ છે,તેથી સરવાળો $^{40}C_r$ થાય.
$^{40}C_r$ ની કિંમત ત્યારે મહત્તમ હોય જ્યારે $r = \frac{n+m}{2} = \frac{40}{2} = 20$ થાય.

(C) આપેલ ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
ઉપવલયના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A \left( \frac{a}{\cos \theta}, 0 \right)$ પર અને $y$-અક્ષને $B \left( 0, \frac{b}{\sin \theta} \right)$ પર છેદે છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી:
$h = \frac{a}{2 \cos \theta} \Rightarrow \cos \theta = \frac{a}{2h}$
$k = \frac{b}{2 \sin \theta} \Rightarrow \sin \theta = \frac{b}{2k}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left( \frac{a}{2h} \right)^2 + \left( \frac{b}{2k} \right)^2 = 1$
$\frac{a^2}{4h^2} + \frac{b^2}{4k^2} = 1$
$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ મૂકતા:
$\frac{2}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(A) આપણે લક્ષ $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan (\pi {{\sin }^2}x) + (\left| x \right| - \sin (x[x]))^2}}{{{x^2}}}$ ની ગણતરી કરીએ.
પ્રથમ,પદ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan (\pi {{\sin }^2}x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\tan (\pi {{\sin }^2}x)}}{{\pi {{\sin }^2}x}} \cdot \frac{{\pi {{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} \right) = 1 \cdot \pi \cdot 1^2 = \pi$.
હવે બીજું પદ ધ્યાનમાં લો: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\left| x \right| - \sin (x[x]))^2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\left| x \right| - \sin (x[x])}}{{\left| x \right|}} \right)^2$ (કારણ કે $x^2 = |x|^2$).
$x \to 0^+$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \left( 1 - \frac{{\sin (x \cdot 0)}}{x} \right)^2 = (1 - 0)^2 = 1$.
$x \to 0^-$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \left( 1 - \frac{{\sin (-x)}}{{-x}} \right)^2 = (1 - 1)^2 = 0$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(0)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(1)$ જેટલું ન હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 3$ છે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$\frac{a^3}{(1-r)^3} = 27 \quad (1)$.
પદોના ઘનની શ્રેણી $a^3, a^3r^3, a^3r^6, \dots$ છે,જેનું પ્રથમ પદ $a^3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^3$ છે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{a^3}{1-r^3} = \frac{27}{19} \quad (2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,$\frac{1-r^3}{(1-r)^3} = 19$ મળે.
$1-r^3 = (1-r)(1+r+r^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1+r+r^2}{(1-r)^2} = 19$ મળે.
$1+r+r^2 = 19(1-2r+r^2) \implies 18r^2 - 39r + 18 = 0$.
$6r^2 - 13r + 6 = 0 \implies (2r-3)(3r-2) = 0$.
$|r| < 1$ હોવાથી,$r = \frac{2}{3}$.

(A) રેખા $x + 2y = 1$ એ $x$-અક્ષને $A(1, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0, 1/2)$ પર છેદે છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$,$A(1, 0)$ અને $B(0, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે,અને ત્રિકોણ $OAB$ એ ઉગમબિંદુ પર કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ $AB$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1/2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - x - \frac{1}{2}y = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પરના વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x^2$ ને $x \cdot 0$ વડે,$y^2$ ને $y \cdot 0$ વડે,$x$ ને $\frac{x+0}{2}$ વડે અને $y$ ને $\frac{y+0}{2}$ વડે બદલીને મેળવી શકાય છે.
આનાથી $0 + 0 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $-\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 0$ અથવા $2x + y = 0$ થાય છે.
$A(1, 0)$ થી રેખા $2x + y = 0$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|2(1) + 0|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
$B(0, 1/2)$ થી રેખા $2x + y = 0$ નું લંબ અંતર $d_2 = \frac{|2(0) + 1/2|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ છે.
અંતરોનો સરવાળો $d_1 + d_2 = \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{4+1}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ થાય છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b,$ અને $c$ છે. આપેલ છે કે $a + b = x$ અને $ab = y$.
શરત $x^2 - c^2 = y$ માં $x = a + b$ મૂકતા:
$(a + b)^2 - c^2 = ab$
$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = ab$
$a^2 + b^2 - c^2 = -ab$
$2ab$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = -\frac{1}{2}$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,તેથી $\cos C = -\frac{1}{2}$.
આમ,$C = 120^\circ$ અથવા $\frac{2\pi}{3}$ રેડિયન.
તેથી $\sin C = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{c}{\sin C} = 2R$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે:
$R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{c}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{c}{\sqrt{3}}$.

(C) પરવલય $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે ....$(i)$
આ કિંમતને અતિવલય $xy = 2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x(mx + \frac{1}{m}) = 2$
$mx^2 + \frac{x}{m} - 2 = 0$
રેખા સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ:
$D = b^2 - 4ac = (\frac{1}{m})^2 - 4(m)(-2) = 0$
$\frac{1}{m^2} + 8m = 0$
$1 + 8m^3 = 0$
$m^3 = -\frac{1}{8}$
$m = -\frac{1}{2}$
$m = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y = -\frac{1}{2}x - 2$
$2y = -x - 4$
$x + 2y + 4 = 0$

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $n=8$ પદો છે,તેથી મધ્યમ પદ $\left(\frac{8}{2} + 1\right) = 5$ મું પદ છે.
સામાન્ય પદ $t_{r+1} = ^{8}C_{r} \left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{8-r} \left(\frac{3}{x}\right)^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$ મા પદ માટે,$r=4$:
$t_{5} = ^{8}C_{4} \left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{4} \left(\frac{3}{x}\right)^{4} = 5670$
$^{8}C_{4} = 70$.
$70 \times \frac{x^{12}}{3^{4}} \times \frac{3^{4}}{x^{4}} = 5670$
$70 \times x^{8} = 5670$
$x^{8} = 81$
$x^{8} = 81 \implies x^{4} = 9 \implies x^{2} = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$.
$x$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો $\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$ છે.

(A) ધારો કે $a_1, a_2, ..., a_{10}$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી $G.P.$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_n = a_1 r^{n-1}$.
આપેલ છે કે $\frac{a_3}{a_1} = 25$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_1 r^2}{a_1} = r^2 = 25$.
આપણે $\frac{a_9}{a_5}$ શોધવાનું છે.
$\frac{a_9}{a_5} = \frac{a_1 r^8}{a_1 r^4} = r^4$.
કારણ કે $r^2 = 25$,તેથી $r^4 = (r^2)^2 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.
આમ,જવાબ $5^4$ છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $81x^2 + kx + 256 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^3$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^3 = -\frac{k}{81}$ $(1)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^3 = \alpha^4 = \frac{256}{81}$ $(2)$
$(2)$ પરથી,$\alpha^4 = (\frac{4}{3})^4$,તેથી $\alpha = \pm \frac{4}{3}$.
કિસ્સો $1$: જો $\alpha = \frac{4}{3}$,તો $\alpha + \alpha^3 = \frac{4}{3} + \frac{64}{27} = \frac{100}{27}$.
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = -300$.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha = -\frac{4}{3}$,તો $\alpha + \alpha^3 = -\frac{100}{27}$.
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા: $-\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = 300$.
વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-300$ છે.

(A) આપેલ છે: ${\left( -2 - \frac{i}{3} \right)^3} = \frac{x + iy}{27}$
ઋણ ચિહ્ન બહાર કાઢતા: $-1 \times {\left( 2 + \frac{i}{3} \right)^3} = \frac{x + iy}{27}$
$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \times \left[ 2^3 + \left( \frac{i}{3} \right)^3 + 3(2^2)\left( \frac{i}{3} \right) + 3(2)\left( \frac{i}{3} \right)^2 \right] = \frac{x + iy}{27}$
$-1 \times \left[ 8 - \frac{i}{27} + 4i - \frac{2}{3} \right] = \frac{x + iy}{27}$
$-8 + \frac{2}{3} - i\left( 4 - \frac{1}{27} \right) = \frac{x + iy}{27}$
$27$ વડે ગુણતા:
$x + iy = 27 \times \left( -\frac{22}{3} \right) - i \times 27 \times \left( \frac{107}{27} \right)$
$x = -198$ અને $y = -107$
તેથી $y - x = -107 - (-198) = -107 + 198 = 91$

(D) આપેલ લક્ષ: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cot(4x)}{\sin^2 x \cot^2(2x)}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ મૂકતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cos(4x) \sin^2(2x)}{\sin^2 x \sin(4x) \cos^2(2x)}$
$\sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cos(4x) \sin^2(2x)}{\sin^2 x (2 \sin(2x) \cos(2x)) \cos^2(2x)}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \right)^2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{\cos(4x)}{\cos^3(2x)}$
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $\frac{\sin \theta}{\theta} \to 1$ અને $\cos \theta \to 1$:
$L = (1)^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1^3} = 1$

