ધારો કે $O(\overrightarrow{0}), A(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}), B(-2 \hat{i}+3 \hat{k}), C(-2 \hat{i}+\hat{j}), D(4 \hat{k})$ એ બિંદુઓ $O, A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો છે. જો $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા $O, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા સમતલને $R$ બિંદુએ છેદે છે,તો $R$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.

રેખા $r = (-\hat{i} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ અને સમતલ $r \cdot (10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}) = 3$ વચ્ચેનો લઘુકોણ શોધો.

રેખાઓ $x = ay - 1 = z - 2$ અને $x = 3y - 2 = bz - 2$ $(ab \neq 0)$ સમતલીય છે,જો:

ધારો કે $P$ પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં એક બિંદુ છે,જેનું સમતલ $x+y=3$ માં પ્રતિબિંબ $Q$ (એટલે કે,રેખાખંડ $PQ$ એ સમતલ $x+y=3$ ને લંબ છે અને $PQ$ નું મધ્યબિંદુ સમતલ $x+y=3$ પર આવેલું છે) $z$-અક્ષ પર આવેલું છે. ધારો કે $x$-અક્ષથી $P$ નું અંતર $5$ છે. જો $R$ એ $xy$-સમતલમાં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોય,તો $PR$ ની લંબાઈ કેટલી થાય?

ધારો કે રેખાઓ $L_1: \vec{r}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+\lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$,$\lambda \in R$ અને $L_2: \vec{r}=(4\hat{i}+\hat{j})+\mu(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$,$\mu \in R$,બિંદુ $R$ પર છેદે છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એ રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ પર આવેલા બિંદુઓ છે,જેથી $|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{29}$ અને $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{\frac{47}{3}}$ થાય. જો બિંદુ $P$ પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં હોય,તો $27(QR)^2$ ની કિંમત શોધો.

રેખા $x-2=\frac{y-4}{4}=\frac{z-6}{7}$ ને સમાવતા અને રેખા $\vec{r}=(\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})+\lambda(3\hat{i}+5\hat{j}+7\hat{k})$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.