જો x dy + (y + y^2 x) dx = 0 અને x = 1 હોય ત્ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ છે. $x dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y^2 = 0$ મળે છે. આ એક બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છ

Vedclass · Accepted Answer

$y = \frac{1}{x(1 + \log x)}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ છે. $x dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y^2 = 0$ મળે છે. આ એક બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. $y^2$ વડે ભાગતા: $y^{-2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-1} = -1$. ધારો કે $v = y^{-1}$,તો $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,તેથી $- \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = -1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = 1$ થાય છે. આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેમાં સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ છે. ઉકેલ $v \cdot \frac{1}{x} = \int 1 \cdot \frac{1}{x} dx = \log x + C$ છે. $v = \frac{1}{y}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{xy} = \log x + C$ મળે છે. $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{1 \cdot 1} = \log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$. આમ,$\frac{1}{xy} = \log x + 1$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{1}{x(1 + \log x)}$.

જો $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ અને $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ હોય,તો

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 0$ અને $y = \frac{3\pi}{4}$ હોય.

વિકલ સમીકરણ $y \log y \left(\frac{dx}{dy}\right) + x = \log y$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0, (x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો (જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે)

વિકલ સમીકરણ $\left[\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{dy}=1$ ઉકેલો,જ્યાં $x \neq 0$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module