(A) અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 5$ છે,તેથી $b = \frac{5}{2}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 13$ છે,તેથી $ae = \frac{13}{2}$.
અતિવલય માટે,$a$,$b$ અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $a^2e^2 = a^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(ae)^2 = a^2 + b^2$.
$\left(\frac{13}{2}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2$.
$\frac{169}{4} = a^2 + \frac{25}{4}$.
$a^2 = \frac{169 - 25}{4} = \frac{144}{4} = 36$.
તેથી,$a = 6$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{ae}{a} = \frac{13/2}{6} = \frac{13}{12}$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} = -4(x - {a^2})$ છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $V = ({a^2}, 0)$ છે.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે,સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
${y^2} = -4(0 - {a^2}) = 4{a^2}$.
તેથી,$y = \pm 2a$. છેદબિંદુઓ $P = (0, 2a)$ અને $Q = (0, -2a)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $V({a^2}, 0)$,$P(0, 2a)$ અને $Q(0, -2a)$ છે.
$y$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|2a - (-2a)| = 4|a|$ છે.
શિરોબિંદુ $V$ થી $y$-અક્ષ સુધીની ઊંચાઈ ${a^2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4|a| \times {a^2} = 2|a|^3 = 250$.
તેથી,$|a|^3 = 125$,એટલે કે $|a| = 5$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. ધારો કે $E$ એ વિકર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$E$ ના યામ $\left( \frac{2+3}{2}, \frac{5+4}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{9}{2} \right)$ છે.
કારણ કે $E$ એ વિકર્ણ $AD$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે,ધારો કે $D = (x, y)$.
તેથી $\left( \frac{x+1}{2}, \frac{y+2}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{9}{2} \right)$.
$x+1 = 5 \Rightarrow x = 4$ અને $y+2 = 9 \Rightarrow y = 7$. આમ,$D = (4, 7)$.
વિકર્ણ $AD$ એ $A(1, 2)$ અને $D(4, 7)$ માંથી પસાર થાય છે.
$AD$ નો ઢાળ $m = \frac{7-2}{4-1} = \frac{5}{3}$ છે.
$AD$ નું સમીકરણ $y - 2 = \frac{5}{3}(x - 1)$ છે.
$3(y - 2) = 5(x - 1)$ $\Rightarrow 3y - 6 = 5x - 5$ $\Rightarrow 5x - 3y + 1 = 0$.

(C) આપણને પદાવલિ $E = \frac{x^m y^n}{(1 + x^{2m})(1 + y^{2n})}$ આપેલ છે.
આ પદાવલિને આપણે $E = \frac{x^m}{1 + x^{2m}} \times \frac{y^n}{1 + y^{2n}}$ તરીકે લખી શકીએ.
દરેક અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અનુક્રમે $x^m$ અને $y^n$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$E = \frac{1}{\left( \frac{1}{x^m} + x^m \right)} \times \frac{1}{\left( \frac{1}{y^n} + y^n \right)}$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ માટે,$a + \frac{1}{a} \ge 2$,જ્યાં સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $a = 1$ હોય.
તેથી,$x^m + \frac{1}{x^m} \ge 2$ અને $y^n + \frac{1}{y^n} \ge 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{x^m + \frac{1}{x^m}} \le \frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{y^n + \frac{1}{y^n}} \le \frac{1}{2}$.
આ અસમતાઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $E$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $S_n = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$.
આપણે $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$= \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \left( \frac{q^r - 1}{q - 1} \right)$
$= \frac{1}{q - 1} \left( \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r - \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \right)$
$= \frac{1}{q - 1} \left( ((1 + q)^{101} - 1) - (2^{101} - 1) \right)$
$= \frac{(1 + q)^{101} - 2^{101}}{q - 1}$.
હવે,$T_{100} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q+1}{2} - 1} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q-1}{2}} = \frac{2}{q-1} \left( \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{2^{101}} \right) = \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{(q-1) 2^{100}}$.
આપેલ છે કે $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1} = \alpha T_{100}$,તેથી:
$\frac{(1 + q)^{101} - 2^{101}}{q - 1} = \alpha \cdot \frac{(1 + q)^{101} - 2^{101}}{(q - 1) 2^{100}}$.
તેથી,$\alpha = 2^{100}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 \sin \theta - x(\sin \theta \cos \theta + 1) + \cos \theta = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{(\sin \theta \cos \theta + 1) \pm \sqrt{(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta}}{2 \sin \theta}$.
વિવેચકનું સાદું રૂપ આપતા: $(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta = (\sin \theta \cos \theta - 1)^2$.
તેથી,$x = \frac{\sin \theta \cos \theta + 1 \pm (\sin \theta \cos \theta - 1)}{2 \sin \theta}$.
આથી $x_1 = \cos \theta$ અને $x_2 = \csc \theta$ મળે.
$0 < \theta < 45^\circ$ હોવાથી,$\alpha = \cos \theta$ અને $\beta = \csc \theta$ મળે.
સરવાળો $S = \sum_{n=0}^\infty \alpha^n + \sum_{n=0}^\infty (-\frac{1}{\beta})^n = \frac{1}{1 - \cos \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta}$ થાય.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે $|z| + z = 3 + i$.
$z = x + iy$ મૂકતા,$\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$ મળે.
કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$y = 1$ મળે.
વાસ્તવિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$\sqrt{x^2 + 1} + x = 3$ મળે.
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + 1 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$.
$1 = 9 - 6x$,જેનો અર્થ છે કે $6x = 8$,તેથી $x = \frac{4}{3}$.
હવે,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $t_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $19^{th}$ પદ શૂન્ય છે: $t_{19} = a + 18d = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = -18d$.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{t_{49}}{t_{29}}$ શોધવાનો છે.
$t_{49} = a + 48d = -18d + 48d = 30d$.
$t_{29} = a + 28d = -18d + 28d = 10d$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{30d}{10d} = \frac{3}{1}$ એટલે કે $3 : 1$ થાય.

(A) ધારો કે $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
સરવાળો કરતા $2(a+b+c) = 36k$,તેથી $a+b+c = 18k$.
દરેક સમીકરણને બાદ કરતા:
$a = 7k, b = 6k, c = 5k$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ $\cos A = \frac{1}{5}, \cos B = \frac{19}{35}, \cos C = \frac{5}{7}$.
$\frac{\cos A}{\alpha} = \frac{\cos B}{\beta} = \frac{\cos C}{\gamma}$ હોવાથી,
$\alpha : \beta : \gamma = 7 : 19 : 25$ મળે છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 4a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે. $2ae = 2b$ આપેલ હોવાથી,$ae = b$ મળે,તેથી $a^2e^2 = b^2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ નો ઉપયોગ કરીને,$a^2e^2 = b^2$ મૂકતા $b^2 = a^2 - b^2$,અથવા $2b^2 = a^2$ મળે.
$b^2 = 4a$ ને $2b^2 = a^2$ માં મૂકતા,$2(4a) = a^2$ મળે,તેથી $a^2 = 8a$. $a \neq 0$ હોવાથી,$a = 8$.
તેથી $b^2 = 4(8) = 32$,એટલે કે $b = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{32} = 1$ છે.
બિંદુ $(4\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$ માટે તપાસતા: $\frac{(4\sqrt{3})^2}{64} + \frac{(2\sqrt{2})^2}{32} = \frac{48}{64} + \frac{8}{32} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. આમ,આ બિંદુ ઉપવલય પર આવેલું છે.

(C) આપેલ વિસ્તરણ: $(x + 10)^{50} + (x - 10)^{50} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{50}x^{50}$.
$a_0$ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$a_0 = (0 + 10)^{50} + (0 - 10)^{50} = 10^{50} + 10^{50} = 2 \times 10^{50}$.
$a_2$ શોધવા માટે,$(x + 10)^{50} + (x - 10)^{50}$ ના વિસ્તરણમાં $x^2$ નો સહગુણક મેળવીએ.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k}$.
$(x + 10)^{50}$ માટે,$x^2$ વાળું પદ $\binom{50}{2} x^2 (10)^{48}$ છે.
$(x - 10)^{50}$ માટે,$x^2$ વાળું પદ $\binom{50}{2} x^2 (-10)^{48} = \binom{50}{2} x^2 (10)^{48}$ છે.
તેથી,$a_2 = \binom{50}{2} (10)^{48} + \binom{50}{2} (10)^{48} = 2 \times \binom{50}{2} \times 10^{48}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{a_2}{a_0}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{a_2}{a_0} = \frac{2 \times \binom{50}{2} \times 10^{48}}{2 \times 10^{50}} = \frac{\binom{50}{2}}{10^2} = \frac{\frac{50 \times 49}{2}}{100} = \frac{1225}{100} = 12.25$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષ પર $4a$ લંબાઈની જીવા કાપે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ થી $x$-અક્ષનું અંતર $|k|$ છે. જીવાના ગુણધર્મ મુજબ,$r^2 = k^2 + (2a)^2 = k^2 + 4a^2$.
વર્તુળ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, 2b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ થી $(0, 2b)$ નું અંતર $r$ છે. આમ,$r^2 = (h - 0)^2 + (k - 2b)^2 = h^2 + (k - 2b)^2$.
$r^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$k^2 + 4a^2 = h^2 + (k - 2b)^2$
$k^2 + 4a^2 = h^2 + k^2 - 4bk + 4b^2$
$h^2 = 4bk - 4b^2 + 4a^2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 = 4b(y - b + a^2/b)$ મળે છે,જે એક પરવલય દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે પદોનો ગુણાકાર $512$ છે:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 512$
$a^3 = 512 \Rightarrow a = 8$.
હવે,જો પ્રથમ અને બીજા પદમાં $4$ ઉમેરવામાં આવે,તો પદો $(\frac{8}{r} + 4), 12, 8r$ બને છે.
આ પદો $A.P.$ માં હોવાથી,વચ્ચેનું પદ બાકીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક છે:
$2 \times 12 = (\frac{8}{r} + 4) + 8r$
$24 = \frac{8}{r} + 4 + 8r$
$20 = \frac{8}{r} + 8r$
$4$ વડે ભાગતા:
$5 = \frac{2}{r} + 2r$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
તેથી,$r = 2$ અથવા $r = \frac{1}{2}$.
જો $r = 2$ હોય,તો પદો $4, 8, 16$ છે.
જો $r = \frac{1}{2}$ હોય,તો પદો $16, 8, 4$ છે.
બંને કિસ્સામાં,પદોનો સરવાળો $4 + 8 + 16 = 28$ થાય છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = ((p \wedge q) \vee (p \vee \sim q)) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$ છે.
સાહચર્ય અને ક્રમનો નિયમ વાપરતા,પ્રથમ ભાગનું સાદું રૂપ: $(p \wedge q) \vee (p \vee \sim q) \equiv (p \vee (p \wedge q)) \vee \sim q \equiv p \vee \sim q$.
હવે,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $E \equiv (p \vee \sim q) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$.
વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $E \equiv (p \wedge (\sim p \wedge \sim q)) \vee (\sim q \wedge (\sim p \wedge \sim q))$.
કારણ કે $p \wedge \sim p \equiv F$ (અસત્ય),પ્રથમ પદ $F \wedge \sim q \equiv F$ બને છે.
બીજું પદ $\sim q \wedge \sim q \equiv \sim q$ તરીકે સાદું રૂપ પામે છે,તેથી આપણને $F \vee (\sim p \wedge \sim q)$ મળે છે.
આમ,$E \equiv \sim p \wedge \sim q$.

