AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ વક્રો $x^2+y^2-x-y=0$ $(i)$ અને $x^2+y^2-2y=0$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$(i)$ ને $(ii)$ માંથી બાદ કરતા: $(x^2+y^2-2y) - (x^2+y^2-x-y) = 0 \Rightarrow x-y=0 \Rightarrow x=y$.
$x=y$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $x^2+x^2=2x \Rightarrow 2x^2-2x=0 \Rightarrow 2x(x-1)=0$. આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x+2y\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1-2x}{2y-1} = m_1$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x+2y\frac{dy}{dx}=2\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-y} = m_2$.
બિંદુ $(1,1)$ પર,$m_1 = \frac{1-2}{2-1} = -1$ અને $m_2 = \frac{1}{1-1}$ (અવ્યાખ્યાયિત,શિરોલંબ સ્પર્શક).
એક સ્પર્શક શિરોલંબ હોવાથી,ખૂણો $\theta$ આ રીતે મળે: $|\tan \theta| = |\frac{1}{m_1}| = |\frac{1}{-1}| = 1$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ વક્રો $2x^2 + ky^2 = 30$ ...$(i)$ અને $3y^2 = 28x$ ...(ii) છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $4x + 2ky \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{ky} = m_1$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $6y \frac{dy}{dx} = 28 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{14}{3y} = m_2$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$.
$\left( \frac{-2x}{ky} \right) \left( \frac{14}{3y} \right) = -1 \Rightarrow \frac{28x}{3ky^2} = 1$.
(ii) પરથી,$3y^2 = 28x$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{28x}{k(28x)} = 1 \Rightarrow \frac{1}{k} = 1 \Rightarrow k = 1$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x + \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$.
નિત્યસમ $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \sin x + \cos 2x$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$,આપણે લખી શકીએ કે $f(x) = \sin x + 1 - 2\sin^2 x$.
ધારો કે $t = \sin x$,જ્યાં $t \in [-1, 1]$. તો $g(t) = -2t^2 + t + 1$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $g'(t) = -4t + 1$.
$g'(t) = 0$ લેતા,આપણને $t = \frac{1}{4}$ મળે છે.
કારણ કે $g''(t) = -4 < 0$,તેથી $t = \frac{1}{4}$ એ સ્થાનીય મહત્તમ બિંદુ છે.
આપણે $[0, 2\pi]$ માં $x$ ની એવી કિંમતો શોધવાની છે કે જેના માટે $\sin x = \frac{1}{4}$ થાય.
કારણ કે $\frac{1}{4} > 0$,તેથી $\sin x = \frac{1}{4}$ ને $[0, 2\pi]$ અંતરાલમાં બે ઉકેલ મળે છે (એક પ્રથમ ચરણમાં અને એક બીજા ચરણમાં).
આમ,$x$ ની આવી $2$ કિંમતો શક્ય છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{x^4+1}=\frac{A x+B}{x^2+\sqrt{2} x+1}+\frac{C x+D}{x^2-\sqrt{2} x+1}$.
બંને બાજુ $(x^4+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $(A x+B)(x^2-\sqrt{2} x+1)+(C x+D)(x^2+\sqrt{2} x+1)=1$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^3$ માટે: $A+C=0 \Rightarrow C=-A$.
$x^0$ (અચળ પદ) માટે: $B+D=1$.
$x^2$ માટે: $B-\sqrt{2} A+D+\sqrt{2} C=0 \Rightarrow (B+D)-\sqrt{2}(A-C)=0$.
$B+D=1$ અને $C=-A$ હોવાથી,$1-\sqrt{2}(2A)=0 \Rightarrow A=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ અને $C=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$x^1$ માટે: $A-\sqrt{2} B+C+\sqrt{2} D=0 \Rightarrow (A+C)+\sqrt{2}(D-B)=0$.
$A+C=0$ હોવાથી,$\sqrt{2}(D-B)=0 \Rightarrow D=B$.
$B+D=1$ હોવાથી,$2B=1 \Rightarrow B=\frac{1}{2}$ અને $D=\frac{1}{2}$.
હવે,$B D-A C = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2\sqrt{2}})(-\frac{1}{2\sqrt{2}}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{A}{x-a}+\frac{B x+C}{x^2+b^2}=\frac{1}{(x-a)(x^2+b^2)}$
બંને બાજુ $(x-a)(x^2+b^2)$ વડે ગુણતા:
$A(x^2+b^2)+(B x+C)(x-a)=1$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A+B)x^2+(C-a B)x+(A b^2-a C)=1$
બંને બાજુ $x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+B=0$ ....$(i)$
$C-a B=0$ ....$(ii)$
$A b^2-a C=1$ ....$(iii)$
$(i)$ પરથી,$B=-A$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$C-a(-A)=0 \Rightarrow C+a A=0 \Rightarrow A=\frac{-C}{a}$
$A=\frac{-C}{a}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$(\frac{-C}{a})b^2-a C=1$
$-C(\frac{b^2+a^2}{a})=1$
$C=\frac{-a}{a^2+b^2}$

