lim _{n rightarrow infty}left[left(1+frac{1}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^3}{n^3}\right)^{\frac{r^2}{n^3}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\log I

Vedclass · Accepted Answer

$e^{\left(\frac{2 \log 2-1}{3}\right)}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^3}{n^3}\right)^{\frac{r^2}{n^3}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\log I = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3} \log \left(1+\frac{r^3}{n^3}\right)$.આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:$\log I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \left(\frac{r}{n}\right)^2 \log \left(1+\left(\frac{r}{n}\right)^3\right)$.નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$:$\log I = \int_0^1 x^2 \log(1+x^3) dx$.ધારો કે $t = 1+x^3$,તો $dt = 3x^2 dx$,અથવા $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.જ્યારે $x=0, t=1$. જ્યારે $x=1, t=2$.$\log I = \frac{1}{3} \int_1^2 \log t dt = \frac{1}{3} [t \log t - t]_1^2$.$\log I = \frac{1}{3} [(2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)] = \frac{1}{3} [2 \log 2 - 2 + 1] = \frac{2 \log 2 - 1}{3}$.તેથી,$I = e^{\left(\frac{2 \log 2 - 1}{3}\right)}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{\frac{1}{n^3}}\left(1+\frac{8}{n^3}\right)^{\frac{4}{n^3}}\left(1+\frac{27}{n^3}\right)^{\frac{9}{n^3}} \ldots \left(1+\frac{n^3}{n^3}\right)^{\frac{n^2}{n^3}}\right]=$

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}} = $

$a \in \mathbb{R}$ (બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) માટે,$a \neq -1$,જો $\lim_{n \to \infty} \frac{1^a + 2^a + \dots + n^a}{(n+1)^{a-1}[(na+1) + (na+2) + \dots + (na+n)]} = \frac{1}{60}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\sum\limits_{r = 0}^n {\frac{n}{{{{\left( {2r + n} \right)}^2}}}} $ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {Limit}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left[ 1 + \sqrt {\frac{n}{n + 1}} + \sqrt {\frac{n}{n + 2}} + \sqrt {\frac{n}{n + 3}} + \dots + \sqrt {\frac{n}{n + 3(n - 1)}} \right]$ ની કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module