(A) આપણે $\{1, 2, \dots, 10\}$ સેટમાંથી $3$ અલગ દડા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી તેમના લેબલ $n_1 < n_2 < n_3$ નું પાલન કરે.
કારણ કે ક્રમ સખત રીતે વધતો છે,$10$ ઉપલબ્ધ દડાઓમાંથી $3$ અલગ દડાઓની કોઈપણ પસંદગીને $n_1 < n_2 < n_3$ શરત સંતોષવા માટે બરાબર એક રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા સંયોજન સૂત્ર $^{10}C_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

(D) આપેલ રેખા $2x - 3y + 17 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. ધારો કે $(7, 17)$ અને $(15, \beta)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_2$ છે.
$m_2 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,$\frac{2}{3} \times \frac{\beta - 17}{8} = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(B) જ્યારે $X$ આગળનો સ્પર્શક જીવા $PQ$ ને સમાંતર હોય ત્યારે $\Delta PXQ$ નું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{6 - (-4)}{9 - 4} = \frac{10}{5} = 2$ છે.
પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,તેથી $2y \frac{dy}{dx} = 4$,જે $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ આપે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ જીવાના ઢાળ જેટલો લેતા: $\frac{2}{y} = 2 \Rightarrow y = 1$.
$X$ એ $y^2 = 4x$ પર હોવાથી,$y = 1$ માટે,$1^2 = 4x \Rightarrow x = \frac{1}{4}$. આમ,$X = (\frac{1}{4}, 1)$.
શિરોબિંદુઓ $P(4, -4)$,$Q(9, 6)$,અને $X(\frac{1}{4}, 1)$ ધરાવતા $\Delta PXQ$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_P(y_X - y_Q) + x_X(y_Q - y_P) + x_Q(y_P - y_X)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(1 - 6) + \frac{1}{4}(6 - (-4)) + 9(-4 - 1)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-20 + 2.5 - 45| = \frac{1}{2} |-62.5| = 31.25 = \frac{125}{4}$ ચોરસ એકમ.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2 - (-2)} = \sqrt{4} = 2$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 14 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2 + 3^2 - 14} = \sqrt{18 - 14} = \sqrt{4} = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
ચતુષ્કોણ $PC_1QC_2$ માં,બાજુઓ $C_1P = C_1Q = r_1 = 2$ અને $C_2P = C_2Q = r_2 = 2$ છે.
બધી બાજુઓ $2$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વિકર્ણો $C_1C_2 = 2\sqrt{2}$ અને $PQ$ છે. $\triangle PC_1C_2$ માં,$C_1P=2, C_2P=2, C_1C_2=2\sqrt{2}$ છે. $2^2 + 2^2 = (2\sqrt{2})^2$ હોવાથી,$\triangle PC_1C_2$ એ $P$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\triangle PC_1C_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ છે.
ચતુષ્કોણ $PC_1QC_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\triangle PC_1C_2 \text{ નું ક્ષેત્રફળ}) = 2 \times 2 = 4$ ચોરસ એકમ છે.

(A) ધારો કે $f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{6} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{6} \right)$
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta \right)$
$f(\theta) = \frac{5\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$.
$a \sin \theta + b \cos \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{\left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19}$.

(B) ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $\lambda = \frac{\alpha}{\beta}$.
$\lambda + \frac{1}{\lambda} = 1$ હોવાથી,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
આથી $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ મળે.
બંને બાજુ $2\alpha\beta$ ઉમેરતા,$(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3m^2x^2 + m(m - 4)x + 2 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{m - 4}{3m}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{2}{3m^2}$ છે.
આ કિંમતો $(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{m - 4}{3m}\right)^2 = 3 \left(\frac{2}{3m^2}\right)$.
$\frac{(m - 4)^2}{9m^2} = \frac{2}{m^2}$.
$m \neq 0$ હોવાથી,$9m^2$ વડે ગુણતા:
$(m - 4)^2 = 18$.
$m^2 - 8m + 16 = 18 \Rightarrow m^2 - 8m - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m = 4 \pm 3\sqrt{2}$.
તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $4 - 3\sqrt{2}$ છે.

(C) વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(1, 1)$ અને $C_2(9, 1)$ છે.
તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 1$ અને $r_2 = 2$ છે.
રેખા $3x + 4y - \lambda = 0$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર વર્તુળો હોવા માટે,કેન્દ્રો પર અભિવ્યક્તિ $f(x, y) = 3x + 4y - \lambda$ ના મૂલ્યો વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોવા જોઈએ અને રેખા વર્તુળોને છેદવી જોઈએ નહીં.
$(7 - \lambda)(31 - \lambda) < 0 \implies \lambda \in (7, 31)$.
કેન્દ્રથી રેખાનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે અથવા સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{|7 - \lambda|}{5} \ge 1 \implies \lambda \le 2$ અથવા $\lambda \ge 12$.
$\frac{|31 - \lambda|}{5} \ge 2 \implies \lambda \le 21$ અથવા $\lambda \ge 41$.
આ શરતોનો છેદ લેતા,$\lambda \in [12, 21]$ મળે છે.

(C) ધારો કે વિસ્તરણ $(a+b)^n$ છે,જ્યાં $a = 2^{1/3}$,$b = \frac{1}{2(3)^{1/3}}$,અને $n = 10$ છે.
શરૂઆતથી $r$ મું પદ $T_r = {}^{n}C_{r-1} a^{n-r+1} b^{r-1}$ છે.
શરૂઆતથી $5$ મું પદ $T_5 = {}^{10}C_4 (2^{1/3})^6 (\frac{1}{2(3)^{1/3}})^4 = {}^{10}C_4 \frac{1}{2^2 (3)^{4/3}}$ છે.
અંતથી $5$ મું પદ એ શરૂઆતથી $(10-5+2) = 7$ મું પદ છે.
$T_7 = {}^{10}C_6 (2^{1/3})^4 (\frac{1}{2(3)^{1/3}})^6 = {}^{10}C_4 \frac{1}{2^{14/3} (3)^2}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{T_5}{T_7} = \frac{2^{14/3}}{2^2} \cdot \frac{3^2}{3^{4/3}} = 2^{8/3} \cdot 3^{2/3} = (144)^{1/3} = 4(36)^{1/3}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $4(36)^{1/3} : 1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $S_k = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.
આપણે $A$ શોધવાનું છે જેથી $\sum_{k=1}^{10} S_k^2 = \frac{5}{12}A$ થાય.
$\sum_{k=1}^{10} \left( \frac{k+1}{2} \right)^2 = \frac{5}{12}A$
$\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} (k+1)^2 = \frac{5}{12}A$
$\frac{1}{4} (2^2 + 3^2 + .... + 11^2) = \frac{5}{12}A$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{n=1}^{n} n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
તેથી,$\sum_{k=1}^{11} k^2 = \frac{11(12)(23)}{6} = 11 \times 2 \times 23 = 506$.
તેથી,$2^2 + 3^2 + .... + 11^2 = 506 - 1^2 = 505$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{4} (505) = \frac{5}{12}A$.
$A = 505 \times \frac{12}{4 \times 5} = 505 \times \frac{3}{5} = 101 \times 3 = 303$.

(D) ધારો કે $f(x) = \cot^3 x - \tan x$ અને $g(x) = \cos(x + \pi/4)$.
$x = \pi/4$ આગળ,$f(\pi/4) = 1^3 - 1 = 0$ અને $g(\pi/4) = \cos(\pi/2) = 0$. આ $0/0$ સ્વરૂપ છે.
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
અંશનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(\cot^3 x - \tan x) = 3\cot^2 x(-\csc^2 x) - \sec^2 x$.
છેદનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(\cos(x + \pi/4)) = -\sin(x + \pi/4)$.
હવે,$x \to \pi/4$ માટે લક્ષની કિંમત શોધતા:
$\lim_{x \to \pi/4} \frac{-3\cot^2 x \csc^2 x - \sec^2 x}{-\sin(x + \pi/4)} = \frac{-3(1)^2(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2}{-\sin(\pi/2)} = \frac{-3(2) - 2}{-1} = \frac{-8}{-1} = 8$.