(D) આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું વિઘટન કરીએ છીએ:
$\frac{x+2}{(x^2+3)(x^2)(x^2+1)(x^2+2)} = \frac{A'}{x} + \frac{B'}{x^2} + \frac{C'x+D'}{x^2+1} + \frac{E'x+F'}{x^2+2} + \frac{G'x+H'}{x^2+3}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરીને અને સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલીને,આપણને મળે છે:
$A' = \frac{1}{6}, B' = \frac{1}{3}, C' = -\frac{1}{2}, D' = -1, E' = \frac{1}{2}, F' = 1, G' = -\frac{1}{6}, H' = -\frac{1}{3}$.
આ કિંમતો પાછી મૂકીને,આપણે પ્રશ્નમાં આપેલા સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાવા માટે પદોને જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ:
$\frac{x+2}{(x^2+3)(x^4+x^2)(x^2+2)} = \frac{-\frac{1}{6}x - \frac{1}{3}}{x^2+3} + \frac{\frac{1}{2}x + 1}{x^2+2} + \frac{-\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{6}x + \frac{1}{3}}{x^4+x^2}$.
આને આપેલ પદાવલિ સાથે સરખાવતા,આપણે ઓળખીએ છીએ:
$A = -\frac{1}{6}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{1}{2}, D = 1, E = -\frac{1}{3}, F = -\frac{2}{3}, G = \frac{1}{6}, H = \frac{1}{3}$.
અંતે,જરૂરી કિંમતની ગણતરી કરતા:
$(E+F)(C+D)(A) = (-\frac{1}{3} - \frac{2}{3})(\frac{1}{2} + 1)(-\frac{1}{6}) = (-1)(\frac{3}{2})(-\frac{1}{6}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A}{2x+5} + \frac{B}{x+6}$
જમણી બાજુના પદોને જોડતા: $\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A(x+6) + B(2x+5)}{(2x+5)(x+6)}$
છેદ સમાન હોવાથી,અંશને સરખાવતા: $13x + 43 = A(x+6) + B(2x+5)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $13x + 43 = (A + 2B)x + (6A + 5B)$
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$A + 2B = 13$ ... $(i)$
$6A + 5B = 43$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$A = 13 - 2B$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$6(13 - 2B) + 5B = 43$
$78 - 12B + 5B = 43$
$-7B = 43 - 78$
$-7B = -35 \Rightarrow B = 5$
$B = 5$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$A + 2(5) = 13 \Rightarrow A + 10 = 13 \Rightarrow A = 3$
તેથી,$A + B = 3 + 5 = 8$.

