જો ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ ની જીવા જેનું મધ્યબિંદુ $(1,1)$ હોય તે $x+\alpha y=\beta$ હોય,તો

વિધાન $-1$: જો એક બિંદુમાંથી ઉપવલય (ellipse) પર બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવે અને જો તેઓ એકબીજાને લંબ હોય,તો તે બિંદુનો બિંદુપથ હંમેશા એક વર્તુળ હોય છે.
વિધાન $-2$: ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,જે બિંદુમાંથી બે લંબ સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે તેનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.

ધારો કે $\frac{x^2}{f(a^2 + 7a + 3)} + \frac{y^2}{f(3a + 15)} = 1$ એ y-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે,જ્યાં $f$ એ $R$ પર ઘટતું વિધેય છે. જો $a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $R - [\alpha, \beta]$ હોય,તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત શોધો:

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ને લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$,જ્યાં $a > 2$,માં અંતર્ગત ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ,જેનો એક શિરોબિંદુ ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષના એક અંત્યબિંદુ પર હોય અને એક બાજુ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તે $6 \sqrt{3}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

$9x^{2} + 16y^{2} = 144$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.