(A) ધારો કે $w = \frac{z - \alpha}{z + \alpha}$. $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી,$w + \bar{w} = 0$.
$\frac{z - \alpha}{z + \alpha} + \frac{\bar{z} - \alpha}{\bar{z} + \alpha} = 0$
$(z - \alpha)(\bar{z} + \alpha) + (\bar{z} - \alpha)(z + \alpha) = 0$
$2z\bar{z} - 2\alpha^2 = 0$
$|z|^2 = \alpha^2$
$|z| = 2$ આપેલ હોવાથી,$2^2 = \alpha^2$,તેથી $\alpha^2 = 4$.
આમ,$\alpha = \pm 2$. વિકલ્પમાં $2$ આપેલ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{p=1}^n 2p = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n^2 + n$.
તેથી,સરવાળાની અંદરનું પદ $\cot^{-1}(1 + n^2 + n) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1 + n(n+1)}\right)$ છે.
નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$\tan^{-1}\left(\frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)}\right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$.
હવે,સરવાળો આ મુજબ થશે:
$\sum_{n=1}^{19} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)) = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} 20 - \tan^{-1} 19)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,જેનું સાદું રૂપ $\tan^{-1} 20 - \tan^{-1} 1$ થાય છે.
સૂત્ર $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} 20 - \tan^{-1} 1 = \tan^{-1}\left(\frac{20-1}{1+20 \times 1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.
અંતે,આપણે $\cot(\tan^{-1}(19/21)) = \cot(\cot^{-1}(21/19)) = \frac{21}{19}$ મેળવીએ છીએ.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f'(x) + \frac{3}{4x} f(x) = 7$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{3}{4x}$ અને $Q(x) = 7$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{4x} dx} = e^{\frac{3}{4} \ln x} = x^{3/4}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$f(x) \cdot x^{3/4} = \int 7 x^{3/4} dx + c = 7 \cdot \frac{x^{7/4}}{7/4} + c = 4x^{7/4} + c$ થાય.
તેથી,$f(x) = 4x + c x^{-3/4}$ મળે.
હવે,$\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right)$ ની કિંમત શોધીએ.
$f\left(\frac{1}{x}\right) = 4\left(\frac{1}{x}\right) + c\left(\frac{1}{x}\right)^{-3/4} = \frac{4}{x} + c x^{3/4}$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+} x \left(\frac{4}{x} + c x^{3/4}\right) = \lim_{x \to 0^+} (4 + c x^{7/4}) = 4$ મળે.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{[x] + [\sin x] + 4}$.
આપણે સંકલનને $x=0$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{-\pi/2}^{0} \frac{dx}{[x] + [\sin x] + 4} + \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{[x] + [\sin x] + 4}$.
$x \in [-\pi/2, 0)$ માટે,$[\sin x] = -1$ અને $x \in [0, \pi/2]$ માટે,$[\sin x] = 0$.
$I = \int_{-\pi/2}^{-1} \frac{dx}{[x] - 1 + 4} + \int_{-1}^{0} \frac{dx}{[x] - 1 + 4} + \int_{0}^{1} \frac{dx}{[x] + 0 + 4} + \int_{1}^{\pi/2} \frac{dx}{[x] + 0 + 4}$.
$I = \int_{-\pi/2}^{-1} 1 dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{2} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} dx + \int_{1}^{\pi/2} \frac{1}{5} dx$.
$I = (\frac{\pi}{2} - 1) + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}(\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{3\pi}{5} - \frac{9}{20} = \frac{3(4\pi - 3)}{20}$.

(B) ધારો કે $G.P.$ એ $a_n = a \cdot x^{n-1}$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $x > 0$.
ત્યારે $\log_e(a_n^r a_{n+1}^k) = r \log_e(a_n) + k \log_e(a_{n+1}) = r \log_e(a \cdot x^{n-1}) + k \log_e(a \cdot x^n) = r(\log_e a + (n-1)\log_e x) + k(\log_e a + n \log_e x) = (r+k)\log_e a + (r(n-1) + kn)\log_e x$.
ધારો કે $A = \log_e a$ અને $B = \log_e x$. તો પદ $(r+k)A + (r(n-1) + kn)B$ છે.
નોંધો કે નિશ્ચાયકના પદો $n$ માં સુરેખ અભિવ્યક્તિઓ છે. ખાસ કરીને,ધારો કે $f(n) = c_1 n + c_2$.
નિશ્ચાયકની દરેક હાર સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી (જેમ $n$ માં $1$ નો વધારો થાય છે,તેમ કિંમત $rB + kB$ જેટલી બદલાય છે),હાર સુરેખ રીતે આધારિત છે.
ખાસ કરીને,$R_2 - R_1 = R_3 - R_2$,જે સૂચવે છે કે $R_1 - 2R_2 + R_3 = 0$.
હાર સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,કોઈપણ $r, k \in N$ માટે નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ રહે છે.
તેથી,સમૂહ $S$ માં તમામ જોડીઓ $(r, k)$ નો સમાવેશ થાય છે જ્યાં $r, k \in N$,જેનો અર્થ છે કે $S$ માં અનંત ઘટકો છે.

(C) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(x, x^{3/2} + 7)$ છે. સૈનિક $A(1/2, 7)$ પર છે.
અંતરનો વર્ગ $D^2 = (x - 1/2)^2 + (x^{3/2} + 7 - 7)^2 = (x - 1/2)^2 + x^3$.
ધારો કે $f(x) = (x - 1/2)^2 + x^3$. ન્યૂનતમ અંતર માટે,$f'(x) = 0$.
$f'(x) = 2(x - 1/2) + 3x^2 = 3x^2 + 2x - 1 = 0$.
$(3x - 1)(x + 1) = 0$. $x \geq 0$ હોવાથી,$x = 1/3$.
બિંદુ $P$ એ $(1/3, 7 + \frac{1}{3\sqrt{3}})$ છે.
અંતર $AD = \sqrt{(1/3 - 1/2)^2 + (\frac{1}{3\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{27}} = \sqrt{\frac{7}{108}} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{7}{3}}$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 2y + 3z = a$ $(1)$
$3x - y + 5z = b$ $(2)$
$x - 3y + 2z = c$ $(3)$
સમીકરણોની સંહતિને એકથી વધુ ઉકેલ હોય તે માટે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ અને સંહતિ સુસંગત હોવી જોઈએ.
નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 2(-2 + 15) - 2(6 - 5) + 3(-9 + 1) = 26 - 2 - 24 = 0$.
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો હોઈ શકે છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $(2x+x) + (2y-3y) + (3z+2z) = a+c \Rightarrow 3x - y + 5z = a+c$.
આ સમીકરણ $(2)$ સાથે સરખાવતા,$b = a+c$ મળે,એટલે કે $b - c - a = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણો $x^2 = 4y$ $(1)$ અને $x = 4y - 2$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $4y = x + 2$ $(2)$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$4y$ માટેના પદોને સરખાવતા:
$x^2 = x + 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 2$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{2} \left( \frac{x + 2}{4} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$A = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \right]$
$A = \frac{1}{4} \left[ \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right) \right]$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{20 + 7}{6} \right]$
$A = \frac{1}{4} \times \frac{27}{6} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx$,જ્યાં $f(x) = \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}}$.
અંતરાલ $[-2, 2]$ અને $\pi \approx 3.14$ હોવાથી,$\frac{x}{\pi}$ ની કિંમત $(-\frac{2}{\pi}, \frac{2}{\pi}) \approx (-0.63, 0.63)$ ની વચ્ચે છે.
તેથી,$x \in (-2, 0)$ માટે,$[\frac{x}{\pi}] = -1$,અને $x \in [0, 2)$ માટે,$[\frac{x}{\pi}] = 0$.
આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ: $I = \int_{-2}^{0} \frac{\sin^2 x}{-1 + 0.5} \, dx + \int_{0}^{2} \frac{\sin^2 x}{0 + 0.5} \, dx$.
$I = \int_{-2}^{0} \frac{\sin^2 x}{-0.5} \, dx + \int_{0}^{2} \frac{\sin^2 x}{0.5} \, dx$.
$I = -2 \int_{-2}^{0} \sin^2 x \, dx + 2 \int_{0}^{2} \sin^2 x \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા અને $\sin^2(-x) = \sin^2 x$ હોવાથી:
$I = -2 \int_{0}^{2} \sin^2 x \, dx + 2 \int_{0}^{2} \sin^2 x \, dx = 0$.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2k + 3, -k - 2, 3k + 1)$ છે.
સમતલ $P_1$ એ $2x + 3y - z = 5$ છે. $P_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ છે.
રેખા $L$ ની દિશા $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સમતલ $P_2$ એ રેખા $L$ અને $P_1$ પર તેની પ્રક્ષિપ્ત રેખાને સમાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $P_2$ રેખા $L$ ને સમાવે છે અને $P_1$ ને લંબ છે.
જરૂરી સમતલ $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ એ રેખાની દિશા $\vec{v}$ અને સમતલ $P_1$ ના અભિલંબ $(\vec{n_1})$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{n_2} = \vec{v} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 9) - \hat{j}(-2 - 6) + \hat{k}(6 + 2) = -8\hat{i} + 8\hat{j} + 8\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ લઈ શકીએ છીએ.
આ સમતલ રેખા પરના બિંદુ $(3, -2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. સમતલનું સમીકરણ $1(x - 3) - 1(y + 2) - 1(z - 1) = 0$ છે.
$x - 3 - y - 2 - z + 1 = 0 \Rightarrow x - y - z = 4$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A: 2 - 2 - 0 = 0 \neq 4$
$B: -2 - 2 - 2 = -6 \neq 4$
$C: 0 - (-2) - 2 = 0 \neq 4$
$D: 2 - 0 - (-2) = 4$. આમ,બિંદુ $(2, 0, -2)$ સમતલ પર આવેલું છે.