(C) ધારો કે $x-2 = t$,તેથી $x = t+2$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $4(t+2)^2 + 5 = 4(t^2 + 4t + 4) + 5 = 4t^2 + 16t + 21$.
હવે,$\frac{4t^2 + 16t + 21}{t^4} = \frac{4}{t^2} + \frac{16}{t^3} + \frac{21}{t^4}$.
આને $\frac{A}{t} + \frac{B}{t^2} + \frac{C}{t^3} + \frac{D}{t^4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = 0$,$B = 4$,$C = 16$,અને $D = 21$.
હવે,$\sqrt{\frac{A+B+D}{C}} = \sqrt{\frac{0+4+21}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ સમીકરણો રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
પ્રથમ વક્ર $3x^2-y^2-2xy+4x+1=0$ માટે,તેને $3x^2+(4-2y)x+(1-y^2)=0$ તરીકે લખી શકાય. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{-(4-2y) \pm \sqrt{(4-2y)^2 - 4(3)(1-y^2)}}{6} = \frac{(2y-4) \pm \sqrt{16-16y+4y^2-12+12y^2}}{6} = \frac{(2y-4) \pm \sqrt{16y^2-16y+4}}{6} = \frac{(2y-4) \pm 2(2y-1)}{6} = \frac{(y-2) \pm (2y-1)}{3}$.
આ બે રેખાઓ આપે છે: $L_1: x-y+1=0$ અને $L_2: 3x+y+1=0$.
બીજા વક્ર $3x^2-y^2-2xy+6x+2y=0$ માટે,તેને $3x^2+(6-2y)x+(2y-y^2)=0$ તરીકે લખી શકાય. $x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{-(6-2y) \pm \sqrt{(6-2y)^2 - 4(3)(2y-y^2)}}{6} = \frac{(2y-6) \pm \sqrt{36-24y+4y^2-24y+12y^2}}{6} = \frac{(2y-6) \pm \sqrt{16y^2-48y+36}}{6} = \frac{(2y-6) \pm 2(2y-3)}{6} = \frac{(y-3) \pm (2y-3)}{3}$.
આ બે રેખાઓ આપે છે: $L_3: x-y+2=0$ અને $L_4: 3x+y=0$.
આ પ્રદેશ આ ચાર રેખાઓના છેદથી બનતો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. શિરોબિંદુઓ છે:
$A = L_3 \cap L_4 = (-1/2, 3/2)$
$B = L_1 \cap L_4 = (-1/4, 3/4)$
$C = L_1 \cap L_2 = (-1/2, 1/2)$
$D = L_2 \cap L_3 = (-3/4, 5/4)$
રેખાઓ $a_1x+b_1y+c_1=0, a_1x+b_1y+c_2=0, a_2x+b_2y+d_1=0, a_2x+b_2y+d_2=0$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|a_1b_2-a_2b_1|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$L_1: x-y+1=0, L_3: x-y+2=0 \implies |c_1-c_2| = |1-2| = 1$.
$L_2: 3x+y+1=0, L_4: 3x+y=0 \implies |d_1-d_2| = |1-0| = 1$.
છેદ $|(1)(1) - (3)(-1)| = |1+3| = 4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1 \times 1}{4} = \frac{1}{4}$.

(A) આપેલ બિંદુઓ $P(\alpha, 4, 7)$ અને $Q(3, \beta, 8)$ છે.
$YZ$-સમતલ $PQ$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી વિભાજન બિંદુનો $x$-યામ શૂન્ય થાય.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ: $\frac{2(3) + 3(\alpha)}{2+3} = 0 \Rightarrow 6 + 3\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -2$.
$ZX$-સમતલ $PQ$ નું $4:5$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી વિભાજન બિંદુનો $y$-યામ શૂન્ય થાય.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ: $\frac{4(\beta) + 5(4)}{4+5} = 0 \Rightarrow 4\beta + 20 = 0 \Rightarrow \beta = -5$.
આમ,બિંદુઓ $P(-2, 4, 7)$ અને $Q(3, -5, 8)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PQ$ ની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-5 - 4)^2 + (8 - 7)^2}$
$PQ = \sqrt{(5)^2 + (-9)^2 + (1)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 81 + 1} = \sqrt{107}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બહારના વિભાજન માટેના સૂત્ર મુજબ બિંદુ $C$ ના યામ:
$C = \left( \frac{k x_2 - x_1}{k - 1}, \frac{k y_2 - y_1}{k - 1}, \frac{k z_2 - z_1}{k - 1} \right)$
$A(1, 2, 3)$ અને $B(3, 4, 7)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$C = \left( \frac{3k - 1}{k - 1}, \frac{4k - 2}{k - 1}, \frac{7k - 3}{k - 1} \right)$
આપેલ છે કે $C = (-3, -2, -5)$,તેથી $x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{3k - 1}{k - 1} = -3$
$3k - 1 = -3(k - 1)$
$3k - 1 = -3k + 3$
$6k = 4$
$k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $k: 1$ એટલે કે $2: 3$ છે.

