જો ઉપવલય frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 નો 2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે. રેખા $y=mx+c$ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય તો $c^2=a^2m^2+b^2$ થાય. ઢાળ $m=2$ આપેલ હોવાથી,સ્પર્શકનુ

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે. રેખા $y=mx+c$ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય તો $c^2=a^2m^2+b^2$ થાય. ઢાળ $m=2$ આપેલ હોવાથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=2x \pm \sqrt{4a^2+b^2}$ થાય,જેને $2x-y \pm \sqrt{4a^2+b^2}=0$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=4$ (ત્રિજ્યા $r=2$,કેન્દ્ર $(0,0)$) ને સ્પર્શતી હોવાથી,ઉગમબિંદુથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય: $\frac{|\pm \sqrt{4a^2+b^2}|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$. $\frac{\sqrt{4a^2+b^2}}{\sqrt{5}} = 2$ $\Rightarrow \sqrt{4a^2+b^2} = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow 4a^2+b^2 = 20$. $AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{4a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{4a^2b^2} = 2ab$. $\frac{20}{2} \geq 2ab$ $\Rightarrow 10 \geq 2ab$ $\Rightarrow ab \leq 5$. આમ,$ab$ ની મહત્તમ કિંમત $5$ છે.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો $2$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ને સ્પર્શતો હોય,તો $ab$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

Similar Questions

$(3, 1)$ અને $(1, 1)$ પર નાભિ ધરાવતું ઉપવલય $(1, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$x+y+2=0$ ને નિયામિકા (directrix),$(1,-1)$ ને નાભિ (focus) અને $\frac{2}{3}$ ઉત્કેન્દ્રિયતા (eccentricity) ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ ની જીવા,જેનું મધ્યબિંદુ $(3, 1)$ હોય,તેનું સમીકરણ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module