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, \dots, 11\}$. આ ગણમાં $5$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ અને $6$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી ત્યારે જ થાય જો બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય અથવા બંને એકી હોય.
બે બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો: $^5C_2 = 10$.
બે એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો: $^6C_2 = 15$.
સરવાળો બેકી મળે તેવી કુલ રીતો: $10 + 15 = 25$.
સરવાળો બેકી હોય ત્યારે બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય તેની શરતી સંભાવના:
$P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \le x < 0 \\ x^2 - 1, & 0 \le x \le 2 \end{cases}$.
પ્રથમ,$|f(x)|$ શોધો:
$|f(x)| = \begin{cases} |-1| = 1, & -2 \le x < 0 \\ |x^2 - 1|, & 0 \le x \le 2 \end{cases}$.
ત્યારબાદ,$f(|x|)$ શોધો:
કારણ કે બધા $x$ માટે $|x| \ge 0$ છે,તેથી $x \in [-2, 2]$ માટે $f(|x|) = |x|^2 - 1 = x^2 - 1$ થાય.
હવે,$g(x) = |f(x)| + f(|x|)$:
$x \in [-2, 0)$ માટે,$g(x) = 1 + (x^2 - 1) = x^2$.
$x \in [0, 2]$ માટે,$g(x) = |x^2 - 1| + (x^2 - 1)$.
$g(x)$ નું વિસ્તરણ:
$g(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \le x < 0 \\ -(x^2 - 1) + x^2 - 1 = 0, & 0 \le x < 1 \\ (x^2 - 1) + x^2 - 1 = 2(x^2 - 1), & 1 \le x \le 2 \end{cases}$.
$x=0$ પર સાતત્ય અને વિકલનીયતા તપાસો:
$g(0^-) = 0^2 = 0$,$g(0^+) = 0$. $x=0$ પર સતત છે.
$g'(0^-) = 2x|_{x=0} = 0$,$g'(0^+) = 0$. $x=0$ પર વિકલનીય છે.
$x=1$ પર સાતત્ય અને વિકલનીયતા તપાસો:
$g(1^-) = 0$,$g(1^+) = 2(1^2 - 1) = 0$. $x=1$ પર સતત છે.
$g'(1^-) = 0$,$g'(1^+) = 4x|_{x=1} = 4$.
$g'(1^-) \neq g'(1^+)$ હોવાથી,$g$ એ $x=1$ પર વિકલનીય નથી.
આમ,$g$ એક બિંદુ પર વિકલનીય નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x \ln(\ln x) - x^2 + y^2 = 4$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[x \ln(\ln x)] - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)$
પ્રથમ પદ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા: $1 \cdot \ln(\ln x) + x \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$x = e$ મૂકતા,$\ln(\ln e) = \ln(1) = 0$ અને $\ln e = 1$:
$0 + \frac{1}{1} - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$1 - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2y}$
હવે,મૂળ સમીકરણમાં $x = e$ મૂકીને $y$ ની કિંમત શોધો:
$e \ln(\ln e) - e^2 + y^2 = 4$
$e(0) - e^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 4 + e^2 \implies y = \sqrt{4 + e^2}$ (કારણ કે $y > 0$)
$y$ ની કિંમત $\frac{dy}{dx}$ ના પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2\sqrt{4 + e^2}}$

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{4}} dx$ છે.
સંકલ્યને આ રીતે લખતા: $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}}{x^{4}} dx = \int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1} dx.$
ધારો કે $t = \frac{1}{x^{2}} - 1.$ તેથી $dt = -\frac{2}{x^{3}} dx,$ જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^{3}} = -\frac{1}{2} dt.$
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = -\frac{1}{2} \int \sqrt{t} dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{3} t^{3/2} + C.$
$t = \frac{1-x^2}{x^2}$ પાછું મૂકતા,$I = -\frac{1}{3} \left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)^{3/2} + C = -\frac{1}{3} \frac{(1-x^2)^{3/2}}{x^3} + C.$
કારણ કે $(1-x^2)^{3/2} = (\sqrt{1-x^2})^3,$ તેથી $I = -\frac{1}{3x^3} (\sqrt{1-x^2})^3 + C.$
આને $A(x) (\sqrt{1-x^2})^m + C$ સાથે સરખાવતા,$m = 3$ અને $A(x) = -\frac{1}{3x^3}$ મળે છે.
તેથી,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27x^9}$.

(A) ધારો કે $y = \frac{x}{x^2 + 1}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y(x^2 + 1) = x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $yx^2 - x + y = 0$.
અહીં $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$x$ માં આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$D = (-1)^2 - 4(y)(y) \ge 0$.
$1 - 4y^2 \ge 0$.
$4y^2 \le 1$,જેનો અર્થ છે $y^2 \le \frac{1}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|y| \le \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $y \in [ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ]$.
આમ,$f$ નો વિસ્તાર $[ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ]$ છે.

(C) આપેલ છે કે $AA^T = I_3$,તેથી $A$ એ લંબ શ્રેણિક (orthogonal matrix) છે.
શ્રેણિક ગુણાકાર $AA^T$ કરતા:
$\begin{bmatrix} 0 & 2q & r \\ p & q & -r \\ p & -q & r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & p & p \\ 2q & q & -q \\ r & -r & r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ગુણાકારના ઘટકો સરખાવતા:
હાર $1$ $\cdot$ સ્તંભ $1$: $4q^2 + r^2 = 1$ (સમી. $1$)
હાર $2$ $\cdot$ સ્તંભ $2$: $p^2 + q^2 + r^2 = 1$ (સમી. $2$)
હાર $2$ $\cdot$ સ્તંભ $3$: $p^2 - q^2 - r^2 = 0$ (સમી. $3$)
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2p^2 = 1 \implies p^2 = \frac{1}{2} \implies |p| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = e^{-2x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2 + \frac{1}{x}) dx} = e^{2x + \log_e x} = x e^{2x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y(x e^{2x}) = \int e^{-2x} \cdot (x e^{2x}) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.
આપેલ છે કે $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તેથી $x=1$ અને $y=\frac{1}{2}e^{-2}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}e^{-2} \cdot (1 \cdot e^2) = \frac{1^2}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$y = \frac{x}{2}e^{-2x}$ મળે છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે તપાસવા માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} e^{-2x} + \frac{x}{2} (-2 e^{-2x}) = \frac{e^{-2x}}{2} (1 - 2x)$ મેળવીએ.
જ્યારે $x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ હોય,ત્યારે $1 - 2x < 0$ થાય,તેથી $\frac{dy}{dx} < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y(x)$ એ અંતરાલ $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = d$ છે. તે $(0, -1, 0)$ અને $(0, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-b = d$ અને $c = d$. એટલે કે $d = -b = c$.
સમતલનું સમીકરણ $ax - dy - dz = d$ થાય. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, -d, -d)$ છે.
બિંદુઓ $(0, -1, 0)$ અને $(0, 0, 1)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તરો $(0, 1, 1)$ છે. રેખા સમતલમાં હોવાથી,અભિલંબ તેને લંબ છે: $a(0) + (-d)(1) + (-d)(1) = 0 \Rightarrow -2d = 0$ (અહીં $a, b, c$ નો ઉપયોગ કરીએ).
બિંદુઓ $A(0, -1, 0)$ અને $B(0, 0, 1)$ માટે,સદિશ $\vec{AB} = (0, 1, 1)$.
અભિલંબ $\vec{n} = (a, b, c)$. $\vec{AB}$ સમતલમાં હોવાથી,$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \Rightarrow b + c = 0 \Rightarrow c = -b$.
તેથી,$\vec{n} = (a, b, -b)$.
સમતલ અને $y - z + 5 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે. બીજા સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ છે.
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n}| |\vec{n_2}|} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|b + b|}{\sqrt{a^2 + b^2 + b^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2b|}{\sqrt{a^2 + 2b^2} \cdot \sqrt{2}} \Rightarrow \sqrt{a^2 + 2b^2} = 2|b|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $a^2 + 2b^2 = 4b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2 \Rightarrow a = \pm \sqrt{2}b$.
જો $a = \sqrt{2}b$ હોય,તો $\vec{n} = (\sqrt{2}b, b, -b)$,જેના દિકગુણોત્તરો $(\sqrt{2}, 1, -1)$ છે.
જો $a = -\sqrt{2}b$ હોય,તો $\vec{n} = (-\sqrt{2}b, b, -b)$,જેના દિકગુણોત્તરો $(-\sqrt{2}, 1, -1)$ છે.
વિકલ્પ $(C)$ એ $(\sqrt{2}, 1, -1)$ છે. વિકલ્પ $(B)$ એ $(2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \sqrt{2}(\sqrt{2}, 1, -1)$ છે,જે સમાન દિશા દર્શાવે છે. આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોવાથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & \lambda & 4 \\ 2 & 4 & \lambda^2 - 1 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$ લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & \lambda & 4 \\ 0 & 0 & \lambda^2 - 9 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(\lambda^2 - 9)(\lambda - 2) = 0$.
આથી $\lambda = 2$ અથવા $\lambda^2 = 9$ મળે. જો $\lambda = 2$ લઈએ,તો $\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & (2^2 - 1) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 16) - \hat{j}(3 - 8) + \hat{k}(4 - 4) = -10\hat{i} + 5\hat{j}$.