(D) $x-2y+3=0$ અને $2x-y-1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ $(x-2y+3) + K(2x-y-1) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(1+2K)x - (2+K)y + (3-K) = 0$ મળે.
આને $\frac{(1+2K)}{K-3}x + \frac{-(2+K)}{K-3}y = 1$ તરીકે લખી શકાય.
$X$ અને $Y$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો $A\left(\frac{K-3}{1+2K}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{K-3}{-(2+K)}\right)$ છે.
ધારો કે $AB$ ને $-2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ $(x, y)$ છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-2(0) + 3(\frac{K-3}{1+2K})}{3-2} = \frac{3(K-3)}{1+2K}$ અને $y = \frac{-2(\frac{K-3}{-(2+K)}) + 3(0)}{3-2} = \frac{2(K-3)}{2+K}$.
$x = \frac{3K-9}{2K+1}$ પરથી,$x(2K+1) = 3K-9 \Rightarrow K(2x-3) = -9-x \Rightarrow K = \frac{x+9}{3-2x}$ મળે.
$y = \frac{2K-6}{K+2}$ પરથી,$y(K+2) = 2K-6 \Rightarrow K(y-2) = -6-2y \Rightarrow K = \frac{6+2y}{2-y}$ મળે.
$K$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{x+9}{3-2x} = \frac{6+2y}{2-y}$.
$(x+9)(2-y) = (6+2y)(3-2x) \Rightarrow 2x - xy + 18 - 9y = 18 - 12x + 6y - 4xy$.
સાદુરૂપ આપતા,$14x + 3xy - 15y = 0$ મળે.

(D) ધારો કે છેદબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ છે.
બિંદુ $(1, 2)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને દુભાગતું હોવાથી:
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \Rightarrow x_2 = 2 - x_1$
$\frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \Rightarrow y_2 = 4 - y_1$
$A$ એ $3x - 2y - 1 = 0$ પર હોવાથી:
$3x_1 - 2y_1 - 1 = 0$ --- $(i)$
$B$ એ $x + 2y + 1 = 0$ પર હોવાથી,$x_2$ અને $y_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$(2 - x_1) + 2(4 - y_1) + 1 = 0$
$2 - x_1 + 8 - 2y_1 + 1 = 0$
$x_1 + 2y_1 - 11 = 0$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(3x_1 - 2y_1 - 1) + (x_1 + 2y_1 - 11) = 0$
$4x_1 - 12 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$
સમીકરણ $(i)$ માં $x_1 = 3$ મૂકતા:
$3(3) - 2y_1 - 1 = 0 \Rightarrow 8 = 2y_1 \Rightarrow y_1 = 4$
આમ,$A = (3, 4)$.
તેથી $x_2 = 2 - 3 = -1$ અને $y_2 = 4 - 4 = 0$,એટલે કે $B = (-1, 0)$.
બિંદુઓ $(3, 4)$ અને $(-1, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{4 - 0}{3 - (-1)}(x - (-1))$
$y = \frac{4}{4}(x + 1) \Rightarrow y = x + 1 \Rightarrow x - y = -1$
$-1$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1$ મળે છે.
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.
તેથી,$a + 2b + 1 = -1 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.

