$\left|\begin{array}{ccc} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{array}\right| = $

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

$\left| \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin(\alpha + \gamma) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin(\beta + \gamma) \\ \sin \delta & \cos \delta & \sin(\delta + \gamma) \end{matrix} \right|$ નું મૂલ્ય શું છે?

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right|=0$

$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) \end{array} \right|$ હોય,તો $f(100)$ ની કિંમત શોધો.