(C) ધારો કે $y = \cot^{-1} x$. અસમતા $y^2 - 7y + 10 > 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(y - 5)(y - 2) > 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $y < 2$ અથવા $y > 5$.
$\cot^{-1} x$ નો વિસ્તાર $(0, \pi)$ હોવાથી,$0 < \cot^{-1} x < \pi$ થાય.
તેથી,$0 < \cot^{-1} x < 2$ અથવા $5 < \cot^{-1} x < \pi$ મળે.
$\cot$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય હોવાથી,જ્યારે આપણે તેને લાગુ કરીએ ત્યારે અસમતા ઉલટાઈ જાય છે:
$0 < \cot^{-1} x < 2$ માટે,$x > \cot 2$ મળે છે.
$5 < \cot^{-1} x < \pi$ માટે,$\cot \pi < x < \cot 5$ મળે છે,જે $-\infty < x < \cot 5$ છે.
આમ,$x \in (-\infty, \cot 5) \cup (\cot 2, \infty)$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ પરના બિંદુઓ $P_1 = (\lambda + 3, 3\lambda - 1, -\lambda + 6)$ અને $P_2 = (7\alpha - 5, -6\alpha + 2, 4\alpha + 3)$ છે.
રેખાઓ બિંદુ $R$ પર છેદે છે,તેથી યામોને સરખાવતા:
$\lambda + 3 = 7\alpha - 5 \Rightarrow \lambda - 7\alpha = -8$ (સમીકરણ $1$)
$3\lambda - 1 = -6\alpha + 2 \Rightarrow 3\lambda + 6\alpha = 3 \Rightarrow \lambda + 2\alpha = 1$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા $9\alpha = 9$ મળે,તેથી $\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા,$\lambda + 2(1) = 1$ મળે,તેથી $\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને પ્રથમ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,$R = (-1 + 3, 3(-1) - 1, -(-1) + 6) = (2, -4, 7)$ મળે.
$xy$-સમતલમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, y, -z)$ થાય છે.
તેથી,$xy$-સમતલમાં $R(2, -4, 7)$ નું પ્રતિબિંબ $(2, -4, -7)$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{\pi /6}^{\pi /4} \frac{dx}{\sin 2x (\tan^5 x + \cot^5 x)}$.
$\sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\sin 2x} = \frac{1+\tan^2 x}{2\tan x}$.
$I = \int_{\pi /6}^{\pi /4} \frac{(1+\tan^2 x) dx}{2\tan x (\tan^5 x + \cot^5 x)}$.
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec^2 x dx = (1+\tan^2 x) dx$.
જ્યારે $x = \pi/6, t = 1/\sqrt{3}$. જ્યારે $x = \pi/4, t = 1$.
$I = \int_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{dt}{2t(t^5 + 1/t^5)} = \int_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{t^4 dt}{2(t^{10} + 1)}$.
ધારો કે $u = t^5$,તેથી $du = 5t^4 dt$,એટલે કે $t^4 dt = du/5$.
જ્યારે $t = 1/\sqrt{3}, u = (1/\sqrt{3})^5 = 1/(9\sqrt{3})$. જ્યારે $t = 1, u = 1$.
$I = \frac{1}{2} \int_{1/(9\sqrt{3})}^{1} \frac{du/5}{u^2 + 1} = \frac{1}{10} [\tan^{-1} u]_{1/(9\sqrt{3})}^{1}$.
$I = \frac{1}{10} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(1/(9\sqrt{3}))) = \frac{1}{10} (\frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(\frac{1}{9\sqrt{3}}))$.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $30 + 10 = 40$ છે.
સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $p = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$ છે.
લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ છે.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 16$ છે.
દડા પુરવણી સહિત કાઢવામાં આવતા હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
$X$ નો મધ્યક $E(X) = np = 16 \times \frac{3}{4} = 12$ છે.
$X$ નું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{16 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\text{mean}}{\text{standard deviation}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ થાય.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{matrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
હારની પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{matrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
$R_1$ માંથી $(a + b + c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
સ્તંભની પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a + b + c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a + b + c) \end{matrix} \right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a + b + c) [1 \cdot (-(a + b + c)) \cdot (-(a + b + c)) - 0] = (a + b + c)^3$.
આપેલ છે કે $\Delta = (a + b + c)(x + a + b + c)^2$,તેથી:
$(a + b + c)^3 = (a + b + c)(x + a + b + c)^2$.
$a + b + c \ne 0$ હોવાથી,$(a + b + c)$ વડે ભાગતા:
$(a + b + c)^2 = (x + a + b + c)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + a + b + c = \pm(a + b + c)$.
જો $x + a + b + c = a + b + c$ હોય,તો $x = 0$ (જે શક્ય નથી કારણ કે $x \ne 0$).
જો $x + a + b + c = -(a + b + c)$ હોય,તો $x = -2(a + b + c)$.

(D) સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{OB} = \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$ છે.
$OA$ અને $OB$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\hat{u}_A = \frac{\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}}{2}$ અને $\hat{u}_B = \frac{\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}}{2}$ છે.
$\angle AOB$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક એ $\vec{u}_A + \vec{u}_B = \frac{(\sqrt{3}+1) \hat{i} + (1+\sqrt{3}) \hat{j}}{2}$ સદિશની દિશામાં છે,જે રેખા $y = x$ માં પરિણમે છે.
બિંદુ $C$ ના યામ $(\beta, 1 + \beta)$ છે.
રેખા $x - y = 0$ થી બિંદુ $C(x_0, y_0)$ નું અંતર $d = \frac{|x_0 - y_0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આપણે $C$ ના યામ $(\beta, 1-\beta)$ લઈએ,તો અંતર $\frac{|\beta - (1-\beta)|}{\sqrt{2}} = \frac{|2\beta - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી $|2\beta - 1| = 3$,જેનો અર્થ છે કે $2\beta - 1 = 3$ અથવા $2\beta - 1 = -3$.
$\beta = 2$ અથવા $\beta = -1$.
કિંમતોનો સરવાળો $= 2 + (-1) = 1$.

(D) ધારો કે $2x - 1 = t^2$. તેથી $2 dx = 2t dt$,એટલે કે $dx = t dt$.
વળી,$x = \frac{t^2 + 1}{2}$,જેનો અર્થ થાય છે કે $x + 1 = \frac{t^2 + 1}{2} + 1 = \frac{t^2 + 3}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{x + 1}{\sqrt{2x - 1}} dx = \int \frac{(\frac{t^2 + 3}{2})}{t} (t dt) = \int \frac{t^2 + 3}{2} dt$
$= \frac{1}{2} (\frac{t^3}{3} + 3t) + C = \frac{t^3}{6} + \frac{3t}{2} + C$
$= t (\frac{t^2}{6} + \frac{3}{2}) + C = t (\frac{t^2 + 9}{6}) + C$
અહીં $t = \sqrt{2x - 1}$ હોવાથી $t^2 = 2x - 1$ થાય.
$t^2$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$= \sqrt{2x - 1} (\frac{2x - 1 + 9}{6}) + C = \sqrt{2x - 1} (\frac{2x + 8}{6}) + C$
$= \sqrt{2x - 1} (\frac{x + 4}{3}) + C$.
આને $f(x) \sqrt{2x - 1} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1}{3}(x + 4)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = |1 - \frac{1}{x}|$ જ્યાં $x \in (0, \infty)$.
એક-એક (injective) ચકાસવા માટે: $f(x) = y$ લો. $y \in (0, 1)$ માટે,$x$ ના બે મૂલ્યો મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $y = 0.5$ હોય,તો $|1 - \frac{1}{x}| = 0.5$,જે આપે છે $1 - \frac{1}{x} = 0.5 \implies \frac{1}{x} = 0.5 \implies x = 2$,અને $1 - \frac{1}{x} = -0.5 \implies \frac{1}{x} = 1.5 \implies x = \frac{2}{3}$. અહીં $f(2) = f(\frac{2}{3}) = 0.5$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસવા માટે: સહ-પ્રદેશ $(0, \infty)$ છે. $x \in (0, \infty)$ માટે $f(x) = |1 - \frac{1}{x}|$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે. વિસ્તાર $[0, \infty)$ એ સહ-પ્રદેશ $(0, \infty)$ ને સમાન નથી (કારણ કે $0$ વિસ્તારમાં છે પણ સહ-પ્રદેશમાં નથી),તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(A) વિધેય $f(x) = \sin |x| - |x| + 2(x - \pi) \cos |x|$ છે.
આપણે $x = 0$ અને $x = \pi$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસીએ.
કિસ્સો $1$: $x = 0$ આગળ.
$x > 0$ માટે,$f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$. તેથી $f'(x) = \cos x - 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x$. આમ,$f'(0^+) = 1 - 1 + 2 - 0 = 2$.
$x < 0$ માટે,$f(x) = \sin(-x) - (-x) + 2(x - \pi) \cos(-x) = -\sin x + x + 2(x - \pi) \cos x$. તેથી $f'(x) = -\cos x + 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x$. આમ,$f'(0^-) = -1 + 1 + 2 - 0 = 2$.
$f'(0^+) = f'(0^-) = 2$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે.
કિસ્સો $2$: $x = \pi$ આગળ.
$x > 0$ માટે,$f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$. $f'(x) = \cos x - 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x$. $f'(\pi^+) = \cos \pi - 1 + 2 \cos \pi - 0 = -1 - 1 - 2 = -4$.
$x < 0$ અહીં સુસંગત નથી કારણ કે આપણે $\pi$ ની નજીક ચકાસીએ છીએ. $\pi$ ની નજીક $|x| = x$ હોવાથી,વિધેય $f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$ છે,જે $\pi$ ના સામીપ્યમાં દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે.
આમ,વિધેય તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે વિકલનીય છે. તેથી સમૂહ $K$ એ $\phi$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2 + 1$ છે.
બિંદુ $(2, 5)$ આગળ સ્પર્શક શોધવા માટે,વિકલન કરીએ: $\frac{dy}{dx} = 2x$.
$x = 2$ આગળ,ઢાળ $m = 2(2) = 4$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 5 = 4(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 4x - 3$ થાય છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $y = 0$ આગળ છેદે છે,તેથી $4x - 3 = 0$,જેનો અર્થ $x = \frac{3}{4}$ થાય છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = 2$ સુધીના પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાંથી સ્પર્શક,$x$-અક્ષ અને શિરોલંબ રેખા $x = 2$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાનું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx - \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2 - \frac{3}{4}) \times 5 = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} \times 5 = \frac{25}{8}$.
સંકલન ભાગ $= [\frac{x^3}{3} + x]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \frac{14}{3} - \frac{25}{8} = \frac{112 - 75}{24} = \frac{37}{24}$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે $u = x - y$. તેથી $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = u^2$ મૂકતા,આપણને $1 - \frac{du}{dx} = u^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{du}{dx} = 1 - u^2$.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{du}{1 - u^2} = dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{du}{1 - u^2} = \int dx$,જે $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| = x + C$ આપે છે.
$u = x - y$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x + C$ મળે છે.
શરત $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 1, y = 1$,તેથી $u = 1 - 1 = 0$.
$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + 0}{1 - 0} \right| = 1 + C \Rightarrow 0 = 1 + C \Rightarrow C = -1$.
આમ,$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x - 1$,જેનું સાદું રૂપ $\log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = 2(x - 1)$ થાય છે.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,$- \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = -2(x - 1)$,જે $- \log_e \left| \frac{1 - x + y}{1 + x - y} \right| = 2(x - 1)$ ને સમાન છે.