(C) આપેલ રેખા $2x-y+3=0$ નો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
ધારો કે રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\tan 60^{\circ} = |\frac{m-m_1}{1+m m_1}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m-2}{1+2m}|$.
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{m-2}{1+2m} = \sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{8+5\sqrt{3}}{-11}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{m-2}{1+2m} = -\sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{8-5\sqrt{3}}{-11} = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}$.
રેખા $L$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવતી હોવાથી,$m > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $m = \frac{5\sqrt{3}-8}{11} > 0$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}(x - 2)$ છે.
$Y$-અંતઃખંડ માટે $x = 0$ લેતા,$y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}(-2) = \frac{16-10\sqrt{3}}{11}$ મળે છે.

(D) $5$ પત્રોને $5$ સરનામાંવાળા પરબિડીયાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની રીતોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના $\frac{1}{120}$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક પત્ર ખોટા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$ છે.

(C) પ્રથમ $5$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ છે.
$S$ માંથી બે અલગ સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 = 10$ છે.
ફર્માના પ્રમેય મુજબ,જો $a$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય,તો $a^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
જો $a$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $a^4 \equiv 0 \pmod{5}$.
આપણે $x^4 - y^4$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવું ઇચ્છીએ છીએ,એટલે કે $x^4 \equiv y^4 \pmod{5}$.
કિસ્સો $1$: $x$ અને $y$ બંને $5$ વડે વિભાજ્ય નથી. તો $x^4 \equiv 1$ અને $y^4 \equiv 1$,તેથી $x^4 - y^4 \equiv 0 \pmod{5}$.
$5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4\}$ છે. આ $4$ સંખ્યાઓમાંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2 = 6$ છે.
કિસ્સો $2$: જો એક સંખ્યા $5$ હોય,તો $x^4 - y^4$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય થવા માટે બીજી સંખ્યા પણ $5$ હોવી જોઈએ,જે શક્ય નથી.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામો $6$ છે.
સંભાવના $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ છે.

(C) પગલું $1$: ચલો નક્કી કરો.
કુલ વસ્તુઓ $= 15$.
ખામીયુક્ત વસ્તુઓ $= 3$.
બિન-ખામીયુક્ત વસ્તુઓ $= 15 - 3 = 12$.
નમૂનાનું કદ $= 5$.
આપણે આ નમૂનામાં બરાબર $2$ ખામીયુક્ત વસ્તુઓ પસંદ કરવાની સંભાવના શોધવાની છે.
પગલું $2$: સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને શક્ય પરિણામોની ગણતરી કરો.
સંભાવના હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
$1$. $3$ માંથી $2$ ખામીયુક્ત વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતો:
$\binom{3}{2} = 3$.
$2$. $12$ માંથી $3$ બિન-ખામીયુક્ત વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતો:
$\binom{12}{3} = 220$.
$3$. $15$ માંથી $5$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો:
$\binom{15}{5} = 3003$.
પગલું $3$: સંભાવનાની ગણતરી કરો.
$P = \frac{3 \times 220}{3003} = \frac{660}{3003} = \frac{220}{1001}$.
આમ,સાચો જવાબ $\frac{220}{1001}$ છે.

(D) $20$ માંથી $3$ પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{20}C_3 = 1140$ છે.
$3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ મુજબ સંખ્યાઓનું વર્ગીકરણ:
$R_0 = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ (સંખ્યા $6$)
$R_1 = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}$ (સંખ્યા $7$)
$R_2 = \{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20\}$ (સંખ્યા $7$)
સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવા કિસ્સાઓ:
$(I)$ ત્રણેય સંખ્યાઓ $R_0$ માંથી: ${}^{6}C_3 = 20$.
$(II)$ ત્રણેય સંખ્યાઓ $R_1$ માંથી: ${}^{7}C_3 = 35$.
$(III)$ ત્રણેય સંખ્યાઓ $R_2$ માંથી: ${}^{7}C_3 = 35$.
$(IV)$ દરેક ગણ $R_0, R_1, R_2$ માંથી એક-એક સંખ્યા: ${}^{6}C_1 \times {}^{7}C_1 \times {}^{7}C_1 = 294$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 20 + 35 + 35 + 294 = 384$.
સંભાવના $= \frac{384}{1140} = \frac{32}{85}$.