(B) $S = \{1, 2, \dots, 20\}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $\frac{20 \times 21}{2} = 210$ છે.
ધારો કે $B$ એ $S$ નો એવો ઉપગણ છે કે જેના ઘટકોનો સરવાળો $203$ થાય છે.
ધારો કે $B^c = S \setminus B$ એ $S$ માં $B$ નો પૂરક ગણ છે.
$B^c$ ના ઘટકોનો સરવાળો $(S \text{ નો સરવાળો}) - (B \text{ નો સરવાળો}) = 210 - 203 = 7$ થાય.
આપણે $S$ ના એવા ઉપગણો શોધવાના છે જેના ઘટકોનો સરવાળો $7$ થાય.
$S$ ના એવા ઉપગણો જેના ઘટકોનો સરવાળો $7$ થાય તે નીચે મુજબ છે:
$1. \{7\}$
$2. \{1, 6\}$
$3. \{2, 5\}$
$4. \{3, 4\}$
$5. \{1, 2, 4\}$
આવા કુલ $5$ ઉપગણો છે.
$S$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{20}$ છે.
તેથી,યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ ઉપગણ "નાઈસ" હોય તેની સંભાવના $\frac{5}{2^{20}}$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(7, 0, 6)$ અને $B(3, 4, 2)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (3-7)\hat{i} + (4-0)\hat{j} + (2-6)\hat{k} = -4\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
આ દિશા સદિશને $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
આ સમતલ $2x - 5y = 15$ ને પણ લંબ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = 2\hat{i} - 5\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{n_1}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -5 & 0 \end{vmatrix} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ મળે છે.
$(7, 0, 6)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $5(x-7) + 2(y-0) - 3(z-6) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 2y - 3z = 17$ થાય છે.
બિંદુ $(2, \alpha, \beta)$ આ સમતલ પર હોવાથી,આપણે યામો મૂકીએ:
$5(2) + 2(\alpha) - 3(\beta) = 17$
$10 + 2\alpha - 3\beta = 17$
$2\alpha - 3\beta = 7$.

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$. $S$ માં $4$ ના ગુણકો $K = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ છે. આવા $5$ ઘટકો છે.
$k \in K$ માટે,$f(k)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $S$ માં $3$ ના ગુણકો $M = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ છે. આવા $6$ ઘટકો છે.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત હોવાથી,$K$ ના $5$ ઘટકો $M$ ના $5$ ભિન્ન ઘટકો પર મેપ થવા જોઈએ. આ રીતે પસંદ કરવા અને ગોઠવવાની રીતો $^6P_5 = \frac{6!}{1!} = 6!$ છે.
બાકીના $15$ ઘટકો $S \setminus K$ ને બાકીના $15$ ઘટકો $S \setminus f(K)$ પર એક-એક અને વ્યાપ્ત રીતે મેપ કરવાના રહે,જે $15!$ રીતે થઈ શકે.
તેથી,કુલ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $6! \times 15!$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
ભાગાકારના નિયમ અથવા સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે $u = x$ અને $v = \sqrt{a^2 + x^2}$. તો $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.
તે જ રીતે,બીજા પદ માટે,ધારો કે $g(x) = \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$. પદની આગળ ઋણ નિશાની હોવાથી,તેનું વિકલન $\frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$ મળે છે.
આમ,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
અહીં $a^2, b^2 > 0$ હોવાથી અને છેદ હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) > 0$ તમામ $x \in R$ માટે.
તેથી,$f$ એ $x$ નું વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ ક્રમના શ્રેણિકો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(ABA^T) = \det(A) \det(B) \det(A^T) = \det(A)^2 \det(B) = 8$.
તેમજ,$\det(AB^{-1}) = \det(A) \det(B)^{-1} = \frac{\det(A)}{\det(B)} = 8$,જેનો અર્થ છે કે $\det(A) = 8 \det(B)$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\det(A) = 8 \det(B)$ મૂકતા: $(8 \det(B))^2 \det(B) = 8 \Rightarrow 64 \det(B)^3 = 8 \Rightarrow \det(B)^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow \det(B) = \frac{1}{2}$.
તેથી $\det(A) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
આપણે $\det(BA^{-1}B^T) = \det(B) \det(A)^{-1} \det(B^T) = \frac{\det(B)^2}{\det(A)}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(1/2)^2}{4} = \frac{1/4}{4} = \frac{1}{16}$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિનો ઉકેલ અનન્ય હોય જો અને માત્ર જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D \neq 0$ હોય.
સહગુણક શ્રેણિક:
$D = \begin{vmatrix} 1 + \alpha & \beta & 1 \\ \alpha & 1 + \beta & 1 \\ \alpha & \beta & 2 \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$D = \begin{vmatrix} \alpha + \beta + 2 & \beta & 1 \\ \alpha + \beta + 2 & 1 + \beta & 1 \\ \alpha + \beta + 2 & \beta & 2 \end{vmatrix}$
$C_1$ માંથી $(\alpha + \beta + 2)$ સામાન્ય લેતા:
$D = (\alpha + \beta + 2) \begin{vmatrix} 1 & \beta & 1 \\ 1 & 1 + \beta & 1 \\ 1 & \beta & 2 \end{vmatrix}$
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$D = (\alpha + \beta + 2) \begin{vmatrix} 1 & \beta & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\alpha + \beta + 2)(1) = \alpha + \beta + 2$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$,તેથી $\alpha + \beta + 2 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta \neq -2$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A: 2 + 4 = 6 \neq -2$ (સાચું)
$B: -3 + 1 = -2$ (ખોટું)
$C: -4 + 2 = -2$ (ખોટું)
$D: 1 - 3 = -2$ (ખોટું)
આમ,ક્રમિત જોડ $(2, 4)$ અનન્ય ઉકેલ આપે છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$P(1, 2, 1)$,$Q(2, 1, 3)$,અને $R(-1, 1, 2)$ છે.
ફલકો $OPQ$ અને $PQR$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે આ ફલકોના અભિલંબ સદિશો શોધીશું.
ફલક $OPQ$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = \vec{OP} \times \vec{OQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
ફલક $PQR$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \vec{PQ} \times \vec{PR}$.
$\vec{PQ} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{PR} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
ફલકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+1+9} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+25+9} = \sqrt{35}$.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 5 + 5 + 9 = 19$.
$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(C) ધારો કે પરવલય પરના લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(\alpha, 12 - \alpha^2)$ અને $(-\alpha, 12 - \alpha^2)$ છે,જ્યાં $\alpha > 0$ છે.
લંબચોરસનો પાયો $x-$અક્ષ પર છે,તેથી પાયાની લંબાઈ $2\alpha$ અને ઊંચાઈ $12 - \alpha^2$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = \text{લંબાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 2\alpha(12 - \alpha^2) = 24\alpha - 2\alpha^3$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{d\alpha} = 24 - 6\alpha^2$.
$\frac{dA}{d\alpha} = 0$ લેતા,આપણને $24 - 6\alpha^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2 = 4$,તેથી $\alpha = 2$ (કારણ કે $\alpha > 0$).
આ મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ છીએ: $\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -12\alpha$. $\alpha = 2$ પર,$\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -24 < 0$,તેથી તે મહત્તમ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 2(2)(12 - 2^2) = 4(12 - 4) = 4(8) = 32$ ચોરસ એકમ છે.