(C) ત્રણ પાસા ફેંકતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામો $6^3 = 216$ છે.
ત્રણ પાસાઓ સાથે સરવાળો $S$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $n(S)$ છે.
સરવાળો $S = 13$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $n(13) = 21$ છે.
સરવાળો $S > 13$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $n(14) + n(15) + n(16) + n(17) + n(18)$ છે.
$n(14) = 15, n(15) = 10, n(16) = 6, n(17) = 3, n(18) = 1$.
તેમનો સરવાળો: $15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35$.
તેથી,$B$ ને $13$ કરતા વધુ સરવાળો મળે તેની સંભાવના $\frac{35}{216}$ છે.

(D) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
સમાન બીજ માટે વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = b^2 - 4ac = 0$,જેનો અર્થ છે $b^2 = 4ac$.
પાસા પરના અંકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. કુલ શક્યતાઓ $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપણે એવી ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ શોધવાની છે જેના માટે $b^2 = 4ac$ થાય.

$b$	$(a, c)$	ગણતરી
$b=1$	$1 = 4ac$ (શક્ય નથી)	$0$
$b=2$	$4 = 4ac \implies ac = 1 \implies (1, 1)$	$1$
$b=3$	$9 = 4ac$ (શક્ય નથી)	$0$
$b=4$	$16 = 4ac \implies ac = 4 \implies (1, 4), (4, 1), (2, 2)$	$3$
$b=5$	$25 = 4ac$ (શક્ય નથી)	$0$
$b=6$	$36 = 4ac \implies ac = 9 \implies (3, 3)$	$1$

કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 3 + 1 = 5$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{5}{216}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $10$ હોય તેવા પરિણામો $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ છે.
સરવાળો $11$ હોય તેવા પરિણામો $(5, 6), (6, 5)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $3 + 2 = 5$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{5}{36}$ છે.

(A) $0, 1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી પાંચ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $4 \times 4! = 96$ છે.
સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે છેલ્લા બે અંકો $4$ વડે વિભાજ્ય હોવા જોઈએ.
છેલ્લા બે અંકો માટે શક્ય જોડીઓ:
$04, 20, 40$ (જ્યાં $0$ નો ઉપયોગ થાય છે): દરેક માટે $3! = 6$ સંખ્યાઓ મળે. કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
$12, 24, 32$ (જ્યાં $0$ નો ઉપયોગ થતો નથી): પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે,તેથી $3$ વિકલ્પો અને બાકીના માટે $2!$ રીતે ગોઠવણી થાય. કુલ $= 3 \times (2 \times 2!) = 12$.
કુલ સાનુકૂળ સંખ્યાઓ $= 18 + 12 = 30$.
સંભાવના $= \frac{30}{96} = \frac{5}{16}$.

(A) ધારો કે $P, Q, R$ એ ઘટનાઓ છે કે $P, Q, R$ લક્ષ્યને વીંધે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(P) = \frac{2}{3}, P(Q) = \frac{3}{5}, P(R) = \frac{5}{7}$ છે.
લક્ષ્ય ન વીંધવાની સંભાવનાઓ $P(P') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$,$P(Q') = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$,અને $P(R') = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે લક્ષ્ય $P$ અથવા $Q$ દ્વારા વીંધાય પણ $R$ દ્વારા નહીં. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. $P$ વીંધે,$Q$ ચૂકી જાય,$R$ ચૂકી જાય: $P(P) \times P(Q') \times P(R') = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{8}{105}$.
$2$. $P$ ચૂકી જાય,$Q$ વીંધે,$R$ ચૂકી જાય: $P(P') \times P(Q) \times P(R') = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{105}$.
$3$. $P$ વીંધે,$Q$ વીંધે,$R$ ચૂકી જાય: $P(P) \times P(Q) \times P(R') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{12}{105}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{8}{105} + \frac{6}{105} + \frac{12}{105} = \frac{26}{105}$.

(C) પેટી $P$ માં કુલ દડા $= 1 + 3 + 2 = 6$.
પેટી $Q$ માં કુલ દડા $= 2 + 3 + 4 = 9$.
ધારો કે $W_P, R_P, B_P$ એ પેટી $P$ માંથી સફેદ,લાલ અને કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે,અને $W_Q, R_Q, B_Q$ એ પેટી $Q$ માટેની અનુરૂપ ઘટનાઓ છે.
સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(W_P) = \frac{1}{6}, P(R_P) = \frac{3}{6}, P(B_P) = \frac{2}{6}$
$P(W_Q) = \frac{2}{9}, P(R_Q) = \frac{3}{9}, P(B_Q) = \frac{4}{9}$
બંને દડા સમાન રંગના હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{same}) = P(W_P)P(W_Q) + P(R_P)P(R_Q) + P(B_P)P(B_Q)$
$P(\text{same}) = (\frac{1}{6} \times \frac{2}{9}) + (\frac{3}{6} \times \frac{3}{9}) + (\frac{2}{6} \times \frac{4}{9}) = \frac{2 + 9 + 8}{54} = \frac{19}{54}$
બંને દડા અલગ અલગ રંગના હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{different}) = 1 - P(\text{same}) = 1 - \frac{19}{54} = \frac{35}{54}$

(B) '$SENSELESSNESS$' શબ્દમાં કુલ $13$ અક્ષરો છે: $S$ ($6$ વખત),$E$ ($4$ વખત),$N$ ($2$ વખત),અને $L$ ($1$ વખત).
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{13!}{6!4!2!} = 180180$.
બધા $E$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,આપણે $4$ $E$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $10$ એકમો છે: $(EEEE)$,$S$ ($6$ વખત),$N$ ($2$ વખત),અને $L$ ($1$ વખત).
બધા $E$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{10!}{6!2!1!} = \frac{3628800}{720 \times 2} = 2520$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{2520}{180180} = \frac{252}{18018} = \frac{2}{143}$.

(C) ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ માંથી બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ ને પુનરાવર્તન સાથે પસંદ કરવાની કુલ રીતો $10 \times 10 = 100$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ $(x, y)$ શોધવી છે કે જેના માટે $|x^2 - y^2|$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય હોય.
આ શરત $|(x - y)(x + y)|$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય હોવાને સમાન છે.
આપણે $x$ ની કિંમત $1$ થી $10$ સુધી લઈને $y$ એવી રીતે શોધીએ કે જેથી $x^2 \equiv y^2 \pmod{6}$ થાય.
$6$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો આ મુજબ છે: $1^2 \equiv 1, 2^2 \equiv 4, 3^2 \equiv 3, 4^2 \equiv 4, 5^2 \equiv 1, 6^2 \equiv 0, 7^2 \equiv 1, 8^2 \equiv 4, 9^2 \equiv 3, 10^2 \equiv 4$.
કિંમતો મુજબ જૂથ બનાવતા: $0: \{6\}$,$1: \{1, 5, 7\}$,$3: \{3, 9\}$,$4: \{2, 4, 8, 10\}$.
$x^2 \equiv y^2 \pmod{6}$ હોય તેવી જોડીઓની સંખ્યા:
$x^2 \equiv 0$ માટે: $1^2 = 1$ જોડી $(6, 6)$.
$x^2 \equiv 1$ માટે: $3^2 = 9$ જોડીઓ $(\{1, 5, 7\} \times \{1, 5, 7\})$.
$x^2 \equiv 3$ માટે: $2^2 = 4$ જોડીઓ $(\{3, 9\} \times \{3, 9\})$.
$x^2 \equiv 4$ માટે: $4^2 = 16$ જોડીઓ $(\{2, 4, 8, 10\} \times \{2, 4, 8, 10\})$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 9 + 4 + 16 = 30$.
સંભાવના $= \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$.