(A) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય. અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર એ સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$D = \begin{vmatrix} \mu & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 1 & \mu \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = \mu(\mu^2 - 1) - 1(\mu - 1) + 1(1 - \mu) = 0$
$D = \mu(\mu - 1)(\mu + 1) - 1(\mu - 1) - 1(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1) [\mu(\mu + 1) - 1 - 1] = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu^2 + \mu - 2) = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu + 2)(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1)^2(\mu + 2) = 0$
$\mu$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો $1$ અને $-2$ છે.
આ ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + (-2) = -1$ થાય છે.

(A) આપેલ છે $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 9 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $P = I + A$ લખી શકીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix}$.
નોંધો કે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $A^3 = O$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા $P^n = (I + A)^n = I + nA + \frac{n(n-1)}{2}A^2$ (કારણ કે $A^3 = O$):
$P^5 = I + 5A + \frac{5 \times 4}{2}A^2 = I + 5A + 10A^2$.
$P^5 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix} + 10 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 135 & 15 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $Q = P^5 + I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 135 & 15 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 15 & 2 & 0 \\ 135 & 15 & 2 \end{bmatrix}$.
આમ,$q_{21} = 15$,$q_{31} = 135$,અને $q_{32} = 15$.
$\frac{q_{21} + q_{31}}{q_{32}} = \frac{15 + 135}{15} = \frac{150}{15} = 10$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \ln x$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \ln x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot x = \int (\ln x) \cdot x dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
તેથી,$xy = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
આપેલ છે કે $2y(2) = \ln 4 - 1$,તેથી $y(2) = \frac{\ln 4 - 1}{2}$.
$x=2$ મુકતા: $2y(2) = \frac{2^2}{2} \ln 2 - \frac{2^2}{4} + C \implies \ln 4 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$.
$\ln 4 = 2 \ln 2$ હોવાથી,$2 \ln 2 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
આમ,$y = \frac{x}{2} \ln x - \frac{x}{4}$.
$x = e$ માટે,$y(e) = \frac{e}{2} \ln e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$.

(D) વક્રો $y = f(x)$ અને $y = g(x)$ વચ્ચે $x = a$ થી $x = b$ સુધીના આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$f(x) = x^2 + 2$ અને $g(x) = x + 1$ છે. $x \in [0, 3]$ માટે,$x^2 + 2 \geq x + 1$ થાય કારણ કે $x^2 - x + 1 = (x - 0.5)^2 + 0.75 > 0$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{3} ((x^2 + 2) - (x + 1)) dx$ છે.
$= \int_{0}^{3} (x^2 - x + 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - (0)$
$= \left( 9 - 4.5 + 3 \right) = 7.5 = \frac{15}{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે $X_i$ એ $i$-મો ઉછાળ છે. પ્રયોગ $5$-મા ઉછાળે પૂર્ણ થાય તેનો અર્થ એ છે કે $4$-થો અને $5$-થો ઉછાળ $4$ હોવો જોઈએ અને $3$-જો ઉછાળ $4$ ન હોવો જોઈએ.
શક્ય શ્રેણીઓ:
$1$. $(4, X_2, X_3, 4, 4)$ જ્યાં $X_2, X_3 \neq 4$: સંભાવના $= \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{6^5}$.
$2$. $(X_1, 4, X_3, 4, 4)$ જ્યાં $X_1, X_3 \neq 4$: સંભાવના $= \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{6^5}$.
$3$. $(X_1, X_2, X_3, 4, 4)$ જ્યાં $X_3 \neq 4$ અને $(X_1, X_2) \neq (4, 4)$:
કુલ સંભાવના $= \frac{25+25+125}{6^5} = \frac{175}{6^5}$.

(C) ધારો કે $I = \int \cos(\log_e x) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \cos(\log_e x)$ અને $dv = dx$ લો.
તેથી $du = -\sin(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે.
$I = x \cos(\log_e x) - \int x \left( -\sin(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx$
$I = x \cos(\log_e x) + \int \sin(\log_e x) dx$.
હવે,$\int \sin(\log_e x) dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$u = \sin(\log_e x)$ અને $dv = dx$ લો.
તેથી $du = \cos(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે.
$\int \sin(\log_e x) dx = x \sin(\log_e x) - \int x \left( \cos(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx = x \sin(\log_e x) - I$.
આ કિંમત $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = x \cos(\log_e x) + x \sin(\log_e x) - I$
$2I = x(\cos(\log_e x) + \sin(\log_e x))$
$I = \frac{x}{2}(\cos(\log_e x) + \sin(\log_e x)) + C$.

(B) બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\left| \begin{array}{ccc} x+2 & y-2 & z+5 \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{array} \right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+2)(35-28) - (y-2)(21-7) + (z+5)(12-5) = 0$
$7(x+2) - 14(y-2) + 7(z+5) = 0$
$7$ વડે ભાગતા:
$(x+2) - 2(y-2) + (z+5) = 0$
$x - 2y + z + 2 + 4 + 5 = 0$
$x - 2y + z + 11 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=1, B=-2, C=1, D=11$.
$d = \frac{|11|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{11}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$.

(B) વિધેય $f(x) = \min\{\sin x, \cos x\}$ એવા બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી જ્યાં $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ ના આલેખ એકબીજાને છેદે છે.
$\sin x = \cos x$ લેતા,આપણને $\tan x = 1$ મળે છે.
$(-\pi, \pi)$ અંતરાલમાં,ઉકેલો $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = -\frac{3\pi}{4}$ છે.
આ બિંદુઓ પર વિધેયને તીક્ષ્ણ ખૂણાઓ હોય છે,જે તેને અવિકલનીય બનાવે છે.
આમ,$S = \{ -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$S$ એ $\{ -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \}$ નો ઉપગણ છે.

(B) આપેલ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\ln|f(x)| = x + C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = Ae^x$.
શરત $f(1) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા,$Ae^1 = 2$,તેથી $A = 2e^{-1}$.
આમ,$f(x) = 2e^{-1} \cdot e^x = 2e^{x-1}$.
પરિણામે,$f'(x) = 2e^{x-1}$.
આપેલ છે કે $h(x) = f(f(x))$,સાંકળના નિયમ (chain rule) મુજબ,$h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$x = 1$ આગળ,$h'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1)$.
કારણ કે $f(1) = 2$,તેથી $h'(1) = f'(2) \cdot f'(1)$.
કિંમતો મૂકતા,$f'(2) = 2e^{2-1} = 2e$ અને $f'(1) = 2e^{1-1} = 2$.
તેથી,$h'(1) = (2e) \cdot (2) = 4e$.

(D) ધારો કે $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$.
સંકલનને અલગ કરતા: $I = \int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx - \int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$u = \left( \frac{x}{e} \right)^{2x}$ લો. તેથી $\log_{e} u = 2x (\log_{e} x - 1)$.
વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} du = 2 \log_{e} x \, dx$.
જ્યારે $x=1, u = e^{-2}$ અને જ્યારે $x=e, u = 1$.
તેથી,$\int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx = \frac{1}{2} \int_{e^{-2}}^{1} du = \frac{1}{2} (1 - e^{-2})$.
બીજા સંકલન માટે,$v = \left( \frac{e}{x} \right)^{x}$ લો. તેથી $\log_{e} v = x (1 - \log_{e} x)$.
વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} dv = -\log_{e} x \, dx$.
જ્યારે $x=1, v = e$ અને જ્યારે $x=e, v = 1$.
તેથી,$\int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx = -\int_{e}^{1} dv = e - 1$.
કુલ કિંમત: $I = \frac{1}{2} (1 - e^{-2}) - (e - 1) = \frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1.$
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}.$
આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{1}{2} \vec{b},$ તેથી $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \frac{1}{2} \vec{b}.$
કારણ કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર નથી,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha = 1 \cdot 1 \cdot \cos \alpha = 0 \implies \alpha = 90^{\circ}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos \beta = 1 \cdot 1 \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 60^{\circ}.$
આમ,$|\alpha - \beta| = |90^{\circ} - 60^{\circ}| = 30^{\circ}.$

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 2y}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે ફરીથી લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$.
વક્ર $(1, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x = 1$ અને $y = -2$ મૂકીએ:
$-2(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow -2 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -2 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y x^2 = \frac{x^4}{4} - \frac{9}{4}$ અથવા $4yx^2 = x^4 - 9$ છે.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસતા: $x = \sqrt{3}$ માટે,$4y(3) = (\sqrt{3})^4 - 9 = 9 - 9 = 0$,તેથી $y = 0$. આમ,વક્ર $(\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - k\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\sin \alpha = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-k)^2} = \sqrt{5 + k^2}$.
$\vec{b} \cdot \vec{n} = 2 - 2 + 2k = 2k$.
તેથી,$\sin \alpha = \frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}}$.
આપેલ છે કે $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$,તેથી $\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{|2k|}{\sqrt{5 + k^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4k^2 = 5 + k^2 \Rightarrow 3k^2 = 5 \Rightarrow k^2 = \frac{5}{3}$.
આમ,$k = \sqrt{\frac{5}{3}}$.