(D) $8$ શિક્ષકો અને $4$ વિદ્યાર્થીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવવાની કુલ રીતો $(8+4-1)! = 11!$ છે.
કોઈ પણ બે વિદ્યાર્થીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $8$ શિક્ષકોને વર્તુળમાં ગોઠવીએ,જે $(8-1)! = 7!$ રીતે કરી શકાય છે.
આનાથી શિક્ષકોની વચ્ચે $8$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે. આપણે આ $8$ જગ્યાઓમાં $4$ વિદ્યાર્થીઓને બેસાડવાના છે,જે $^8C_4$ રીતે કરી શકાય છે.
વિદ્યાર્થીઓ પોતાની વચ્ચે $4!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
આમ,સાનુકૂળ ગોઠવણીની સંખ્યા $^8C_4 \times 4! \times 7!$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{^8C_4 \times 4! \times 7!}{11!} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 4! \times 7!}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{70 \times 24 \times 7!}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{7}{33}$ છે.

(B) કુલ સફરજનની સંખ્યા $= 12$. સડેલા સફરજનની સંખ્યા $= 3$. સારા સફરજનની સંખ્યા $= 9$.
$12$ માંથી $3$ સફરજન પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક સડેલું સફરજન મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે $0$ અથવા $1$ સડેલું સફરજન.
કિસ્સો $1$: એક પણ સડેલું સફરજન પસંદ ન થાય (બધા $3$ સારા હોય).
રીતોની સંખ્યા $= {}^{9}C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
કિસ્સો $2$: બરાબર $1$ સડેલું સફરજન પસંદ થાય (અને $2$ સારા હોય).
રીતોની સંખ્યા $= {}^{3}C_1 \times {}^{9}C_2 = 3 \times \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 3 \times 36 = 108$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 84 + 108 = 192$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{192}{220} = \frac{48}{55}$.

(A) બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે. સરવાળો $4$ મળે તેવા પરિણામો $(1,3), (3,1), (2,2)$ છે.
તેથી,એક ફેંકમાં સરવાળો $4$ મળે તેની સંભાવના $p = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ છે.
સરવાળો $4$ ન મળે તેની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ છે.
$A$ રમત શરૂ કરે છે,તેથી $B$ ત્યારે જીતે જો $A$ પ્રથમ પ્રયત્ને નિષ્ફળ જાય અને $B$ બીજા પ્રયત્ને સફળ થાય,અથવા $A$ પ્રથમ અને ત્રીજા પ્રયત્ને નિષ્ફળ જાય અને $B$ બીજા પ્રયત્ને નિષ્ફળ જાય અને ચોથા પ્રયત્ને સફળ થાય,વગેરે.
$B$ જીતે તેની સંભાવના અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી દ્વારા મળે છે:
$P(B \text{ wins}) = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{11}{12} \times \frac{1}{12} = \frac{11}{144}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P(B \text{ wins}) = \frac{\frac{11}{144}}{1 - \frac{121}{144}} = \frac{\frac{11}{144}}{\frac{144-121}{144}} = \frac{11}{23}$.

(B) ધારો કે $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \ldots + \sin 89^{\circ}$.
સાઇન શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{\sin(44.5^{\circ}) \sin(45^{\circ})}{\sin(0.5^{\circ})}$.
છેદ $D = 2(\cos 1^{\circ} + \cos 2^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1$ છે.
આપેલ પદોને સાદું રૂપ આપતા,$S = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (2(\cos 1^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $3m$ છે.
રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $(y - mx)(y - 3mx) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y^2 - 4mxy + 3m^2x^2 = 0$ અથવા $3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ મળે છે.
મૂળ સમીકરણ $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ ને $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{3}x^2 + \frac{h}{6}xy + y^2 = 0$ મળે છે.
$3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$3m^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{3}$.
વળી,$-4m = \frac{h}{6} \Rightarrow h = -24m$.
$m = \pm \frac{1}{3}$ ની કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = -24(\pm \frac{1}{3}) = \mp 8$.
આમ,$h = \pm 8$.